Страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

14.13 a) $\begin{cases} y = -\sqrt{x}, \\ y = \frac{1}{2}x - 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -\sqrt{x}, \\ y = -\frac{1}{2}x. \end{cases}$

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций, необходимо решить систему уравнений. Приравняем правые части уравнений:
$y = -\sqrt{x}$
$y = \frac{1}{2}x - 4$
Получаем уравнение:
$-\sqrt{x} = \frac{1}{2}x - 4$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x \ge 0$.
Для решения уравнения сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x}$, при этом должно выполняться условие $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Подставим замену в уравнение:
$-t = \frac{1}{2}t^2 - 4$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$\frac{1}{2}t^2 + t - 4 = 0$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
$t^2 + 2t - 8 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.
Согласно условию замены $t \ge 0$, корень $t_2 = -4$ является посторонним. Таким образом, подходит только корень $t = 2$.
Выполним обратную замену, чтобы найти x:
$\sqrt{x} = 2$
Возведём обе части в квадрат:
$x = 4$
Найденное значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ.
Теперь найдём соответствующее значение y, подставив $x=4$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:
$y = -\sqrt{4} = -2$
Проверка по второму уравнению: $y = \frac{1}{2}(4) - 4 = 2 - 4 = -2$.
Значения совпадают. Таким образом, графики функций имеют одну точку пересечения.
Ответ: $(4, -2)$.

б) Аналогично пункту а), приравняем правые части уравнений системы:
$y = -\sqrt{x}$
$y = -\frac{1}{2}x$
Получаем уравнение:
$-\sqrt{x} = -\frac{1}{2}x$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Умножим обе части уравнения на -1:
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}x$
Перенесём все члены в одну сторону:
$\frac{1}{2}x - \sqrt{x} = 0$
Вынесем $\sqrt{x}$ как общий множитель за скобки:
$\sqrt{x}(\frac{1}{2}\sqrt{x} - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $\sqrt{x} = 0$, возведя в квадрат, получаем $x_1 = 0$.
2) $\frac{1}{2}\sqrt{x} - 1 = 0$, откуда $\frac{1}{2}\sqrt{x} = 1$, или $\sqrt{x} = 2$. Возведя в квадрат, получаем $x_2 = 4$.
Оба найденных значения для x ($0$ и $4$) принадлежат области допустимых значений.
Теперь найдём соответствующие значения y для каждого x:
Для $x_1 = 0$ находим $y_1 = -\sqrt{0} = 0$. Первая точка пересечения — $(0, 0)$.
Для $x_2 = 4$ находим $y_2 = -\sqrt{4} = -2$. Вторая точка пересечения — $(4, -2)$.
Таким образом, графики данных функций пересекаются в двух точках.
Ответ: $(0, 0)$, $(4, -2)$.

14.14 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0; \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

a) Найдите $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а) Найдите f(-2), f(0), f(1).

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из условий $x < 0$ или $x \ge 0$ удовлетворяет аргумент, и использовать соответствующую формулу.

1. Найдем $f(-2)$.
Аргумент $x = -2$ удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -x^2$.
$f(-2) = -(-2)^2 = -(4) = -4$.

2. Найдем $f(0)$.
Аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(0) = \sqrt{0} = 0$.

3. Найдем $f(1)$.
Аргумент $x = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(1) = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $f(-2) = -4$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей, которые строятся на разных промежутках оси $x$.

1. Для $x < 0$ строим график функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Мы берем только ту часть параболы, которая лежит левее оси $Oy$ (в третьей координатной четверти). Точка $(0, 0)$ не включается в эту часть графика, так как неравенство $x < 0$ строгое.
Контрольные точки для этой части: $(-1, -1)$, $(-2, -4)$, $(-3, -9)$.

2. Для $x \ge 0$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартный график квадратного корня, который представляет собой верхнюю ветвь параболы, симметричной оси $Ox$ и открывающейся вправо. График начинается в точке $(0, 0)$ и располагается в первой координатной четверти.
Контрольные точки для этой части: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.

Соединив эти две части на одной координатной плоскости, получим итоговый график функции $y = f(x)$. В точке $x=0$ график непрерывен, так как предел функции слева ($\lim_{x \to 0^-} -x^2 = 0$) равен значению функции справа ($f(0) = \sqrt{0} = 0$).

Ответ: График функции представляет собой левую ветвь параболы $y=-x^2$ для $x \in (-\infty; 0)$ и график функции $y=\sqrt{x}$ для $x \in [0; +\infty)$.

в) Перечислите свойства функции.

На основе анализа формулы и графика функции $y = f(x)$ перечислим ее основные свойства:
1. Область определения функции. Функция определена как для $x < 0$, так и для $x \ge 0$, то есть для всех действительных чисел.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений функции. При $x < 0$ значения $y = -x^2$ отрицательны ($y \in (-\infty; 0)$). При $x \ge 0$ значения $y = \sqrt{x}$ неотрицательны ($y \in [0; +\infty)$). Объединяя эти множества, получаем все действительные числа.
$E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции. $f(x)=0$ при $\sqrt{x}=0$, что дает $x=0$. При $x<0$ нулей нет.
Единственный нуль функции: $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства.
$f(x) > 0$ при $\sqrt{x} > 0$, то есть при $x \in (0; +\infty)$.
$f(x) < 0$ при $-x^2 < 0$, то есть при $x \in (-\infty; 0)$.

5. Монотонность (промежутки возрастания и убывания). На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y=-x^2$ возрастает. На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=\sqrt{x}$ также возрастает. Так как функция непрерывна в точке $x=0$, она возрастает на всей своей области определения.
Функция является строго возрастающей на $(-\infty; +\infty)$.

6. Четность и нечетность. Область определения симметрична относительно нуля. Проверим условия четности/нечетности. Возьмем $x=2$: $f(2) = \sqrt{2}$, $f(-2) = -(-2)^2 = -4$.
Так как $f(-2) \neq f(2)$ и $f(-2) \neq -f(2)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

7. Непрерывность. Функция непрерывна на всей области определения.

8. Ограниченность. Так как область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$, функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

9. Экстремумы. Так как функция строго возрастает на всей области определения, у нее нет точек максимума и минимума.

Ответ:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x = 0$.
4. $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
5. Функция строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.
6. Функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
7. Непрерывна на $(-\infty; +\infty)$.
8. Не ограничена ни снизу, ни сверху.
9. Экстремумов нет.

14.15 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x - 2, \text{ если } -2 \leq x \leq 1; \\ -\sqrt{x}, \text{ если } 1 < x \leq 9. \end{cases}$

а) Найдите $f(-2)$, $f(1)$, $f(4)$, $f(9)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Дана кусочно-заданная функция:

$ f(x) = \begin{cases} x - 2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ -\sqrt{x}, & \text{если } 1 < x \le 9 \end{cases} $

а) Найдите f(-2), f(1), f(4), f(9).

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из интервалов принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Для нахождения $f(-2)$, заметим, что $x = -2$ принадлежит промежутку $[-2, 1]$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = x - 2$.
  $f(-2) = -2 - 2 = -4$.

• Для нахождения $f(1)$, заметим, что $x = 1$ принадлежит промежутку $[-2, 1]$. Используем первую формулу: $f(x) = x - 2$.
  $f(1) = 1 - 2 = -1$.

• Для нахождения $f(4)$, заметим, что $x = 4$ принадлежит промежутку $(1, 9]$. Используем вторую формулу: $f(x) = -\sqrt{x}$.
  $f(4) = -\sqrt{4} = -2$.

• Для нахождения $f(9)$, заметим, что $x = 9$ принадлежит промежутку $(1, 9]$. Используем вторую формулу: $f(x) = -\sqrt{x}$.
  $f(9) = -\sqrt{9} = -3$.

Ответ: $f(-2) = -4$; $f(1) = -1$; $f(4) = -2$; $f(9) = -3$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 1]$ функция задана формулой $y = x - 2$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов:

   • При $x = -2$, $y = -2 - 2 = -4$. Точка $(-2, -4)$.
   • При $x = 1$, $y = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$.

   Обе точки принадлежат графику, так как неравенства нестрогие. Соединяем точки $(-2, -4)$ и $(1, -1)$ отрезком прямой.

2. На промежутке $(1, 9]$ функция задана формулой $y = -\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная относительно оси Ox и расположенная в нижней полуплоскости. Найдем координаты нескольких точек для построения этой части графика:

   • При $x$, стремящемся к 1 справа ($x \to 1+$), $y$ стремится к $-\sqrt{1} = -1$. Точка $(1, -1)$ является "выколотой" для этой части графика, но она совпадает с концом предыдущего отрезка, что обеспечивает непрерывность функции.
   • При $x = 4$, $y = -\sqrt{4} = -2$. Точка $(4, -2)$.
   • При $x = 9$, $y = -\sqrt{9} = -3$. Точка $(9, -3)$. Эта точка принадлежит графику.

   Соединяем точки $(1, -1)$, $(4, -2)$ и $(9, -3)$ плавной кривой.

Объединив обе части на одной координатной плоскости, мы получим искомый график функции $y = f(x)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезка прямой, соединяющего точки $(-2, -4)$ и $(1, -1)$, и участка кривой $y = -\sqrt{x}$, идущего от точки $(1, -1)$ до точки $(9, -3)$.

в) Перечислите свойства функции.

На основе определения функции и ее графика перечислим основные свойства:

• Область определения функции: $D(f) = [-2, 1] \cup (1, 9] = [-2, 9]$.

• Область значений функции: На промежутке $[-2, 1]$ значения изменяются от $-4$ до $-1$. На промежутке $(1, 9]$ значения изменяются от $-1$ (не включая) до $-3$. Объединяя эти множества, получаем $E(f) = [-4, -1]$.

• Нули функции: Функция не имеет нулей, так как уравнение $f(x)=0$ не имеет решений ни на одном из промежутков ($x-2=0 \implies x=2 \notin [-2, 1]$; $-\sqrt{x}=0 \implies x=0 \notin (1, 9]$). График не пересекает ось Ox.

• Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(f) = [-4, -1]$, функция принимает только отрицательные значения. $f(x) < 0$ при всех $x \in [-2, 9]$.

• Монотонность:

  • Функция возрастает на промежутке $[-2, 1]$.
  • Функция убывает на промежутке $(1, 9]$.

• Экстремумы и наибольшее/наименьшее значения:

  • Точка $x = 1$ является точкой локального максимума. $y_{max} = f(1) = -1$. Это также наибольшее значение функции.
  • Наименьшее значение функция принимает на левом конце области определения: $y_{min} = f(-2) = -4$.

• Четность и нечетность: Область определения $D(f) = [-2, 9]$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-2, 9]$. В точке $x=1$ разрыва нет, так как $f(1) = \lim_{x \to 1+} f(x) = -1$.

• Ограниченность: Функция ограничена и сверху (числом -1), и снизу (числом -4).

Ответ: Свойства функции:
1. $D(f) = [-2, 9]$.
2. $E(f) = [-4, -1]$.
3. Нулей нет.
4. $f(x) < 0$ при $x \in [-2, 9]$.
5. Возрастает на $[-2, 1]$, убывает на $(1, 9]$.
6. $y_{max} = f(1) = -1$, $y_{min} = f(-2) = -4$.
7. Функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
8. Непрерывна на $[-2, 9]$.
9. Ограничена.

14.16 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x}$. Найдите:

a) $f(9)$, $f\left(\frac{1}{4}\right)$, $f(6.25)$;

б) $f(a)$, $f(-a)$, $f(2a)$;

в) $f(a + 1)$, $f(2 - a)$, $f(3a - 1)$;

г) $f(a) + 1$, $f(2a) - 1$, $f(a - 3) + 1$.

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x}$. Чтобы найти значение функции при заданном аргументе, необходимо подставить этот аргумент в формулу функции вместо $x$. Важно помнить, что область определения функции квадратного корня — это все неотрицательные числа, то есть подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю ($x \ge 0$).

а)

Найдём значения функции для числовых аргументов, подставляя их в формулу $f(x) = \sqrt{x}$:
$f(9) = \sqrt{9} = 3$
$f(\frac{1}{4}) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = 0,5$
$f(6,25) = \sqrt{6,25} = \sqrt{\frac{625}{100}} = \frac{25}{10} = 2,5$
Ответ: $f(9) = 3$; $f(\frac{1}{4}) = 0,5$; $f(6,25) = 2,5$.

б)

Найдём значения функции для аргументов, выраженных через переменную $a$, и укажем условия (область допустимых значений), при которых эти выражения имеют смысл.
$f(a) = \sqrt{a}$. Выражение имеет смысл при $a \ge 0$.
$f(-a) = \sqrt{-a}$. Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$.
$f(2a) = \sqrt{2a}$. Выражение имеет смысл при $2a \ge 0$, что эквивалентно $a \ge 0$.
Ответ: $f(a) = \sqrt{a}$ (при $a \ge 0$); $f(-a) = \sqrt{-a}$ (при $a \le 0$); $f(2a) = \sqrt{2a}$ (при $a \ge 0$).

в)

Найдём значения функции для составных аргументов, определив для каждого область допустимых значений.
$f(a + 1) = \sqrt{a+1}$. Выражение имеет смысл при $a+1 \ge 0$, то есть $a \ge -1$.
$f(2 - a) = \sqrt{2-a}$. Выражение имеет смысл при $2-a \ge 0$, то есть $a \le 2$.
$f(3a - 1) = \sqrt{3a-1}$. Выражение имеет смысл при $3a-1 \ge 0$, то есть $3a \ge 1$, или $a \ge \frac{1}{3}$.
Ответ: $f(a+1) = \sqrt{a+1}$ (при $a \ge -1$); $f(2-a) = \sqrt{2-a}$ (при $a \le 2$); $f(3a-1) = \sqrt{3a-1}$ (при $a \ge \frac{1}{3}$).

г)

В этом пункте требуется выполнить арифметические операции со значениями функции.
$f(a) + 1 = \sqrt{a} + 1$. Выражение $f(a)$ имеет смысл при $a \ge 0$.
$f(2a) - 1 = \sqrt{2a} - 1$. Выражение $f(2a)$ имеет смысл при $2a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
$f(a - 3) + 1 = \sqrt{a-3} + 1$. Выражение $f(a-3)$ имеет смысл при $a-3 \ge 0$, то есть $a \ge 3$.
Ответ: $f(a) + 1 = \sqrt{a} + 1$ (при $a \ge 0$); $f(2a) - 1 = \sqrt{2a} - 1$ (при $a \ge 0$); $f(a - 3) + 1 = \sqrt{a - 3} + 1$ (при $a \ge 3$).

14.17 Дано: $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = x^2$. Докажите, что:

а) $f(x^4) = g(x)$;

б) $(f(x))^8 = g(x^2)$.

а) Для того чтобы доказать тождество $f(x^4) = g(x)$, необходимо преобразовать левую и правую части равенства, используя данные определения функций $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = x^2$.

Рассмотрим левую часть равенства: $f(x^4)$.
Чтобы найти значение этой функции, подставим выражение $x^4$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(x^4) = \sqrt{x^4}$.
Используя свойство степени $(\sqrt{a} = a^{1/2})$, получаем:
$\sqrt{x^4} = (x^4)^{1/2} = x^{4 \cdot (1/2)} = x^2$.

Рассмотрим правую часть равенства: $g(x)$.
По условию, $g(x) = x^2$.

Сравнивая результаты преобразований левой и правой частей, мы видим, что они равны:
$x^2 = x^2$.
Таким образом, тождество $f(x^4) = g(x)$ доказано.

Ответ: Равенство доказано, так как обе части тождества равны $x^2$.

б) Для того чтобы доказать тождество $(f(x))^8 = g(x^2)$, необходимо преобразовать левую и правую части равенства.

Рассмотрим левую часть равенства: $(f(x))^8$.
Подставим определение функции $f(x) = \sqrt{x}$:
$(f(x))^8 = (\sqrt{x})^8$.
Используя свойства степеней, упростим выражение:
$(\sqrt{x})^8 = (x^{1/2})^8 = x^{(1/2) \cdot 8} = x^4$.
(Данное выражение определено при $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным).

Рассмотрим правую часть равенства: $g(x^2)$.
Чтобы найти значение этой функции, подставим выражение $x^2$ в качестве аргумента в функцию $g(x) = x^2$:
$g(x^2) = (x^2)^2 = x^4$.

Сравнивая результаты преобразований левой и правой частей, мы видим, что они равны:
$x^4 = x^4$.
Таким образом, тождество $(f(x))^8 = g(x^2)$ доказано для всех $x$ из области определения левой части.

Ответ: Равенство доказано, так как обе части тождества равны $x^4$.

14.18 Зная, что $f(x) = \sqrt{x}$, решите уравнение:

а) $f(x - 1) = 3$;

б) $f(2x) = 4$.

а)

Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ и уравнение $f(x-1) = 3$.

Чтобы решить это уравнение, нужно подставить выражение $(x-1)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$. Это означает, что мы заменяем $x$ в формуле $\sqrt{x}$ на $(x-1)$.

Получаем: $f(x-1) = \sqrt{x-1}$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$\sqrt{x-1} = 3$

Для нахождения $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-1})^2 = 3^2$

$x - 1 = 9$

Теперь решим полученное линейное уравнение, перенеся $-1$ в правую часть с противоположным знаком:

$x = 9 + 1$

$x = 10$

Необходимо выполнить проверку, так как мы решали иррациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для выражения $\sqrt{x-1}$ определяется условием $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
Наш корень $x=10$ удовлетворяет этому условию ($10 \ge 1$), следовательно, он является решением уравнения.

Ответ: $10$

б)

Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ и уравнение $f(2x) = 4$.

Аналогично предыдущему пункту, подставим выражение $(2x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:

$f(2x) = \sqrt{2x}$.

Исходное уравнение принимает вид:

$\sqrt{2x} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{2x})^2 = 4^2$

$2x = 16$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{16}{2}$

$x = 8$

Выполним проверку. ОДЗ для выражения $\sqrt{2x}$ определяется условием $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.
Найденный корень $x=8$ удовлетворяет этому условию ($8 \ge 0$), значит, он является решением.

Ответ: $8$

14.19 Дана функция $y = \sqrt{x}$. Укажите, какому промежутку принадлежит переменная $x$, если на этом промежутке:

а) $y_{\text{наим}} = 0, y_{\text{наиб}} = 1;$

б) $y_{\text{наим}} = 2, y_{\text{наиб}} = 4;$

в) $y_{\text{наим}} = 0, y_{\text{наиб}} = 3;$

г) $y_{\text{наим}} = 1, y_{\text{наиб}} = 5.$

Для решения задачи воспользуемся тем, что функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это значит, что если значения функции $y$ принадлежат промежутку $[y_{наим}, y_{наиб}]$, то для нахождения соответствующего промежутка для переменной $x$ необходимо решить двойное неравенство $y_{наим} \le \sqrt{x} \le y_{наиб}$.

а) Дано, что $y_{наим} = 0$ и $y_{наиб} = 1$. Следовательно, значения функции $y$ удовлетворяют неравенству $0 \le y \le 1$. Подставив $y = \sqrt{x}$, получаем $0 \le \sqrt{x} \le 1$. Возведя все части этого неравенства в квадрат, находим промежуток для $x$: $0^2 \le (\sqrt{x})^2 \le 1^2$, что дает $0 \le x \le 1$. Таким образом, переменная $x$ принадлежит отрезку $[0, 1]$.
Ответ: $x \in [0, 1]$.

б) По условию, $y_{наим} = 2$ и $y_{наиб} = 4$. Это означает, что $2 \le y \le 4$. Заменяем $y$ на $\sqrt{x}$: $2 \le \sqrt{x} \le 4$. Чтобы найти $x$, возводим неравенство в квадрат: $2^2 \le x \le 4^2$, откуда получаем $4 \le x \le 16$. Таким образом, переменная $x$ принадлежит отрезку $[4, 16]$.
Ответ: $x \in [4, 16]$.

в) Дано, что $y_{наим} = 0$ и $y_{наиб} = 3$. Таким образом, $0 \le y \le 3$. Подставляем $y = \sqrt{x}$: $0 \le \sqrt{x} \le 3$. Возводим в квадрат все части неравенства: $0^2 \le x \le 3^2$, что приводит к $0 \le x \le 9$. Таким образом, переменная $x$ принадлежит отрезку $[0, 9]$.
Ответ: $x \in [0, 9]$.

г) По условию, $y_{наим} = 1$ и $y_{наиб} = 5$. Следовательно, $1 \le y \le 5$. Заменяя $y$ на $\sqrt{x}$, имеем $1 \le \sqrt{x} \le 5$. Возводим в квадрат: $1^2 \le x \le 5^2$, и в результате получаем $1 \le x \le 25$. Таким образом, переменная $x$ принадлежит отрезку $[1, 25]$.
Ответ: $x \in [1, 25]$.

Дана функция $y = \sqrt{x}$. Укажите, какому промежутку принадлежит переменная $y$, если:

14.20 а) $x \in [0; 9];$

б) $x \in [4; +\infty);$

в) $x \in [1; 4];$

г) $x \in [9; +\infty).$

Чтобы найти, какому промежутку принадлежит переменная $y$ для функции $y = \sqrt{x}$, нужно учесть, что эта функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что чем больше значение $x$, тем больше значение $y$. Поэтому, чтобы найти диапазон значений $y$, достаточно найти значения функции на границах заданного промежутка для $x$.

а) $x \in [0; 9]$

Найдем значения $y$ на концах промежутка $[0; 9]$.

При $x = 0$ (нижняя граница):

$y = \sqrt{0} = 0$

При $x = 9$ (верхняя граница):

$y = \sqrt{9} = 3$

Так как функция возрастает, все значения $y$ будут находиться между 0 и 3, включая эти числа.

Ответ: $y \in [0; 3]$.

б) $x \in [4; +\infty)$

Найдем значение $y$ на нижней границе промежутка, при $x = 4$:

$y = \sqrt{4} = 2$

Поскольку $x$ может неограниченно возрастать (стремится к $+\infty$), значение $y = \sqrt{x}$ также будет неограниченно возрастать.

Следовательно, переменная $y$ принадлежит промежутку, начинающемуся с 2 и уходящему в бесконечность.

Ответ: $y \in [2; +\infty)$.

в) $x \in [1; 4]$

Найдем значения $y$ на концах промежутка $[1; 4]$.

При $x = 1$ (нижняя граница):

$y = \sqrt{1} = 1$

При $x = 4$ (верхняя граница):

$y = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, значения $y$ лежат в промежутке от 1 до 2 включительно.

Ответ: $y \in [1; 2]$.

г) $x \in [9; +\infty)$

Найдем значение $y$ на нижней границе промежутка, при $x = 9$:

$y = \sqrt{9} = 3$

Поскольку $x$ стремится к $+\infty$, значение $y$ также будет стремиться к $+\infty$.

Следовательно, переменная $y$ принадлежит промежутку, начинающемуся с 3.

Ответ: $y \in [3; +\infty)$.