Страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

20 a) $(3x - 1)(3x + 1);$

б) $(13m - 11n)(13m + 11n);$

в) $(10p + 7q)(7q - 10p);$

г) $(4 - 5y)(5y + 4).$

Для решения всех представленных задач используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

а) В выражении $(3x - 1)(3x + 1)$ мы можем применить формулу разности квадратов, где $a = 3x$ и $b = 1$.

$(3x - 1)(3x + 1) = (3x)^2 - 1^2$

Возводим в квадрат каждый член:

$(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$

$1^2 = 1$

Таким образом, получаем:

$9x^2 - 1$

Ответ: $9x^2 - 1$

б) В выражении $(13m - 11n)(13m + 11n)$ используем ту же формулу. Здесь $a = 13m$ и $b = 11n$.

$(13m - 11n)(13m + 11n) = (13m)^2 - (11n)^2$

Возводим в квадрат каждый член:

$(13m)^2 = 13^2 \cdot m^2 = 169m^2$

$(11n)^2 = 11^2 \cdot n^2 = 121n^2$

В результате получаем:

$169m^2 - 121n^2$

Ответ: $169m^2 - 121n^2$

в) Выражение $(10p + 7q)(7q - 10p)$ необходимо сначала преобразовать, чтобы оно соответствовало формуле. Поменяем слагаемые местами в первой скобке, используя коммутативное свойство сложения ($a+b=b+a$):

$(10p + 7q) = (7q + 10p)$

Теперь выражение имеет вид $(7q + 10p)(7q - 10p)$, что полностью соответствует формуле разности квадратов, где $a = 7q$ и $b = 10p$.

$(7q + 10p)(7q - 10p) = (7q)^2 - (10p)^2$

Возводим в квадрат:

$(7q)^2 = 49q^2$

$(10p)^2 = 100p^2$

Получаем итоговое выражение:

$49q^2 - 100p^2$

Ответ: $49q^2 - 100p^2$

г) В выражении $(4 - 5y)(5y + 4)$ также преобразуем одну из скобок. Поменяем слагаемые местами во второй скобке:

$(5y + 4) = (4 + 5y)$

Выражение принимает вид $(4 - 5y)(4 + 5y)$. Это формула разности квадратов, где $a = 4$ и $b = 5y$.

$(4 - 5y)(4 + 5y) = 4^2 - (5y)^2$

Возводим в квадрат:

$4^2 = 16$

$(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$

Конечный результат:

$16 - 25y^2$

Ответ: $16 - 25y^2$

21 a) $(a + 2)^2;$

б) $(3b - 1)^2;$

в) $(x - 8)^2;$

г) $(1 + 4y)^2.$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(a + 2)^2$, необходимо использовать формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
В нашем случае, $A = a$ и $B = 2$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a + 2)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2$
Теперь выполним вычисления:
$a^2 + 4a + 4$
Ответ: $a^2 + 4a + 4$.

б) Для выражения $(3b - 1)^2$ применяется формула квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A = 3b$ и $B = 1$.
Подставляем в формулу:
$(3b - 1)^2 = (3b)^2 - 2 \cdot (3b) \cdot 1 + 1^2$
Выполняем вычисления, помня, что $(3b)^2 = 3^2 \cdot b^2 = 9b^2$:
$9b^2 - 6b + 1$
Ответ: $9b^2 - 6b + 1$.

в) Выражение $(x - 8)^2$ также раскрывается с помощью формулы квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
В этом примере $A = x$ и $B = 8$.
Подставляем значения в формулу:
$(x - 8)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2$
Производим вычисления:
$x^2 - 16x + 64$
Ответ: $x^2 - 16x + 64$.

г) Для раскрытия скобок в выражении $(1 + 4y)^2$ снова используем формулу квадрата суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A = 1$ и $B = 4y$.
Подставляем в формулу:
$(1 + 4y)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot (4y) + (4y)^2$
Выполняем вычисления, учитывая, что $(4y)^2 = 4^2 \cdot y^2 = 16y^2$:
$1 + 8y + 16y^2$
Для стандартной записи многочлена расположим члены в порядке убывания степеней переменной $y$:
$16y^2 + 8y + 1$
Ответ: $16y^2 + 8y + 1$.

22 a) $(4m + 5n)^2$;

б) $(2z - 3t)^2$;

в) $(9p - 7q)^2$;

г) $(8r + 11s)^2$.

а) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 4m$ и $b = 5n$.
$(4m + 5n)^2 = (4m)^2 + 2 \cdot (4m) \cdot (5n) + (5n)^2 = 16m^2 + 40mn + 25n^2$.
Ответ: $16m^2 + 40mn + 25n^2$.

б) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 2z$ и $b = 3t$.
$(2z - 3t)^2 = (2z)^2 - 2 \cdot (2z) \cdot (3t) + (3t)^2 = 4z^2 - 12zt + 9t^2$.
Ответ: $4z^2 - 12zt + 9t^2$.

в) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 9p$ и $b = 7q$.
$(9p - 7q)^2 = (9p)^2 - 2 \cdot (9p) \cdot (7q) + (7q)^2 = 81p^2 - 126pq + 49q^2$.
Ответ: $81p^2 - 126pq + 49q^2$.

г) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 8r$ и $b = 11s$.
$(8r + 11s)^2 = (8r)^2 + 2 \cdot (8r) \cdot (11s) + (11s)^2 = 64r^2 + 176rs + 121s^2$.
Ответ: $64r^2 + 176rs + 121s^2$.

23 a) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9);$

б) $(2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2);$

в) $(x + 1)(x^2 - x + 1);$

г) $(7y^2 - 1)(49y^4 + 7y^2 + 1).$

а)

Данное выражение является произведением суммы двух выражений на их неполный квадрат разности. Это соответствует формуле сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 3$. Проверим, соответствует ли вторая скобка $(x^2 - 3x + 9)$ части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:

• $a^2 = x^2$
• $ab = x \cdot 3 = 3x$
• $b^2 = 3^2 = 9$

Вторая скобка полностью соответствует формуле: $(x^2 - x \cdot 3 + 3^2)$.

Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:

$(x + 3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27$.

Ответ: $x^3 + 27$

б)

Данное выражение является произведением разности двух выражений на их неполный квадрат суммы. Это соответствует формуле сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 2a$ и $b = 3b$. Проверим, соответствует ли вторая скобка $(4a^2 + 6ab + 9b^2)$ части формулы $(a^2 + ab + b^2)$:

• $a^2 = (2a)^2 = 4a^2$
• $ab = (2a)(3b) = 6ab$
• $b^2 = (3b)^2 = 9b^2$

Вторая скобка полностью соответствует формуле: $((2a)^2 + (2a)(3b) + (3b)^2)$.

Следовательно, мы можем применить формулу разности кубов:

$(2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2) = (2a)^3 - (3b)^3 = 8a^3 - 27b^3$.

Ответ: $8a^3 - 27b^3$

в)

Это выражение также соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 1$. Проверим вторую скобку $(x^2 - x + 1)$:

• $a^2 = x^2$
• $ab = x \cdot 1 = x$
• $b^2 = 1^2 = 1$

Вторая скобка соответствует части формулы $(x^2 - x \cdot 1 + 1^2)$.

Применяем формулу суммы кубов:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.

Ответ: $x^3 + 1$

г)

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 7y^2$ и $b = 1$. Проверим вторую скобку $(49y^4 + 7y^2 + 1)$:

• $a^2 = (7y^2)^2 = 49y^4$
• $ab = (7y^2) \cdot 1 = 7y^2$
• $b^2 = 1^2 = 1$

Вторая скобка соответствует части формулы $((7y^2)^2 + (7y^2) \cdot 1 + 1^2)$.

Применяем формулу разности кубов:

$(7y^2 - 1)(49y^4 + 7y^2 + 1) = (7y^2)^3 - 1^3 = 343y^6 - 1$.

Ответ: $343y^6 - 1$

24 Докажите тождество

$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) - (a + c)(a^2 - ac + c^2) + (c + 2)(c^2 - 2c + 4) = 0.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ и суммой кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Проанализируем и упростим каждое произведение в левой части равенства по отдельности:

1. Первое произведение $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$ представляет собой формулу разности кубов. Здесь $x=a$ и $y=2$.

$(a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.

2. Второе произведение $(a + c)(a^2 - ac + c^2)$ является формулой суммы кубов. Здесь $x=a$ и $y=c$.

$(a + c)(a^2 - ac + c^2) = a^3 + c^3$.

3. Третье произведение $(c + 2)(c^2 - 2c + 4)$ также является формулой суммы кубов. Здесь $x=c$ и $y=2$.

$(c + 2)(c^2 - c \cdot 2 + 2^2) = c^3 + 2^3 = c^3 + 8$.

Теперь подставим полученные упрощенные выражения в левую часть исходного тождества:

$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) - (a + c)(a^2 - ac + c^2) + (c + 2)(c^2 - 2c + 4) = (a^3 - 8) - (a^3 + c^3) + (c^3 + 8)$.

Раскроем скобки и выполним сложение и вычитание:

$a^3 - 8 - a^3 - c^3 + c^3 + 8$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (-c^3 + c^3) + (-8 + 8) = 0 + 0 + 0 = 0$.

В результате преобразований левая часть равенства оказалась равной 0, что соответствует правой части равенства. Таким образом, $0 = 0$.

Ответ: Тождество доказано.

Вычислите, используя формулы сокращённого умножения:

25 а) $69 \cdot 71;$

б) $42 \cdot 38;$

в) $89 \cdot 91;$

г) $58 \cdot 62.$

Для решения всех примеров используется формула сокращённого умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

а) Чтобы вычислить произведение $69 \cdot 71$, представим эти числа как разность и сумму относительно их среднего арифметического, которое равно $(69+71)/2 = 70$.
Таким образом, $69 = 70 - 1$ и $71 = 70 + 1$.
Применяем формулу:
$69 \cdot 71 = (70 - 1)(70 + 1) = 70^2 - 1^2 = 4900 - 1 = 4899$.
Ответ: 4899.

б) Чтобы вычислить произведение $42 \cdot 38$, представим эти числа как сумму и разность относительно их среднего арифметического, которое равно $(42+38)/2 = 40$.
Таким образом, $42 = 40 + 2$ и $38 = 40 - 2$.
Применяем формулу:
$42 \cdot 38 = (40 + 2)(40 - 2) = 40^2 - 2^2 = 1600 - 4 = 1596$.
Ответ: 1596.

в) Чтобы вычислить произведение $89 \cdot 91$, представим эти числа как разность и сумму относительно их среднего арифметического, которое равно $(89+91)/2 = 90$.
Таким образом, $89 = 90 - 1$ и $91 = 90 + 1$.
Применяем формулу:
$89 \cdot 91 = (90 - 1)(90 + 1) = 90^2 - 1^2 = 8100 - 1 = 8099$.
Ответ: 8099.

г) Чтобы вычислить произведение $58 \cdot 62$, представим эти числа как разность и сумму относительно их среднего арифметического, которое равно $(58+62)/2 = 60$.
Таким образом, $58 = 60 - 2$ и $62 = 60 + 2$.
Применяем формулу:
$58 \cdot 62 = (60 - 2)(60 + 2) = 60^2 - 2^2 = 3600 - 4 = 3596$.
Ответ: 3596.

26 a) $21^2$;

б) $59^2$;

в) $82^2$;

г) $68^2$.

а) Чтобы возвести число 21 в квадрат, можно представить его как сумму двух удобных слагаемых и использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Представим 21 как $20 + 1$.
$21^2 = (20 + 1)^2 = 20^2 + 2 \cdot 20 \cdot 1 + 1^2 = 400 + 40 + 1 = 441$.
Ответ: 441

б) Чтобы возвести число 59 в квадрат, можно представить его как разность двух удобных чисел и использовать формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Представим 59 как $60 - 1$.
$59^2 = (60 - 1)^2 = 60^2 - 2 \cdot 60 \cdot 1 + 1^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$.
Ответ: 3481

в) Чтобы возвести число 82 в квадрат, используем формулу квадрата суммы.
Представим 82 как $80 + 2$.
$82^2 = (80 + 2)^2 = 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 2 + 2^2 = 6400 + 320 + 4 = 6724$.
Ответ: 6724

г) Чтобы возвести число 68 в квадрат, используем формулу квадрата разности.
Представим 68 как $70 - 2$.
$68^2 = (70 - 2)^2 = 70^2 - 2 \cdot 70 \cdot 2 + 2^2 = 4900 - 280 + 4 = 4624$.
Ответ: 4624

Разложите на множители:

27 a) $2d^2 + 2cd;$

б) $np^4 - mp^4;$

в) $r^3s^4 + r^4s^3;$

г) $20a^3x - 15a^4x^2.$

а) $2d^2 + 2cd$

Для разложения на множители данного выражения необходимо найти общий множитель для каждого из слагаемых. В данном случае это $2d^2$ и $2cd$.

1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 2 и 2. НОД(2, 2) = 2.

2. Найдем общие переменные. Переменная $d$ присутствует в обоих слагаемых. Выносим ее в наименьшей степени, то есть $d^1$ или просто $d$.

Таким образом, общий множитель для всего выражения – это $2d$.

Теперь вынесем общий множитель $2d$ за скобки. Для этого разделим каждый член выражения на $2d$:

$\frac{2d^2}{2d} = d$

$\frac{2cd}{2d} = c$

Запишем выражение в виде произведения общего множителя и суммы полученных частных:

$2d^2 + 2cd = 2d(d + c)$

Ответ: $2d(d + c)$

б) $np^4 - mp^4$

Найдем общий множитель для слагаемых $np^4$ и $-mp^4$.

1. Числовые коэффициенты здесь представлены переменными $n$ и $m$, у которых нет общих множителей (кроме 1).

2. Переменная $p$ присутствует в обоих слагаемых в степени 4. Следовательно, $p^4$ является общим множителем.

Вынесем общий множитель $p^4$ за скобки. Разделим каждый член на $p^4$:

$\frac{np^4}{p^4} = n$

$\frac{-mp^4}{p^4} = -m$

Запишем итоговое выражение:

$np^4 - mp^4 = p^4(n - m)$

Ответ: $p^4(n - m)$

в) $r^3s^4 + r^4s^3$

Найдем общий множитель для слагаемых $r^3s^4$ и $r^4s^3$.

1. Числовые коэффициенты равны 1.

2. Переменная $r$ присутствует в обоих слагаемых. Наименьшая степень $r$ – это 3, поэтому общий множитель содержит $r^3$.

3. Переменная $s$ также присутствует в обоих слагаемых. Наименьшая степень $s$ – это 3, поэтому общий множитель содержит $s^3$.

Общий множитель для всего выражения – это $r^3s^3$.

Вынесем $r^3s^3$ за скобки, разделив каждый член на него:

$\frac{r^3s^4}{r^3s^3} = s^{4-3} = s$

$\frac{r^4s^3}{r^3s^3} = r^{4-3} = r$

Запишем итоговое выражение:

$r^3s^4 + r^4s^3 = r^3s^3(s + r)$

Ответ: $r^3s^3(s + r)$

г) $20a^3x - 15a^4x^2$

Найдем общий множитель для слагаемых $20a^3x$ и $-15a^4x^2$.

1. Найдем НОД для числовых коэффициентов 20 и 15. НОД(20, 15) = 5.

2. Переменная $a$ присутствует в обоих слагаемых. Наименьшая степень $a$ – это 3, поэтому общий множитель содержит $a^3$.

3. Переменная $x$ присутствует в обоих слагаемых. Наименьшая степень $x$ – это 1, поэтому общий множитель содержит $x$.

Общий множитель для всего выражения – это $5a^3x$.

Вынесем $5a^3x$ за скобки:

$\frac{20a^3x}{5a^3x} = 4$

$\frac{-15a^4x^2}{5a^3x} = -3a^{4-3}x^{2-1} = -3ax$

Запишем итоговое выражение:

$20a^3x - 15a^4x^2 = 5a^3x(4 - 3ax)$

Ответ: $5a^3x(4 - 3ax)$

28 а) $x^2 - y^2;$

б) $x^2 - 4y^2;$

в) $x^2 - 9;$

г) $1 - 25y^2.$

а)

Данное выражение $x^2 - y^2$ представляет собой разность квадратов.

Для его разложения на множители используется формула сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = y$.

Подставим эти значения в формулу:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Ответ: $(x - y)(x + y)$

б)

Для разложения на множители выражения $x^2 - 4y^2$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$x^2$ - это квадрат $x$.

$4y^2$ - это квадрат $2y$, так как $(2y)^2 = 2^2 \cdot y^2 = 4y^2$.

Таким образом, наше выражение можно переписать как $x^2 - (2y)^2$.

Теперь применим формулу разности квадратов, где $a = x$ и $b = 2y$:

$x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y)$.

Ответ: $(x - 2y)(x + 2y)$

в)

Для разложения на множители выражения $x^2 - 9$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$x^2$ - это квадрат $x$.

$9$ - это квадрат $3$, так как $3^2 = 9$.

Таким образом, наше выражение можно переписать как $x^2 - 3^2$.

Теперь применим формулу, где $a = x$ и $b = 3$:

$x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 3)$

г)

Для разложения на множители выражения $1 - 25y^2$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$1$ - это квадрат $1$, так как $1^2 = 1$.

$25y^2$ - это квадрат $5y$, так как $(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$.

Таким образом, наше выражение можно переписать как $1^2 - (5y)^2$.

Теперь применим формулу, где $a = 1$ и $b = 5y$:

$1^2 - (5y)^2 = (1 - 5y)(1 + 5y)$.

Ответ: $(1 - 5y)(1 + 5y)$

29 a) $12z^2 - 9kz + 4nz - 3kn;$

б) $a^2 - ab - bc - c^2;$

в) $3x - 2x^2 + 3y - 2xy;$

г) $20z^{2k} + 2z - 5k + 1.$

а) $12z^2 - 9kz + 4nz - 3kn$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем члены следующим образом: $(12z^2 - 9kz) + (4nz - 3kn)$.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы $(12z^2 - 9kz)$ выносим $3z$, получаем $3z(4z - 3k)$.

Из второй группы $(4nz - 3kn)$ выносим $n$, получаем $n(4z - 3k)$.

Теперь выражение имеет вид: $3z(4z - 3k) + n(4z - 3k)$.

Мы видим общий множитель $(4z - 3k)$, который можно вынести за скобки: $(4z - 3k)(3z + n)$.

Ответ: $(4z - 3k)(3z + n)$.

б) $a^2 - ab - bc - c^2$

Используем метод группировки. Перегруппируем члены, чтобы найти общие множители. Сгруппируем первый и четвертый члены, а также второй и третий: $(a^2 - c^2) + (-ab - bc)$.

Первая группа $(a^2 - c^2)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(a - c)(a + c)$.

Из второй группы $(-ab - bc)$ вынесем общий множитель $-b$, получим $-b(a + c)$.

Теперь выражение выглядит так: $(a - c)(a + c) - b(a + c)$.

Вынесем общий множитель $(a + c)$ за скобки: $(a + c)((a - c) - b)$.

Упростив выражение во вторых скобках, получаем: $(a + c)(a - b - c)$.

Ответ: $(a + c)(a - b - c)$.

в) $3x - 2x^2 + 3y - 2xy$

Применим метод группировки. Сгруппируем члены, которые имеют общие множители: $(3x + 3y) + (-2x^2 - 2xy)$.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы $(3x + 3y)$ выносим $3$, получаем $3(x + y)$.

Из второй группы $(-2x^2 - 2xy)$ выносим $-2x$, получаем $-2x(x + y)$.

Выражение принимает вид: $3(x + y) - 2x(x + y)$.

Теперь выносим общий множитель $(x + y)$ за скобки: $(x + y)(3 - 2x)$.

Ответ: $(x + y)(3 - 2x)$.

г) $20z^2k + 2z - 5k + 1$

Для разложения на множители используем метод группировки. Перегруппируем члены многочлена: $(20z^2k - 5k) + (2z + 1)$.

Вынесем общий множитель из первой группы. Из $(20z^2k - 5k)$ выносим $5k$, получаем $5k(4z^2 - 1)$.

Выражение принимает вид: $5k(4z^2 - 1) + (2z + 1)$.

Заметим, что выражение в скобках $(4z^2 - 1)$ является разностью квадратов: $(2z)^2 - 1^2 = (2z - 1)(2z + 1)$.

Подставим это разложение в наше выражение: $5k(2z - 1)(2z + 1) + 1 \cdot (2z + 1)$.

Теперь мы видим общий множитель $(2z + 1)$, который можно вынести за скобки: $(2z + 1)[5k(2z - 1) + 1]$.

Раскроем скобки и упростим второй множитель: $5k(2z - 1) + 1 = 10zk - 5k + 1$.

Таким образом, окончательное разложение имеет вид: $(2z + 1)(10zk - 5k + 1)$.

Ответ: $(2z + 1)(10zk - 5k + 1)$.

30 a) $a^2 + 4a + 4;$

б) $9x^2 - 6xm + m^2;$

в) $16t^2 + 8ts^2 + s^4;$

г) $b^4 - 16b^2c + 64c^2.$

а) Чтобы представить данный трехчлен в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Рассмотрим выражение $a^2 + 4a + 4$.
Первый член $a^2$ является квадратом выражения $a$.
Третий член $4$ является квадратом числа $2$, то есть $2^2$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго выражений: $2 \cdot a \cdot 2 = 4a$.
Так как все условия выполнены, мы можем применить формулу:
$a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a+2)^2$.
Ответ: $(a+2)^2$.

б) В данном случае будем использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Рассмотрим выражение $9x^2 - 6xm + m^2$.
Первый член $9x^2$ является квадратом выражения $3x$, то есть $(3x)^2$.
Третий член $m^2$ является квадратом выражения $m$.
Проверим средний член (без учета знака). Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго выражений: $2 \cdot (3x) \cdot m = 6xm$.
Знак перед средним членом "минус", поэтому применяем формулу квадрата разности:
$9x^2 - 6xm + m^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot m + m^2 = (3x-m)^2$.
Ответ: $(3x-m)^2$.

в) Снова используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Рассмотрим выражение $16t^2 + 8ts^2 + s^4$.
Первый член $16t^2$ является квадратом выражения $4t$, то есть $(4t)^2$.
Третий член $s^4$ является квадратом выражения $s^2$, то есть $(s^2)^2$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго выражений: $2 \cdot (4t) \cdot (s^2) = 8ts^2$.
Все условия для формулы квадрата суммы выполняются:
$16t^2 + 8ts^2 + s^4 = (4t)^2 + 2 \cdot (4t) \cdot (s^2) + (s^2)^2 = (4t+s^2)^2$.
Ответ: $(4t+s^2)^2$.

г) Здесь применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Рассмотрим выражение $b^4 - 16b^2c + 64c^2$.
Первый член $b^4$ является квадратом выражения $b^2$, то есть $(b^2)^2$.
Третий член $64c^2$ является квадратом выражения $8c$, то есть $(8c)^2$.
Проверим средний член (без учета знака). Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго выражений: $2 \cdot (b^2) \cdot (8c) = 16b^2c$.
Знак перед средним членом "минус", следовательно, это квадрат разности:
$b^4 - 16b^2c + 64c^2 = (b^2)^2 - 2 \cdot b^2 \cdot 8c + (8c)^2 = (b^2-8c)^2$.
Ответ: $(b^2-8c)^2$.

Сократите дробь:

31 а) $ \frac{a^2 + a}{a^3 + a^2}; $

б) $ \frac{3p + 6q}{p^2 + 2pq}; $

в) $ \frac{8m - 8n}{9n - 9m}; $

г) $ \frac{3x^3 + 3xy^2}{6yx^2 + 6y^3}. $

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + a}{a^3 + a^2}$, нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 + a = a(a + 1)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $a^2$ за скобки: $a^3 + a^2 = a^2(a + 1)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{a(a + 1)}{a^2(a + 1)}$.

Сократим общие множители $a$ и $(a + 1)$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $a \neq 0$ и $a + 1 \neq 0$. $\frac{\cancel{a}(\cancel{a + 1})}{a^{\cancel{2}}(\cancel{a + 1})} = \frac{1}{a}$.

Ответ: $\frac{1}{a}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{3p + 6q}{p^2 + 2pq}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $3p + 6q = 3(p + 2q)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $p$ за скобки: $p^2 + 2pq = p(p + 2q)$.

Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{3(p + 2q)}{p(p + 2q)}$.

Сократим общий множитель $(p + 2q)$. Это возможно при условии, что $p \neq 0$ и $p + 2q \neq 0$. $\frac{3(\cancel{p + 2q})}{p(\cancel{p + 2q})} = \frac{3}{p}$.

Ответ: $\frac{3}{p}$

в)

Для сокращения дроби $\frac{8m - 8n}{9n - 9m}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе вынесем за скобки 8: $8m - 8n = 8(m - n)$.

В знаменателе вынесем за скобки 9: $9n - 9m = 9(n - m)$.

Дробь примет вид: $\frac{8(m - n)}{9(n - m)}$.

Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $n - m = -(m - n)$. Заменим выражение в знаменателе: $\frac{8(m - n)}{9 \cdot (-(m - n))} = \frac{8(m - n)}{-9(m - n)}$.

Теперь сократим общий множитель $(m - n)$. Это возможно при условии, что $m \neq n$. $\frac{8(\cancel{m - n})}{-9(\cancel{m - n})} = \frac{8}{-9} = -\frac{8}{9}$.

Ответ: $-\frac{8}{9}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{3x^3 + 3xy^2}{6yx^2 + 6y^3}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x^3 + 3xy^2 = 3x(x^2 + y^2)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $6y$ за скобки: $6yx^2 + 6y^3 = 6y(x^2 + y^2)$.

Подставим разложения в дробь: $\frac{3x(x^2 + y^2)}{6y(x^2 + y^2)}$.

Сократим общий множитель $(x^2 + y^2)$ (при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно), а также числовой коэффициент 3: $\frac{\cancel{3}x(\cancel{x^2 + y^2})}{\cancel{6}_2 y(\cancel{x^2 + y^2})} = \frac{x}{2y}$.

Ответ: $\frac{x}{2y}$

32 a) $ \frac{a^2 + 4a + 4}{a + 2}; $

б) $ \frac{3n - m}{9n^2 - 6nm + m^2}; $

в) $ \frac{k^2 - 8k + 16}{k - 4}; $

г) $ \frac{p - 2q}{p^2 - 4pq + 4q^2}. $

а)

Чтобы упростить дробь $\frac{a^2 + 4a + 4}{a + 2}$, заметим, что числитель является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=a$ и $y=2$. Тогда числитель можно представить в виде:

$a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a+2)^2$.

Подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(a+2)^2}{a+2}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $(a+2)$, при условии, что $a+2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$.

$\frac{(a+2)^{\cancel{2}}}{\cancel{a+2}} = a+2$.

Ответ: $a+2$.

б)

Чтобы упростить дробь $\frac{3n - m}{9n^2 - 6nm + m^2}$, заметим, что знаменатель является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=3n$ и $y=m$. Тогда знаменатель можно представить в виде:

$9n^2 - 6nm + m^2 = (3n)^2 - 2 \cdot (3n) \cdot m + m^2 = (3n-m)^2$.

Подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{3n - m}{(3n-m)^2}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $(3n-m)$, при условии, что $3n-m \neq 0$.

$\frac{\cancel{3n - m}}{(3n-m)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{3n-m}$.

Ответ: $\frac{1}{3n-m}$.

в)

Чтобы упростить дробь $\frac{k^2 - 8k + 16}{k - 4}$, заметим, что числитель является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=k$ и $y=4$. Тогда числитель можно представить в виде:

$k^2 - 8k + 16 = k^2 - 2 \cdot k \cdot 4 + 4^2 = (k-4)^2$.

Подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(k-4)^2}{k-4}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $(k-4)$, при условии, что $k-4 \neq 0$, то есть $k \neq 4$.

$\frac{(k-4)^{\cancel{2}}}{\cancel{k-4}} = k-4$.

Ответ: $k-4$.

г)

Чтобы упростить дробь $\frac{p - 2q}{p^2 - 4pq + 4q^2}$, заметим, что знаменатель является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=p$ и $y=2q$. Тогда знаменатель можно представить в виде:

$p^2 - 4pq + 4q^2 = p^2 - 2 \cdot p \cdot (2q) + (2q)^2 = (p-2q)^2$.

Подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{p - 2q}{(p-2q)^2}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $(p-2q)$, при условии, что $p-2q \neq 0$.

$\frac{\cancel{p - 2q}}{(p-2q)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{p-2q}$.

Ответ: $\frac{1}{p-2q}$.

33 a) $\frac{b^2 - 25}{b + 5}$;

б) $\frac{2m - 3}{4m^2 - 9}$;

в) $\frac{t^2 - 36}{6 + t}$;

г) $\frac{5k - 2l}{25k^2 - 4l^2}$.

а)

Чтобы упростить дробь $\frac{b^2 - 25}{b + 5}$, необходимо разложить числитель на множители. Числитель $b^2 - 25$ представляет собой разность квадратов.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a=b$ и $b=5$:
$b^2 - 25 = b^2 - 5^2 = (b - 5)(b + 5)$.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{b^2 - 25}{b + 5} = \frac{(b - 5)(b + 5)}{b + 5}$.

Сократим общий множитель $(b + 5)$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $b + 5 \neq 0$, то есть $b \neq -5$.
$\frac{(b - 5)(b + 5)}{b + 5} = b - 5$.

Ответ: $b - 5$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{2m - 3}{4m^2 - 9}$. Знаменатель $4m^2 - 9$ является разностью квадратов, так как его можно представить в виде $(2m)^2 - 3^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a=2m$ и $b=3$:
$4m^2 - 9 = (2m - 3)(2m + 3)$.

Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{2m - 3}{4m^2 - 9} = \frac{2m - 3}{(2m - 3)(2m + 3)}$.

Сократим общий множитель $(2m - 3)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $2m - 3 \neq 0$, то есть $m \neq \frac{3}{2}$:
$\frac{1}{2m + 3}$.

Ответ: $\frac{1}{2m + 3}$

в)

Упростим выражение $\frac{t^2 - 36}{6 + t}$. Числитель $t^2 - 36$ представляет собой разность квадратов $t^2 - 6^2$.

Разложим числитель на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$t^2 - 36 = (t - 6)(t + 6)$.

Подставим это в исходную дробь. Заметим, что выражение в знаменателе $6 + t$ равно $t + 6$.
$\frac{t^2 - 36}{6 + t} = \frac{(t - 6)(t + 6)}{t + 6}$.

Сократим общий множитель $(t + 6)$, при условии, что $t + 6 \neq 0$, то есть $t \neq -6$:
$\frac{(t - 6)(t + 6)}{t + 6} = t - 6$.

Ответ: $t - 6$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{5k - 2l}{25k^2 - 4l^2}$. Знаменатель $25k^2 - 4l^2$ является разностью квадратов, так как его можно записать как $(5k)^2 - (2l)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a=5k$ и $b=2l$:
$25k^2 - 4l^2 = (5k - 2l)(5k + 2l)$.

Подставим разложение в дробь:
$\frac{5k - 2l}{25k^2 - 4l^2} = \frac{5k - 2l}{(5k - 2l)(5k + 2l)}$.

Сократим общий множитель $(5k - 2l)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $5k - 2l \neq 0$:
$\frac{1}{5k + 2l}$.

Ответ: $\frac{1}{5k + 2l}$