Страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

14.3 Постройте график функции $y = -\sqrt{x}$.

С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = 1$; $2\frac{1}{4}$; $9$;

б) значения $x$, если $y = 0$; $-2$; $-4$;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [2; 4];

г) при каких значениях $x$ график функции расположен выше прямой $y = -2$, ниже прямой $y = -2$.

Для построения графика функции $y = -\sqrt{x}$ сначала определим её свойства.

1. Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений функции: поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$. Таким образом, $E(y) = (-\infty; 0]$.

График функции $y = -\sqrt{x}$ можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox).

Составим таблицу значений для нескольких точек, чтобы построить график:

По этим точкам строим график. Он представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке (0; 0) и уходящую в четвертую координатную четверть.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

а) значения у при x = 1; $2\frac{1}{4}$; 9;

Находим на оси Ox заданные значения $x$ и смотрим, какая ордината (значение $y$) им соответствует на графике.

• При $x = 1$, находим точку на графике с абсциссой 1. Её ордината равна -1.
• При $x = 2\frac{1}{4} = 2.25$, находим точку на графике с абсциссой 2.25. Её ордината равна -1.5.
• При $x = 9$, находим точку на графике с абсциссой 9. Её ордината равна -3.

Ответ: при $x=1, y=-1$; при $x=2\frac{1}{4}, y=-1.5$; при $x=9, y=-3$.

б) значения x, если y = 0; -2; -4;

Находим на оси Oy заданные значения $y$ и смотрим, какая абсцисса (значение $x$) им соответствует на графике.

• Если $y = 0$, точка находится в начале координат, где $x = 0$.
• Если $y = -2$, проводим горизонтальную прямую $y = -2$ до пересечения с графиком. Точка пересечения имеет абсциссу $x=4$. Проверка: $y = -\sqrt{4} = -2$.
• Если $y = -4$, проводим горизонтальную прямую $y = -4$ до пересечения с графиком. Точка пересечения будет иметь абсциссу $x=16$. Проверка: $y = -\sqrt{16} = -4$.

Ответ: если $y=0$, то $x=0$; если $y=-2$, то $x=4$; если $y=-4$, то $x=16$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [2; 4];

Рассмотрим часть графика, где $x$ изменяется от 2 до 4. Функция $y = -\sqrt{x}$ является монотонно убывающей на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Следовательно, на отрезке $[2; 4]$:

• Наибольшее значение будет в начальной точке отрезка, при $x=2$: $y_{наиб} = -\sqrt{2}$.
• Наименьшее значение будет в конечной точке отрезка, при $x=4$: $y_{наим} = -\sqrt{4} = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[2; 4]$ равно $-2$, а наибольшее равно $-\sqrt{2}$.

г) при каких значениях x график функции расположен выше прямой y = -2, ниже прямой y = -2.

Из пункта б) мы знаем, что график функции пересекает прямую $y = -2$ в точке, где $x = 4$.

График функции расположен выше прямой $y = -2$, если выполняется неравенство $y > -2$, то есть $-\sqrt{x} > -2$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получим $\sqrt{x} < 2$. Поскольку $\sqrt{x}$ определен для $x \ge 0$, имеем систему $0 \le \sqrt{x} < 2$. Возведя в квадрат, получим $0 \le x < 4$.

График функции расположен ниже прямой $y = -2$, если выполняется неравенство $y < -2$, то есть $-\sqrt{x} < -2$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получим $\sqrt{x} > 2$. Возведя обе части в квадрат, получим $x > 4$.

Ответ: график расположен выше прямой $y = -2$ при $x \in [0; 4)$; ниже прямой $y = -2$ при $x \in (4; +\infty)$.

14.4 Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции $y = \sqrt{x}$ точка:

а) $A(2; \sqrt{2});$

б) $B(1; 0);$

в) $C(6,25; 2,5);$

г) $D(-9; 3).$

Чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = f(x)$, нужно подставить координаты точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство $y_0 = f(x_0)$, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику.

Также необходимо учитывать область определения функции. Для функции $y = \sqrt{x}$ область определения — это все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$.

а) Проверим точку $A(2; \sqrt{2})$.

Подставим ее координаты $x = 2$ и $y = \sqrt{2}$ в уравнение функции $y = \sqrt{x}$:

$\sqrt{2} = \sqrt{2}$

Получилось верное равенство. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

б) Проверим точку $B(1; 0)$.

Подставим ее координаты $x = 1$ и $y = 0$ в уравнение функции $y = \sqrt{x}$:

$0 = \sqrt{1}$

$0 = 1$

Получилось неверное равенство. Следовательно, точка не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

в) Проверим точку $C(6,25; 2,5)$.

Подставим ее координаты $x = 6,25$ и $y = 2,5$ в уравнение функции $y = \sqrt{x}$:

$2,5 = \sqrt{6,25}$

Проверим, верно ли это равенство, возведя в квадрат правую и левую части: $2,5^2 = 2,5 \times 2,5 = 6,25$. Так как $(\sqrt{6,25})^2 = 6,25$, равенство является верным.

Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

г) Проверим точку $D(-9; 3)$.

Координата $x$ этой точки равна $-9$. Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это множество всех $x \ge 0$. Поскольку $x = -9$ не входит в область определения функции (так как $-9 < 0$), то точка $D$ не может принадлежать ее графику.

Ответ: не принадлежит.

14.5 Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции $y = -\sqrt{x}$ точка:

а) A(144; -12);

б) B(-4; 2);

в) C(3; $-\sqrt{3}$);

г) D(2,25; 1,5).

Чтобы определить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = -\sqrt{x}$, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство $y_0 = -\sqrt{x_0}$, то точка принадлежит графику. Если равенство неверно, или значение $x_0$ не входит в область определения функции (для $y = -\sqrt{x}$ область определения $x \ge 0$), то точка не принадлежит графику.

а) A(144; -12)

Проверим точку с координатами $x = 144$ и $y = -12$.

1. Проверяем область определения: $x = 144 \ge 0$. Условие выполнено.

2. Подставляем координаты в уравнение функции $y = -\sqrt{x}$:

$-12 = -\sqrt{144}$

Вычисляем значение в правой части: $-\sqrt{144} = -12$.

Получаем верное равенство: $-12 = -12$.

Следовательно, точка $A(144; -12)$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

б) B(-4; 2)

Проверим точку с координатами $x = -4$ и $y = 2$.

1. Проверяем область определения: $x = -4$. Условие $x \ge 0$ не выполнено, так как $-4 < 0$.

Поскольку абсцисса точки не входит в область определения функции, точка $B(-4; 2)$ не может принадлежать ее графику.

Ответ: не принадлежит.

в) C(3; $-\sqrt{3}$)

Проверим точку с координатами $x = 3$ и $y = -\sqrt{3}$.

1. Проверяем область определения: $x = 3 \ge 0$. Условие выполнено.

2. Подставляем координаты в уравнение функции $y = -\sqrt{x}$:

$-\sqrt{3} = -\sqrt{3}$

Это верное равенство.

Следовательно, точка $C(3; -\sqrt{3})$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

г) D(2,25; 1,5)

Проверим точку с координатами $x = 2,25$ и $y = 1,5$.

1. Проверяем область определения: $x = 2,25 \ge 0$. Условие выполнено.

2. Подставляем координаты в уравнение функции $y = -\sqrt{x}$:

$1,5 = -\sqrt{2,25}$

Вычисляем значение в правой части: $-\sqrt{2,25} = -1,5$.

Получаем равенство: $1,5 = -1,5$, которое является неверным.

Следовательно, точка $D(2,25; 1,5)$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

14.6 Укажите, на каком промежутке выпукла вверх, а на каком выпукла вниз функция, график которой изображён:

а) на рис. 4;

б) на рис. 5;

в) на рис. 6;

г) на рис. 7.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

а) на рис. 4;

Функция называется выпуклой вверх на промежутке, если ее график на этом промежутке расположен не ниже любой соединяющей его точки хорды. Визуально такая кривая изгибается вниз (форма ∩).
Функция называется выпуклой вниз на промежутке, если ее график на этом промежутке расположен не выше любой своей хорды. Визуально такая кривая изгибается вверх (форма ∪).
На графике, изображенном на рисунке 4, функция определена на отрезке $[-1, 4]$. В точке $x=1$ происходит смена направления выпуклости. Это точка перегиба, в которой первая производная не определена (график имеет излом).
На промежутке $[-1, 1]$ график функции изогнут вниз, следовательно, функция выпукла вверх.
На промежутке $[1, 4]$ график функции изогнут вверх, следовательно, функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $[-1, 1]$ и выпукла вниз на промежутке $[1, 4]$.

б) на рис. 5;

Функция, изображенная на рисунке 5, имеет разрыв в точке $x=0$, где проходит вертикальная асимптота. Область определения функции — $(-\infty, 0) \cup (0, 4]$.
На промежутке $(-\infty, 0)$ график функции изогнут вниз, значит, функция является выпуклой вверх.
На промежутке $(0, 4]$ график функции изогнут вверх, значит, функция является выпуклой вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty, 0)$ и выпукла вниз на промежутке $(0, 4]$.

в) на рис. 6;

Функция, изображенная на рисунке 6, определена на отрезке $[-3, 1]$. График имеет точки излома (острые пики) при $x=-2$ и $x=0$. В точке $x=-2$ меняется направление выпуклости.
На промежутке $[-3, -2]$ график функции изогнут вверх, что соответствует выпуклости вниз.
На промежутке $[-2, 1]$ график функции изогнут вниз, что соответствует выпуклости вверх. Отметим, что в точке излома $x=0$ направление выпуклости не меняется.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $[-2, 1]$ и выпукла вниз на промежутке $[-3, -2]$.

г) на рис. 7.

Функция, изображенная на рисунке 7, имеет разрыв в точке $x=0$ (вертикальная асимптота) и точку излома при $x=-1$. Область определения функции — $[-3, 0) \cup (0, \infty)$.
На промежутке $[-3, -1]$ график функции изогнут вверх, следовательно, функция выпукла вниз.
На промежутке $[-1, 0)$ график функции изогнут вниз, следовательно, функция выпукла вверх.
На промежутке $(0, \infty)$ график функции также изогнут вверх, следовательно, функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $[-1, 0)$ и выпукла вниз на объединении промежутков $[-3, -1] \cup (0, \infty)$.