Страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Вычислите:

15.1 а) $ \sqrt{4 \cdot 9} $;

б) $ \sqrt{16 \cdot 25} $;

в) $ \sqrt{49 \cdot 81} $;

г) $ \sqrt{64 \cdot 36} $.

а) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{4 \cdot 9} $ можно использовать свойство арифметического квадратного корня из произведения. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
Применим это свойство:
$ \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} $
Теперь вычислим значение каждого корня по отдельности:
$ \sqrt{4} = 2 $
$ \sqrt{9} = 3 $
Перемножим полученные результаты:
$ 2 \cdot 3 = 6 $
Ответ: 6

б) Для вычисления $ \sqrt{16 \cdot 25} $ воспользуемся тем же свойством корня из произведения:
$ \sqrt{16 \cdot 25} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{25} $
Вычисляем каждый корень:
$ \sqrt{16} = 4 $
$ \sqrt{25} = 5 $
Находим произведение:
$ 4 \cdot 5 = 20 $
Ответ: 20

в) Для вычисления $ \sqrt{49 \cdot 81} $ снова применяем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{49 \cdot 81} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{81} $
Вычисляем значения корней:
$ \sqrt{49} = 7 $
$ \sqrt{81} = 9 $
Находим произведение:
$ 7 \cdot 9 = 63 $
Ответ: 63

г) Для вычисления $ \sqrt{64 \cdot 36} $ используем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{64 \cdot 36} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{36} $
Вычисляем значения корней:
$ \sqrt{64} = 8 $
$ \sqrt{36} = 6 $
Находим произведение:
$ 8 \cdot 6 = 48 $
Ответ: 48

15.2 а) $\sqrt{0,01 \cdot 0,09}$;

б) $\sqrt{0,36 \cdot 0,49}$;

в) $\sqrt{0,04 \cdot 1,21}$;

г) $\sqrt{0,81 \cdot 0,81}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{0,01 \cdot 0,09}$ воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{0,01 \cdot 0,09} = \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{0,09}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{0,01} = \sqrt{(0,1)^2} = 0,1$
$\sqrt{0,09} = \sqrt{(0,3)^2} = 0,3$
Перемножим полученные значения:
$0,1 \cdot 0,3 = 0,03$
Ответ: $0,03$.

б) Аналогично предыдущему пункту, применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{0,36 \cdot 0,49} = \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{0,49}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{0,36} = \sqrt{(0,6)^2} = 0,6$
$\sqrt{0,49} = \sqrt{(0,7)^2} = 0,7$
Перемножим полученные значения:
$0,6 \cdot 0,7 = 0,42$
Ответ: $0,42$.

в) Используем то же свойство корня из произведения:
$\sqrt{0,04 \cdot 1,21} = \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{1,21}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{0,04} = \sqrt{(0,2)^2} = 0,2$
$\sqrt{1,21} = \sqrt{(1,1)^2} = 1,1$
Перемножим полученные значения:
$0,2 \cdot 1,1 = 0,22$
Ответ: $0,22$.

г) В данном случае подкоренное выражение представляет собой квадрат числа $0,81$:
$\sqrt{0,81 \cdot 0,81} = \sqrt{(0,81)^2}$
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Поскольку $0,81$ является положительным числом, то $|0,81| = 0,81$.
Следовательно, $\sqrt{(0,81)^2} = 0,81$.
Другой способ — также использовать свойство корня из произведения:
$\sqrt{0,81 \cdot 0,81} = \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{0,81} = 0,9 \cdot 0,9 = 0,81$
Ответ: $0,81$.

15.3 a) $ \sqrt{25 \cdot 16 \cdot 9}; $

б) $ \sqrt{0,64 \cdot 0,36 \cdot 9}; $

в) $ \sqrt{81 \cdot 100 \cdot 4}; $

г) $ \sqrt{0,01 \cdot 81 \cdot 0,25}. $

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{25 \cdot 16 \cdot 9}$ воспользуемся свойством корня из произведения. Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.

$\sqrt{25 \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{9}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{25} = 5$

$\sqrt{16} = 4$

$\sqrt{9} = 3$

Перемножим полученные значения:

$5 \cdot 4 \cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60$

Ответ: 60

б)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{0,64 \cdot 0,36 \cdot 9}$ также используем свойство корня из произведения.

$\sqrt{0,64 \cdot 0,36 \cdot 9} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{9}$

Извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{0,64} = 0,8$ (так как $0,8^2 = 0,64$)

$\sqrt{0,36} = 0,6$ (так как $0,6^2 = 0,36$)

$\sqrt{9} = 3$

Перемножим результаты:

$0,8 \cdot 0,6 \cdot 3 = 0,48 \cdot 3 = 1,44$

Ответ: 1,44

в)

Вычислим значение выражения $\sqrt{81 \cdot 100 \cdot 4}$, применив свойство корня из произведения.

$\sqrt{81 \cdot 100 \cdot 4} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{4}$

Извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{81} = 9$

$\sqrt{100} = 10$

$\sqrt{4} = 2$

Перемножим полученные значения:

$9 \cdot 10 \cdot 2 = 90 \cdot 2 = 180$

Ответ: 180

г)

Вычислим значение выражения $\sqrt{0,01 \cdot 81 \cdot 0,25}$, используя свойство корня из произведения.

$\sqrt{0,01 \cdot 81 \cdot 0,25} = \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{0,25}$

Извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{0,01} = 0,1$ (так как $0,1^2 = 0,01$)

$\sqrt{81} = 9$

$\sqrt{0,25} = 0,5$ (так как $0,5^2 = 0,25$)

Перемножим результаты:

$0,1 \cdot 9 \cdot 0,5 = 0,9 \cdot 0,5 = 0,45$

Ответ: 0,45

15.4 а) $\sqrt{\frac{9}{25}}$;б) $\sqrt{\frac{36}{121}}$;в) $\sqrt{\frac{144}{169}}$;г) $\sqrt{\frac{1}{64}}$.

а)

Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\frac{9}{25}}$, воспользуемся свойством квадратного корня из дроби. Корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

Это можно записать в виде формулы: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, где $a \ge 0$ и $b > 0$.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}$

Теперь вычислим значения корней в числителе и знаменателе:

$\sqrt{9} = 3$, так как $3^2 = 9$.

$\sqrt{25} = 5$, так как $5^2 = 25$.

Подставив полученные значения, получим:

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

б)

Для вычисления $\sqrt{\frac{36}{121}}$ применим то же свойство корня из дроби.

$\sqrt{\frac{36}{121}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{121}}$

Вычислим корень из числителя и знаменателя:

$\sqrt{36} = 6$, так как $6^2 = 36$.

$\sqrt{121} = 11$, так как $11^2 = 121$.

Таким образом, результат равен:

$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{121}} = \frac{6}{11}$

Ответ: $\frac{6}{11}$

в)

Для вычисления $\sqrt{\frac{144}{169}}$ воспользуемся свойством корня из дроби.

$\sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}}$

Вычислим корень из числителя и знаменателя:

$\sqrt{144} = 12$, так как $12^2 = 144$.

$\sqrt{169} = 13$, так как $13^2 = 169$.

Следовательно, получаем:

$\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} = \frac{12}{13}$

Ответ: $\frac{12}{13}$

г)

Для вычисления $\sqrt{\frac{1}{64}}$ применим свойство корня из дроби.

$\sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64}}$

Вычислим корень из числителя и знаменателя:

$\sqrt{1} = 1$, так как $1^2 = 1$.

$\sqrt{64} = 8$, так как $8^2 = 64$.

В результате получаем:

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64}} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

15.5 a) $\sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49}}$;

б) $\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{25}{9}}$;

B) $\sqrt{\frac{9}{49} \cdot \frac{1}{16}}$;

г) $\sqrt{\frac{100}{121} \cdot \frac{4}{81}}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49}}$ используем свойство "корень из произведения равен произведению корней": $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Это позволяет нам разбить исходное выражение на два множителя: $\sqrt{\frac{25}{81}} \cdot \sqrt{\frac{16}{49}}$. Далее применяем свойство "корень из дроби": $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Получаем: $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}$. Вычисляем значения корней: $\frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7}$. Наконец, перемножаем дроби: $\frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 7} = \frac{20}{63}$.
Ответ: $\frac{20}{63}$.

б) Решим выражение $\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{25}{9}}$. Используя свойство корня из произведения, получаем: $\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{\frac{25}{9}}$. Затем, используя свойство корня из дроби, преобразуем выражение в: $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}$. Вычисляем корни: $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3}$. Перемножаем полученные дроби: $\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

в) Найдем значение выражения $\sqrt{\frac{9}{49} \cdot \frac{1}{16}}$. Разобьем корень из произведения на произведение корней: $\sqrt{\frac{9}{49}} \cdot \sqrt{\frac{1}{16}}$. Далее, извлечем корень из каждой дроби: $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{49}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$. Вычислим значения квадратных корней: $\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4}$. Умножим дроби: $\frac{3 \cdot 1}{7 \cdot 4} = \frac{3}{28}$.
Ответ: $\frac{3}{28}$.

г) Вычислим $\sqrt{\frac{100}{121} \cdot \frac{4}{81}}$. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{\frac{100}{121}} \cdot \sqrt{\frac{4}{81}}$. Затем применим свойство корня из дроби: $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{121}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{81}}$. Извлекаем корни из числителей и знаменателей: $\frac{10}{11} \cdot \frac{2}{9}$. Перемножаем дроби: $\frac{10 \cdot 2}{11 \cdot 9} = \frac{20}{99}$.
Ответ: $\frac{20}{99}$.

15.6 а) $\sqrt{1\frac{9}{16}};$

б) $\sqrt{5\frac{4}{9}};$

в) $\sqrt{1\frac{13}{36}};$

г) $\sqrt{3\frac{1}{16}}.$

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{1\frac{9}{16}}$, необходимо сначала преобразовать смешанное число в неправильную дробь.$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$.Далее, применяя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, вычисляем значение корня:$\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$.Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.
Ответ: $1\frac{1}{4}$.

б) Преобразуем смешанное число $5\frac{4}{9}$ в неправильную дробь:$5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{45 + 4}{9} = \frac{49}{9}$.Теперь извлечем квадратный корень из этой дроби:$\sqrt{5\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$.Представим результат в виде смешанного числа:$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.
Ответ: $2\frac{1}{3}$.

в) Сначала переведем смешанное число $1\frac{13}{36}$ в неправильную дробь:$1\frac{13}{36} = \frac{1 \cdot 36 + 13}{36} = \frac{36 + 13}{36} = \frac{49}{36}$.Вычислим квадратный корень из полученной дроби:$\sqrt{1\frac{13}{36}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{36}} = \frac{7}{6}$.Переведем результат в смешанное число:$\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
Ответ: $1\frac{1}{6}$.

г) Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{16}$ в неправильную дробь:$3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{48 + 1}{16} = \frac{49}{16}$.Теперь вычислим значение корня:$\sqrt{3\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \frac{7}{4}$.Представим результат в виде смешанного числа:$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.
Ответ: $1\frac{3}{4}$.

15.7 а) $\sqrt{1\frac{7}{9} \cdot \frac{4}{25}}$;

б) $\sqrt{3\frac{1}{16} \cdot 2\frac{14}{25}}$;

в) $\sqrt{1\frac{9}{16} \cdot \frac{49}{81}}$;

г) $\sqrt{5\frac{1}{16} \cdot 2\frac{34}{81}}$.

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{1\frac{7}{9} \cdot \frac{4}{25}}$ необходимо сначала преобразовать смешанное число $1\frac{7}{9}$ в неправильную дробь.

$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$

Теперь подставим полученную дробь в исходное выражение под корень:

$\sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}}$

Воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), а также свойством корня из дроби ($\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$):

$\sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{16}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

Извлекаем корни:

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Перемножаем дроби:

$\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$

Ответ: $\frac{8}{15}$

б)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{3\frac{1}{16} \cdot 2\frac{14}{25}}$ преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{48 + 1}{16} = \frac{49}{16}$

$2\frac{14}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 14}{25} = \frac{50 + 14}{25} = \frac{64}{25}$

Подставляем дроби в выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{49}{16} \cdot \frac{64}{25}}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{\frac{49}{16}} \cdot \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{5}$

Перемножаем дроби, выполнив сокращение:

$\frac{7}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{7 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{14}{5}$

Преобразуем результат в смешанное число:

$\frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$

Ответ: $2\frac{4}{5}$

в)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{1\frac{9}{16} \cdot \frac{49}{81}}$ преобразуем смешанное число $1\frac{9}{16}$ в неправильную дробь.

$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$

Подставляем дробь в выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{25}{16} \cdot \frac{49}{81}}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{\frac{25}{16}} \cdot \sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{9}$

Перемножаем дроби:

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 9} = \frac{35}{36}$

Ответ: $\frac{35}{36}$

г)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{5\frac{1}{16} \cdot 2\frac{34}{81}}$ преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$

$2\frac{34}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 34}{81} = \frac{162 + 34}{81} = \frac{196}{81}$

Подставляем дроби в выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{81}{16} \cdot \frac{196}{81}}$

Перед извлечением корня можно сократить дроби:

$\sqrt{\frac{81}{16} \cdot \frac{196}{81}} = \sqrt{\frac{196}{16}}$

Теперь извлекаем корень из числителя и знаменателя:

$\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{16}} = \frac{14}{4}$

Сокращаем полученную дробь и представляем в виде смешанного числа:

$\frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

Ответ: $3\frac{1}{2}$

Вычислите:

15.8 a) $\sqrt{4^4}$;

б) $\sqrt{5^8}$;

в) $\sqrt{9^6}$;

г) $\sqrt{6^4}$.

а) Для вычисления выражения $\sqrt{4^4}$ воспользуемся свойством корня из степени: $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \ge 0$. Это свойство означает, что для извлечения квадратного корня из числа в четной степени, нужно основание оставить прежним, а показатель степени разделить на 2.
В данном случае основание $a=4$, а показатель степени $2n=4$. Применяем правило:
$\sqrt{4^4} = 4^{4/2} = 4^2$.
Теперь вычисляем значение полученного выражения:
$4^2 = 16$.
Ответ: 16

б) Для вычисления выражения $\sqrt{5^8}$ используем то же свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \ge 0$.
Основание степени равно 5, а показатель равен 8. Делим показатель на 2:
$\sqrt{5^8} = 5^{8/2} = 5^4$.
Вычислим $5^4$:
$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625$.
Ответ: 625

в) Вычислим $\sqrt{9^6}$, применяя правило извлечения квадратного корня из степени с четным показателем.
Основание равно 9, показатель степени равен 6.
$\sqrt{9^6} = 9^{6/2} = 9^3$.
Теперь вычислим значение $9^3$:
$9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$.
Ответ: 729

г) Для выражения $\sqrt{6^4}$ снова используем свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \ge 0$.
Основание равно 6, показатель степени равен 4.
$\sqrt{6^4} = 6^{4/2} = 6^2$.
Возводим 6 в квадрат:
$6^2 = 36$.
Ответ: 36

15.9 a) $\sqrt{5^4}$;

б) $\sqrt{(-2)^8}$;

в) $\sqrt{2^{12}};

г) $\sqrt{(-5)^2}.

а) Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{5^4}$, воспользуемся свойством степени. Арифметический квадратный корень можно представить как возведение в степень $\frac{1}{2}$.

Таким образом, $\sqrt{5^4} = (5^4)^{\frac{1}{2}}$.

Применяя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$5^{4 \cdot \frac{1}{2}} = 5^2 = 25$.

Другой способ — представить подкоренное выражение как квадрат другого выражения: $5^4 = (5^2)^2$.

Тогда $\sqrt{5^4} = \sqrt{(5^2)^2}$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = a$ для $a \ge 0$, получаем:

$\sqrt{(5^2)^2} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-2)^8}$.

Сначала вычислим значение подкоренного выражения. Так как показатель степени 8 — четное число, результат возведения в степень будет положительным:

$(-2)^8 = 2^8$.

Теперь задача сводится к вычислению $\sqrt{2^8}$.

Используя представление корня в виде степени, получаем:

$\sqrt{2^8} = (2^8)^{\frac{1}{2}} = 2^{8 \cdot \frac{1}{2}} = 2^4 = 16$.

Альтернативно, можно использовать свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. В данном случае $a = -2$ и $2k = 8$, значит $k=4$.

$\sqrt{(-2)^8} = \sqrt{((-2)^4)^2} = |(-2)^4| = |16| = 16$.

Ответ: 16.

в) Вычислим значение выражения $\sqrt{2^{12}}$.

Представим квадратный корень как степень $\frac{1}{2}$:

$\sqrt{2^{12}} = (2^{12})^{\frac{1}{2}}$.

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$2^{12 \cdot \frac{1}{2}} = 2^6 = 64$.

Также можно представить $2^{12}$ как $(2^6)^2$.

Тогда $\sqrt{2^{12}} = \sqrt{(2^6)^2} = 2^6 = 64$, так как $2^6 > 0$.

Ответ: 64.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-5)^2}$.

Воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа a).

Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.

Также можно сначала возвести число в квадрат под корнем:

$(-5)^2 = 25$.

Тогда выражение примет вид $\sqrt{25}$, что равно 5.

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.