Страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

15.10 а) $\sqrt{3^4 \cdot 5^2}$;

б) $\sqrt{2^6 \cdot 7^4}$;

в) $\sqrt{7^2 \cdot 3^6}$;

г) $\sqrt{2^4 \cdot 5^2}$.

a) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3^4 \cdot 5^2}$ воспользуемся свойствами корней и степеней. Основное свойство, которое мы применим, это корень из произведения, который равен произведению корней из множителей: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$).

$\sqrt{3^4 \cdot 5^2} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя. Для этого воспользуемся свойством $\sqrt{x^{2n}} = x^n$. Это равносильно делению показателя степени на 2.

$\sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9$

$\sqrt{5^2} = 5^{2/2} = 5^1 = 5$

Перемножим полученные результаты:

$9 \cdot 5 = 45$

Ответ: $45$

б) Вычислим значение выражения $\sqrt{2^6 \cdot 7^4}$.

Аналогично предыдущему примеру, разделим корень на произведение корней:

$\sqrt{2^6 \cdot 7^4} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{7^4}$

Извлечем корень из каждого множителя, разделив показатели степеней на 2:

$\sqrt{2^6} = 2^{6/2} = 2^3 = 8$

$\sqrt{7^4} = 7^{4/2} = 7^2 = 49$

Найдем произведение результатов:

$8 \cdot 49 = 392$

Ответ: $392$

в) Вычислим значение выражения $\sqrt{7^2 \cdot 3^6}$.

Используя свойство корня из произведения, получаем:

$\sqrt{7^2 \cdot 3^6} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{3^6}$

Извлекаем корень из каждого множителя, так как все показатели степеней четные:

$\sqrt{7^2} = 7^{2/2} = 7^1 = 7$

$\sqrt{3^6} = 3^{6/2} = 3^3 = 27$

Перемножаем полученные числа:

$7 \cdot 27 = 189$

Ответ: $189$

г) Вычислим значение выражения $\sqrt{2^4 \cdot 5^2}$.

Применим свойство корня из произведения:

$\sqrt{2^4 \cdot 5^2} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{5^2}$

Извлечем корень из каждого множителя, поделив показатели степеней на 2:

$\sqrt{2^4} = 2^{4/2} = 2^2 = 4$

$\sqrt{5^2} = 5^{2/2} = 5^1 = 5$

Вычислим конечное произведение:

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: $20$

15.11 a) $\sqrt{\frac{81 \cdot 25}{16}};$

б) $\sqrt{\frac{9 \cdot 16}{25 \cdot 49}};$

в) $\sqrt{\frac{36}{49 \cdot 121}};$

г) $\sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 100}}.$

а) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\frac{81 \cdot 25}{16}} $ воспользуемся свойствами корня из дроби и корня из произведения: $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ и $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
$ \sqrt{\frac{81 \cdot 25}{16}} = \frac{\sqrt{81 \cdot 25}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{81} \cdot \sqrt{25}}{\sqrt{16}} $.
Теперь вычислим значения корней, так как все подкоренные выражения являются полными квадратами: $ \sqrt{81} = 9 $, $ \sqrt{25} = 5 $, $ \sqrt{16} = 4 $.
Подставим полученные значения в выражение:
$ \frac{9 \cdot 5}{4} = \frac{45}{4} $.
Преобразуем неправильную дробь в десятичную: $ \frac{45}{4} = 11,25 $.
Ответ: $ \frac{45}{4} $ или $ 11,25 $.

б) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\frac{9 \cdot 16}{25 \cdot 49}} $ применим те же свойства квадратных корней.
$ \sqrt{\frac{9 \cdot 16}{25 \cdot 49}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 16}}{\sqrt{25 \cdot 49}} = \frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{16}}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{49}} $.
Вычислим значения корней из каждого множителя: $ \sqrt{9} = 3 $, $ \sqrt{16} = 4 $, $ \sqrt{25} = 5 $, $ \sqrt{49} = 7 $.
Подставим полученные значения и выполним умножение:
$ \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 7} = \frac{12}{35} $.
Данная дробь является несократимой.
Ответ: $ \frac{12}{35} $.

в) Вычислим значение выражения $ \sqrt{\frac{36}{49 \cdot 121}} $, используя свойства корня из дроби и произведения.
$ \sqrt{\frac{36}{49 \cdot 121}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49 \cdot 121}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49} \cdot \sqrt{121}} $.
Вычислим значения корней: $ \sqrt{36} = 6 $, $ \sqrt{49} = 7 $, $ \sqrt{121} = 11 $.
Подставим полученные значения в выражение:
$ \frac{6}{7 \cdot 11} = \frac{6}{77} $.
Полученная дробь несократима.
Ответ: $ \frac{6}{77} $.

г) Вычислим значение выражения $ \sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 100}} $.
Применим свойства корня из дроби и произведения:
$ \sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 100}} = \frac{\sqrt{121} \cdot \sqrt{256}}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{100}} $.
Вычислим значения корней: $ \sqrt{121} = 11 $, $ \sqrt{256} = 16 $, $ \sqrt{25} = 5 $, $ \sqrt{100} = 10 $.
Подставим значения в выражение и упростим дробь, сократив общие множители до перемножения:
$ \frac{11 \cdot 16}{5 \cdot 10} = \frac{11 \cdot (2 \cdot 8)}{5 \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{11 \cdot 8}{5 \cdot 5} = \frac{88}{25} $.
Преобразуем полученную дробь в десятичную: $ \frac{88}{25} = \frac{88 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{352}{100} = 3,52 $.
Ответ: $ \frac{88}{25} $ или $ 3,52 $.

Используя свойства квадратного корня, найдите с помощью таблицы квадратов значение выражения:

15.12

а) $\sqrt{115600}$;

б) $\sqrt{577600}$;

в) $\sqrt{608400}$;

г) $\sqrt{902500}$.

а) Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{115600} $, воспользуемся свойством квадратного корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $. Представим подкоренное выражение в виде произведения числа, которое можно найти в таблице квадратов, и 100.
$ \sqrt{115600} = \sqrt{1156 \cdot 100} $
Применим свойство корня:
$ \sqrt{1156 \cdot 100} = \sqrt{1156} \cdot \sqrt{100} $
Известно, что $ \sqrt{100} = 10 $. По таблице квадратов находим, что $ 34^2 = 1156 $, следовательно, $ \sqrt{1156} = 34 $.
Перемножим полученные значения:
$ \sqrt{1156} \cdot \sqrt{100} = 34 \cdot 10 = 340 $
Ответ: 340.

б) Для нахождения значения выражения $ \sqrt{577600} $ представим подкоренное выражение в виде произведения: $ 577600 = 5776 \cdot 100 $.
Используя свойство корня из произведения, получим:
$ \sqrt{577600} = \sqrt{5776 \cdot 100} = \sqrt{5776} \cdot \sqrt{100} $
Мы знаем, что $ \sqrt{100} = 10 $. С помощью таблицы квадратов находим, что $ 76^2 = 5776 $, значит $ \sqrt{5776} = 76 $.
Вычисляем результат:
$ 76 \cdot 10 = 760 $
Ответ: 760.

в) Для нахождения значения выражения $ \sqrt{608400} $ разложим число под корнем на множители: $ 608400 = 6084 \cdot 100 $.
Применим свойство квадратного корня:
$ \sqrt{608400} = \sqrt{6084 \cdot 100} = \sqrt{6084} \cdot \sqrt{100} $
Известно, что $ \sqrt{100} = 10 $. Обратившись к таблице квадратов, находим, что $ 78^2 = 6084 $, отсюда $ \sqrt{6084} = 78 $.
Производим умножение:
$ 78 \cdot 10 = 780 $
Ответ: 780.

г) Для нахождения значения выражения $ \sqrt{902500} $ представим подкоренное выражение как произведение: $ 902500 = 9025 \cdot 100 $.
Используя свойство корня из произведения, имеем:
$ \sqrt{902500} = \sqrt{9025 \cdot 100} = \sqrt{9025} \cdot \sqrt{100} $
Знаем, что $ \sqrt{100} = 10 $. По таблице квадратов находим, что $ 95^2 = 9025 $, следовательно $ \sqrt{9025} = 95 $.
Вычисляем конечное значение:
$ 95 \cdot 10 = 950 $
Ответ: 950.

15.13 а) $\sqrt{20.25}$;

б) $\sqrt{43.56}$;

в) $\sqrt{96.04}$;

г) $\sqrt{37.21}$.

а) Чтобы найти корень из десятичной дроби $ \sqrt{20,25} $, представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. Два знака после запятой означают, что в знаменателе будет 100.

$ \sqrt{20,25} = \sqrt{\frac{2025}{100}} $

Используем свойство корня из дроби $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $:

$ \sqrt{\frac{2025}{100}} = \frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{100}} $

Знаменатель $ \sqrt{100} = 10 $. Для нахождения $ \sqrt{2025} $ заметим, что число 2025 оканчивается на 5, значит, его корень должен оканчиваться на 5. Проверим числа, оканчивающиеся на 5: $ 40^2 = 1600 $, $ 50^2 = 2500 $. Наш корень находится между 40 и 50, значит, это 45. Проверим: $ 45^2 = 2025 $.

Получаем: $ \frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{100}} = \frac{45}{10} = 4,5 $.

Ответ: 4,5

б) Аналогично решаем для $ \sqrt{43,56} $. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$ \sqrt{43,56} = \sqrt{\frac{4356}{100}} = \frac{\sqrt{4356}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{4356}}{10} $

Чтобы найти $ \sqrt{4356} $, определим границы. $ 60^2 = 3600 $, $ 70^2 = 4900 $. Корень находится между 60 и 70. Число 4356 оканчивается на 6, значит, его корень должен оканчиваться на 4 или на 6. Возможные варианты: 64 или 66. Проверим 66: $ 66^2 = (60+6)^2 = 3600 + 2 \cdot 60 \cdot 6 + 36 = 3600 + 720 + 36 = 4356 $.

Следовательно, $ \frac{\sqrt{4356}}{10} = \frac{66}{10} = 6,6 $.

Ответ: 6,6

в) Найдем значение выражения $ \sqrt{96,04} $. Переведем в обыкновенную дробь:

$ \sqrt{96,04} = \sqrt{\frac{9604}{100}} = \frac{\sqrt{9604}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{9604}}{10} $

Для нахождения $ \sqrt{9604} $ оценим его. $ 90^2 = 8100 $, $ 100^2 = 10000 $. Корень находится между 90 и 100. Число 9604 оканчивается на 4, значит, его корень оканчивается на 2 или 8. Возможные варианты: 92 или 98. Число 9604 ближе к 10000, поэтому проверим 98: $ 98^2 = (100-2)^2 = 10000 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 4 = 10000 - 400 + 4 = 9604 $.

Тогда $ \frac{\sqrt{9604}}{10} = \frac{98}{10} = 9,8 $.

Ответ: 9,8

г) Найдем значение выражения $ \sqrt{37,21} $. Переведем в обыкновенную дробь:

$ \sqrt{37,21} = \sqrt{\frac{3721}{100}} = \frac{\sqrt{3721}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{3721}}{10} $

Для нахождения $ \sqrt{3721} $ оценим его. $ 60^2 = 3600 $, $ 70^2 = 4900 $. Корень находится между 60 и 70. Число 3721 оканчивается на 1, значит, его корень оканчивается на 1 или 9. Возможные варианты: 61 или 69. Число 3721 очень близко к 3600, поэтому проверим 61: $ 61^2 = (60+1)^2 = 3600 + 2 \cdot 60 \cdot 1 + 1 = 3600 + 120 + 1 = 3721 $.

В результате получаем $ \frac{\sqrt{3721}}{10} = \frac{61}{10} = 6,1 $.

Ответ: 6,1

15.14 Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{a^2}$, если $a = 15$;

б) $2\sqrt{a^4}$, если $a = 7$;

в) $-3\sqrt{b^6}$, если $b = 2$;

г) $5\sqrt{y^8}$, если $y = -2$.

а) Для нахождения значения выражения $\sqrt{a^2}$ при $a = 15$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$.
Это свойство означает, что квадратный корень из квадрата числа равен модулю (абсолютной величине) этого числа.
Подставим значение $a=15$ в выражение:
$\sqrt{15^2} = |15|$.
Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому:
$|15| = 15$.
Ответ: 15.

б) Чтобы найти значение выражения $2\sqrt{a^4}$ при $a = 7$, сначала упростим выражение под корнем. Выражение $a^4$ можно представить как квадрат выражения $a^2$, то есть $a^4 = (a^2)^2$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$.
Поскольку квадрат любого действительного числа ($a^2$) всегда неотрицателен, его модуль равен самому этому выражению: $|a^2| = a^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $2a^2$.
Теперь подставим значение $a = 7$:
$2 \cdot 7^2 = 2 \cdot 49 = 98$.
Ответ: 98.

в) Найдем значение выражения $-3\sqrt{b^6}$ при $b = 2$.
Упростим выражение под корнем. Степень $b^6$ можно представить как квадрат выражения $b^3$: $b^6 = (b^3)^2$.
Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, имеем:
$\sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3|$.
Выражение принимает вид $-3|b^3|$.
Подставим значение $b = 2$:
$-3 \cdot |2^3| = -3 \cdot |8|$.
Так как 8 — положительное число, $|8| = 8$.
$-3 \cdot 8 = -24$.
Ответ: -24.

г) Найдем значение выражения $5\sqrt{y^8}$ при $y = -2$.
Упростим корень. Степень $y^8$ можно представить как квадрат выражения $y^4$: $y^8 = (y^4)^2$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{y^8} = \sqrt{(y^4)^2} = |y^4|$.
Так как показатель степени 4 является четным числом, выражение $y^4$ будет неотрицательным при любом значении $y$. Следовательно, $|y^4| = y^4$.
Выражение становится равным $5y^4$.
Подставим значение $y = -2$:
$5 \cdot (-2)^4 = 5 \cdot 16 = 80$.
Ответ: 80.

Упростите выражение*:

15.15 a) $\sqrt{9a^{16}}$;б) $\sqrt{36b^8}$;в) $\sqrt{49c^4}$;г) $\sqrt{81d^6}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{9a^{16}}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$) и свойством корня из степени $\sqrt{x^2} = |x|$. Поскольку $9 > 0$ и $a^{16}=(a^8)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, можем записать:
$\sqrt{9a^{16}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^{16}} = 3 \cdot \sqrt{(a^8)^2} = 3|a^8|$.
Так как показатель степени 8 является четным числом, выражение $a^8$ всегда неотрицательно ($a^8 \ge 0$), поэтому $|a^8|=a^8$.
Окончательный вид выражения: $3a^8$.

Ответ: $3a^8$

б) Упростим выражение $\sqrt{36b^8}$, используя те же свойства. Выражение под корнем неотрицательно, так как $36 > 0$ и $b^8=(b^4)^2 \ge 0$.
$\sqrt{36b^8} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{b^8} = 6 \cdot \sqrt{(b^4)^2} = 6|b^4|$.
Показатель степени 4 — четный, поэтому $b^4 \ge 0$ для любого $b$. Следовательно, $|b^4| = b^4$.
В результате получаем: $6b^4$.

Ответ: $6b^4$

в) Упростим выражение $\sqrt{49c^4}$.
$\sqrt{49c^4} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{c^4} = 7 \cdot \sqrt{(c^2)^2} = 7|c^2|$.
Выражение $c^2$ всегда неотрицательно ($c^2 \ge 0$), поэтому модуль можно опустить: $|c^2| = c^2$.
Итоговое выражение: $7c^2$.

Ответ: $7c^2$

г) Упростим выражение $\sqrt{81d^6}$.
$\sqrt{81d^6} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{d^6} = 9 \cdot \sqrt{(d^3)^2} = 9|d^3|$.
В данном случае показатель степени у подмодульного выражения ($d^3$) — нечетный. Это означает, что $d^3$ может быть как положительным (если $d>0$), так и отрицательным (если $d<0$). Поэтому знак модуля необходимо сохранить, так как по определению арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Дальнейшее упрощение без информации о знаке $d$ невозможно.

Ответ: $9|d^3|$

15.16 а) $-5\sqrt{4x^2}$;

б) $-3\sqrt{9y^6}$;

в) $-0{,}1\sqrt{100z^8}$;

г) $-\sqrt{0{,}25t^2}$.

a) Для упрощения выражения $-5\sqrt{4x^2}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$, а также определением арифметического квадратного корня $\sqrt{k^2} = |k|$.
Выносим множители из-под знака корня:
$-5\sqrt{4x^2} = -5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} = -5 \cdot 2 \cdot |x| = -10|x|$.
Ответ: $-10|x|$

б) Упростим выражение $-3\sqrt{9y^6}$.
Выносим множители из-под знака корня:
$-3\sqrt{9y^6} = -3 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{y^6}$.
Представим подкоренное выражение $y^6$ в виде квадрата: $y^6 = (y^3)^2$. Тогда, по определению, $\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$.
Следовательно: $-3 \cdot 3 \cdot |y^3| = -9|y^3|$.
Ответ: $-9|y^3|$

в) Упростим выражение $-0,1\sqrt{100z^8}$.
Выносим множители из-под знака корня:
$-0,1\sqrt{100z^8} = -0,1 \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{z^8}$.
Представим $z^8$ в виде квадрата: $z^8 = (z^4)^2$. Тогда $\sqrt{z^8} = \sqrt{(z^4)^2} = |z^4|$.
Поскольку показатель степени 4 является четным числом, выражение $z^4$ всегда неотрицательно ($z^4 \ge 0$) для любого действительного значения $z$. Поэтому, $|z^4| = z^4$.
В результате получаем: $-0,1 \cdot 10 \cdot z^4 = -1 \cdot z^4 = -z^4$.
Ответ: $-z^4$

г) Упростим выражение $-\sqrt{0,25t^2}$.
Выносим множители из-под знака корня:
$-\sqrt{0,25t^2} = -(\sqrt{0,25} \cdot \sqrt{t^2})$.
Так как $\sqrt{0,25} = 0,5$ и $\sqrt{t^2} = |t|$, получаем:
$-(0,5 \cdot |t|) = -0,5|t|$.
Ответ: $-0,5|t|$

15.17 а) $\sqrt{x^2 y^4}$

б) $\sqrt{z^6 t^8}$

в) $\sqrt{m^{12} n^{16}}$

г) $\sqrt{p^8 q^{10}}$

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{x^2y^4}$, воспользуемся свойствами арифметического квадратного корня. Основное свойство, которое мы будем использовать, это $\sqrt{a^2} = |a|$. Также, корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$).
Представим подкоренное выражение как произведение полных квадратов:
$x^2y^4 = x^2 \cdot (y^2)^2$
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{x^2y^4} = \sqrt{x^2 \cdot (y^2)^2} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(y^2)^2}$
Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|x| \cdot |y^2|$
Поскольку $y^2$ всегда является неотрицательным числом (любое число в квадрате больше или равно нулю), модуль от $y^2$ равен самому выражению $y^2$. То есть, $|y^2| = y^2$.
Таким образом, итоговый результат:
$|x|y^2$
Ответ: $|x|y^2$.

б)

Упростим выражение $\sqrt{z^6t^8}$.
Сначала представим каждый множитель под корнем в виде квадрата некоторого выражения:
$z^6 = (z^3)^2$
$t^8 = (t^4)^2$
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{z^6t^8} = \sqrt{(z^3)^2 \cdot (t^4)^2} = \sqrt{(z^3)^2} \cdot \sqrt{(t^4)^2}$
Используя правило $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|z^3| \cdot |t^4|$
Выражение $t^4$ всегда неотрицательно, так как показатель степени 4 — четное число. Поэтому $|t^4| = t^4$.
Выражение $z^3$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения (в зависимости от знака $z$), поэтому знак модуля для $z^3$ необходимо сохранить.
Окончательный вид выражения:
$|z^3|t^4$
Ответ: $|z^3|t^4$.

в)

Упростим выражение $\sqrt{m^{12}n^{16}}$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов:
$m^{12} = (m^6)^2$
$n^{16} = (n^8)^2$
Подставляем в исходное выражение:
$\sqrt{m^{12}n^{16}} = \sqrt{(m^6)^2 \cdot (n^8)^2} = \sqrt{(m^6)^2} \cdot \sqrt{(n^8)^2}$
Применяем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$|m^6| \cdot |n^8|$
Поскольку оба показателя степени (6 и 8) — четные числа, выражения $m^6$ и $n^8$ всегда неотрицательны. Следовательно, знаки модуля можно опустить:
$|m^6| = m^6$
$|n^8| = n^8$
Итоговый результат:
$m^6n^8$
Ответ: $m^6n^8$.

г)

Упростим выражение $\sqrt{p^8q^{10}}$.
Представим множители под корнем в виде квадратов:
$p^8 = (p^4)^2$
$q^{10} = (q^5)^2$
Подставляем в исходное выражение и извлекаем корень:
$\sqrt{p^8q^{10}} = \sqrt{(p^4)^2 \cdot (q^5)^2} = \sqrt{(p^4)^2} \cdot \sqrt{(q^5)^2}$
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем:
$|p^4| \cdot |q^5|$
Выражение $p^4$ всегда неотрицательно, так как показатель степени 4 — четное число. Поэтому $|p^4| = p^4$.
Выражение $q^5$ может быть как положительным, так и отрицательным (в зависимости от знака $q$), так как показатель степени 5 — нечетное число. Поэтому модуль для $q^5$ необходимо оставить.
Окончательный результат:
$p^4|q^5|$
Ответ: $p^4|q^5|$.

15.18 a) $\sqrt{25a^4b^6}$;

б) $\sqrt{\frac{81}{49}p^{12}q^{26}}$,

в) $\sqrt{36m^2n^8}$;

г) $\sqrt{\frac{1}{4}r^{18}s^2}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{25a^4b^6}$, воспользуемся свойством арифметического квадратного корня из произведения: $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$). Также будем использовать формулу $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$, так как квадратный корень является неотрицательным числом.
Выражение под корнем $25a^4b^6 = 25(a^2)^2(b^3)^2$ всегда неотрицательно, поэтому корень определен для любых значений $a$ и $b$.
Разложим корень на множители:
$\sqrt{25a^4b^6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^6}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$. Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно, $|a^2| = a^2$.
$\sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3|$. Так как $b^3$ может быть отрицательным (например, если $b < 0$), необходимо оставить знак модуля.
Соединив все части, получаем:
$5 \cdot a^2 \cdot |b^3| = 5a^2|b^3|$
Ответ: $5a^2|b^3|$

б) Упростим выражение $\sqrt{\frac{81}{49}p^{12}q^{26}}$. Используем свойство корня из произведения и частного, а также формулу $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$.
Подкоренное выражение $\frac{81}{49}p^{12}q^{26}$ неотрицательно при любых значениях переменных.
$\sqrt{\frac{81}{49}p^{12}q^{26}} = \sqrt{\frac{81}{49}} \cdot \sqrt{p^{12}} \cdot \sqrt{q^{26}}$
Упростим каждый множитель:
$\sqrt{\frac{81}{49}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7}$
$\sqrt{p^{12}} = \sqrt{(p^6)^2} = |p^6|$. Так как показатель степени 6 четный, $p^6$ всегда неотрицательно, поэтому $|p^6| = p^6$.
$\sqrt{q^{26}} = \sqrt{(q^{13})^2} = |q^{13}|$. Показатель степени 13 нечетный, поэтому $q^{13}$ может быть отрицательным. Знак модуля необходим.
Собираем результат:
$\frac{9}{7} \cdot p^6 \cdot |q^{13}| = \frac{9}{7}p^6|q^{13}|$
Ответ: $\frac{9}{7}p^6|q^{13}|$

в) Упростим выражение $\sqrt{36m^2n^8}$.
Используем те же свойства, что и ранее. Подкоренное выражение $36m^2n^8$ всегда неотрицательно.
$\sqrt{36m^2n^8} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n^8}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{36} = 6$
$\sqrt{m^2} = |m|$. Модуль здесь обязателен, так как $m$ может быть отрицательным.
$\sqrt{n^8} = \sqrt{(n^4)^2} = |n^4|$. Так как показатель степени 4 четный, $n^4$ всегда неотрицательно, и $|n^4| = n^4$.
Объединяем полученные результаты:
$6 \cdot |m| \cdot n^4 = 6|m|n^4$
Ответ: $6|m|n^4$

г) Упростим выражение $\sqrt{\frac{1}{4}r^{18}s^2}$.
Подкоренное выражение $\frac{1}{4}r^{18}s^2$ является неотрицательным для любых значений переменных.
$\sqrt{\frac{1}{4}r^{18}s^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{r^{18}} \cdot \sqrt{s^2}$
Упростим каждый множитель:
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{r^{18}} = \sqrt{(r^9)^2} = |r^9|$. Показатель степени 9 нечетный, поэтому значение $r^9$ может быть отрицательным, и модуль необходим.
$\sqrt{s^2} = |s|$. Модуль также необходим.
Объединяем результаты. Используя свойство модуля $|a| \cdot |b| = |ab|$, получаем:
$\frac{1}{2} \cdot |r^9| \cdot |s| = \frac{1}{2}|r^9s|$
Ответ: $\frac{1}{2}|r^9s|$

15.19 a) $\sqrt{\frac{4a^2}{b^6}}$;

б) $\sqrt{\frac{169a^{18}}{25b^{30}}}$;

в) $\sqrt{\frac{49a^{18}}{81b^6}}$;

г) $\sqrt{\frac{576a^{12}}{25b^{26}}}$.

а) Для упрощения выражения $ \sqrt{\frac{4a^2}{b^6}} $ воспользуемся свойствами квадратного корня.

1. Применим свойство корня из дроби $ \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} $ (для $ x \ge 0, y > 0 $):
$ \sqrt{\frac{4a^2}{b^6}} = \frac{\sqrt{4a^2}}{\sqrt{b^6}} $

2. Применим свойство корня из произведения $ \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} $ (для $ x \ge 0, y \ge 0 $):
$ \frac{\sqrt{4}\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^6}} $

3. Извлечём корни, используя правило $ \sqrt{x^{2k}} = |x^k| $.
В числителе: $ \sqrt{4} = 2 $ и $ \sqrt{a^2} = |a| $.
В знаменателе: $ \sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3| $.
Для существования выражения необходимо, чтобы $ b \neq 0 $.

4. Соберём полученное выражение:
$ \frac{2|a|}{|b^3|} $

Ответ: $ \frac{2|a|}{|b^3|} $

б) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{169a^{18}}{25b^{30}}} $.

1. Разделим корень на корень числителя и корень знаменателя:
$ \sqrt{\frac{169a^{18}}{25b^{30}}} = \frac{\sqrt{169a^{18}}}{\sqrt{25b^{30}}} $

2. Разложим подкоренные выражения на множители:
$ \frac{\sqrt{169}\sqrt{a^{18}}}{\sqrt{25}\sqrt{b^{30}}} $

3. Извлечём корни:
$ \sqrt{169} = 13 $, $ \sqrt{a^{18}} = \sqrt{(a^9)^2} = |a^9| $.
$ \sqrt{25} = 5 $, $ \sqrt{b^{30}} = \sqrt{(b^{15})^2} = |b^{15}| $.
Для существования выражения необходимо, чтобы $ b \neq 0 $.

4. Запишем итоговый результат:
$ \frac{13|a^9|}{5|b^{15}|} $

Ответ: $ \frac{13|a^9|}{5|b^{15}|} $

в) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{49a^{18}}{81b^6}} $.

1. Используем свойство корня из частного:
$ \sqrt{\frac{49a^{18}}{81b^6}} = \frac{\sqrt{49a^{18}}}{\sqrt{81b^6}} $

2. Используем свойство корня из произведения:
$ \frac{\sqrt{49}\sqrt{a^{18}}}{\sqrt{81}\sqrt{b^6}} $

3. Извлечём корни:
$ \sqrt{49} = 7 $, $ \sqrt{a^{18}} = \sqrt{(a^9)^2} = |a^9| $.
$ \sqrt{81} = 9 $, $ \sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3| $.
Для существования выражения необходимо, чтобы $ b \neq 0 $.

4. Запишем итоговый результат:
$ \frac{7|a^9|}{9|b^3|} $

Ответ: $ \frac{7|a^9|}{9|b^3|} $

г) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{576a^{12}}{25b^{26}}} $.

1. Применим свойство корня из дроби:
$ \sqrt{\frac{576a^{12}}{25b^{26}}} = \frac{\sqrt{576a^{12}}}{\sqrt{25b^{26}}} $

2. Применим свойство корня из произведения:
$ \frac{\sqrt{576}\sqrt{a^{12}}}{\sqrt{25}\sqrt{b^{26}}} $

3. Извлечём корни:
$ \sqrt{576} = 24 $, $ \sqrt{a^{12}} = \sqrt{(a^6)^2} = |a^6| $. Так как степень $ 6 $ чётная, $ a^6 $ всегда неотрицательно, поэтому $ |a^6| = a^6 $.
$ \sqrt{25} = 5 $, $ \sqrt{b^{26}} = \sqrt{(b^{13})^2} = |b^{13}| $.
Для существования выражения необходимо, чтобы $ b \neq 0 $.

4. Запишем итоговый результат:
$ \frac{24a^6}{5|b^{13}|} $

Ответ: $ \frac{24a^6}{5|b^{13}|} $

Используя свойства квадратных корней, найдите значение числового выражения:

15.20 a) $\sqrt{32} \cdot \sqrt{2}$;

б) $\sqrt{45} \cdot \sqrt{5}$;

в) $\sqrt{63} \cdot \sqrt{7}$;

г) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{90}$.

а) Для нахождения значения выражения $ \sqrt{32} \cdot \sqrt{2} $ воспользуемся свойством произведения квадратных корней, которое гласит, что произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений: $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.
Применим это свойство к нашему выражению: $ \sqrt{32} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{32 \cdot 2} $
Вычислим произведение под знаком корня: $ 32 \cdot 2 = 64 $
Теперь найдем значение корня: $ \sqrt{64} = 8 $
Ответ: 8

б) Для нахождения значения выражения $ \sqrt{45} \cdot \sqrt{5} $ используем то же свойство произведения квадратных корней: $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.
Перемножим подкоренные выражения: $ \sqrt{45} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{45 \cdot 5} $
Вычислим произведение: $ 45 \cdot 5 = 225 $
Найдем квадратный корень из полученного числа: $ \sqrt{225} = 15 $
Ответ: 15

в) Для нахождения значения выражения $ \sqrt{63} \cdot \sqrt{7} $ снова применим свойство произведения корней: $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.
Запишем выражение под одним корнем: $ \sqrt{63} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{63 \cdot 7} $
Выполним умножение: $ 63 \cdot 7 = 441 $
Извлечем квадратный корень: $ \sqrt{441} = 21 $
Ответ: 21

г) Для нахождения значения выражения $ \sqrt{10} \cdot \sqrt{90} $ воспользуемся свойством $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.
Объединим множители под одним знаком корня: $ \sqrt{10} \cdot \sqrt{90} = \sqrt{10 \cdot 90} $
Вычислим произведение под корнем: $ 10 \cdot 90 = 900 $
Найдем значение квадратного корня: $ \sqrt{900} = 30 $
Ответ: 30

15.21 a) $\sqrt{1,3} \cdot \sqrt{5,2}$;

б) $\sqrt{2,8} \cdot \sqrt{0,7}$;

в) $\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{10}$;

г) $\sqrt{4,5} \cdot \sqrt{50}$.

а) Для того чтобы найти произведение квадратных корней, воспользуемся свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для неотрицательных чисел $a$ и $b$.
$\sqrt{1,3} \cdot \sqrt{5,2} = \sqrt{1,3 \cdot 5,2}$.
Чтобы упростить вычисление, можно заметить, что $5,2 = 4 \cdot 1,3$. Подставим это в выражение:
$\sqrt{1,3 \cdot (4 \cdot 1,3)} = \sqrt{1,3^2 \cdot 4} = \sqrt{1,3^2 \cdot 2^2} = \sqrt{(1,3 \cdot 2)^2} = \sqrt{2,6^2}$.
Корень из квадрата числа равен самому числу (для неотрицательных чисел), поэтому $\sqrt{2,6^2} = 2,6$.
Другой способ — прямое умножение: $1,3 \cdot 5,2 = 6,76$. Тогда $\sqrt{6,76} = 2,6$, так как $2,6 \cdot 2,6 = 6,76$.
Ответ: 2,6.

б) Аналогично предыдущему пункту, применим свойство произведения корней.
$\sqrt{2,8} \cdot \sqrt{0,7} = \sqrt{2,8 \cdot 0,7}$.
Разложим множитель $2,8$ как $4 \cdot 0,7$.
$\sqrt{(4 \cdot 0,7) \cdot 0,7} = \sqrt{4 \cdot 0,7^2} = \sqrt{2^2 \cdot 0,7^2} = \sqrt{(2 \cdot 0,7)^2} = \sqrt{1,4^2}$.
Извлекая корень, получаем $1,4$.
При прямом умножении: $2,8 \cdot 0,7 = 1,96$. Тогда $\sqrt{1,96} = 1,4$, так как $1,4 \cdot 1,4 = 1,96$.
Ответ: 1,4.

в) Используем то же свойство: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{0,1 \cdot 10}$.
Выполним умножение чисел под корнем: $0,1 \cdot 10 = 1$.
Получаем $\sqrt{1}$, что равно $1$.
Ответ: 1.

г) Применяем свойство произведения корней.
$\sqrt{4,5} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{4,5 \cdot 50}$.
Выполним умножение под корнем. Удобно умножить $4,5$ на $2$, взяв двойку из множителя $50 = 2 \cdot 25$.
$\sqrt{4,5 \cdot 50} = \sqrt{(4,5 \cdot 2) \cdot 25} = \sqrt{9 \cdot 25}$.
Теперь используем свойство в обратном порядке: $\sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{25}$.
$\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{25} = 5$.
Следовательно, $3 \cdot 5 = 15$.
При прямом умножении: $4,5 \cdot 50 = 225$. Тогда $\sqrt{225} = 15$, так как $15 \cdot 15 = 225$.
Ответ: 15.