Страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

3. При опросе жителей возможны ответы «да», «нет», «не знаю». Найдите количество исходов опроса двух жителей.

Для решения этой задачи мы можем рассмотреть все возможные комбинации ответов двух жителей или использовать основное правило комбинаторики — правило умножения.

Метод 1: Полный перебор вариантов

Пусть первый житель — Ж1, а второй — Ж2. У каждого из них есть три возможных варианта ответа: «да», «нет», «не знаю».

Составим таблицу всех возможных исходов, где в ячейках указана пара ответов (Ответ Ж1, Ответ Ж2):

Как видно из таблицы, всего существует 9 уникальных комбинаций ответов.

Метод 2: Правило умножения в комбинаторике

Этот метод более универсален и не требует перечисления всех вариантов.

1. Для первого опрошенного жителя существует 3 возможных исхода (ответа).

2. Для второго опрошенного жителя также существует 3 возможных исхода, причём его ответ не зависит от ответа первого жителя.

Согласно правилу умножения, чтобы найти общее число исходов для независимых событий, нужно перемножить число исходов для каждого события.

Число исходов = (Количество вариантов для первого жителя) × (Количество вариантов для второго жителя).

Таким образом, общее количество исходов $N$ равно:

$N = 3 \times 3 = 9$

Это является частным случаем формулы для нахождения числа размещений с повторениями $N = n^k$, где $n$ — количество вариантов выбора для каждого элемента (у нас $n=3$), а $k$ — количество элементов в группе (у нас $k=2$).

$N = 3^2 = 9$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 9.

5. Герою в каждом испытании приходится выбирать между «пойти налево» или «пойти направо». Найдите количество исходов выбора для трёх последовательных испытаний.

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения. Задача состоит в том, чтобы найти общее число исходов для серии независимых событий.

У нас есть три последовательных испытания. Рассмотрим каждое из них:

1. Первое испытание: У героя есть 2 возможных выбора — «пойти налево» или «пойти направо».

2. Второе испытание: Независимо от того, какой выбор был сделан в первом испытании, во втором снова есть 2 варианта выбора.

3. Третье испытание: Аналогично, в третьем испытании также есть 2 варианта выбора.

Чтобы найти общее количество возможных последовательностей выбора (исходов), нужно перемножить количество вариантов для каждого испытания.

Общее количество исходов $N$ вычисляется по формуле:
$N = (\text{количество вариантов в 1-м испытании}) \times (\text{количество вариантов во 2-м испытании}) \times (\text{количество вариантов в 3-м испытании})$

Подставляем наши значения:
$N = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$

Таким образом, существует 8 различных исходов выбора для трёх последовательных испытаний. Мы можем перечислить их все, обозначив «налево» как Л, а «направо» как П:
1. ЛЛЛ
2. ЛЛП
3. ЛПЛ
4. ЛПП
5. ПЛЛ
6. ПЛП
7. ППЛ
8. ППП

Ответ: 8

7. Какова вероятность того, что в вопросе Б первый и третий выбор будут одинаковыми между собой?

Для решения этой задачи необходимо знать общее количество элементов, из которых производится выбор, и правила выбора (с возвращением или без). Эти данные должны содержаться в условии "вопроса 5 б", которое не представлено. Однако, можно решить задачу в общем виде, сделав наиболее вероятные предположения.

Предположение: Выбор производится из $N$ различных элементов, и каждый выбор является независимым событием (выбор с возвращением). Если бы выбор был без возвращения, то после первого выбора элемент изымался бы из набора, и вероятность выбрать его же в третий раз была бы равна нулю.

Решение:

Обозначим событие, вероятность которого мы ищем, как $A$ — "первый и третий выбор одинаковы".

Рассмотрим процесс по шагам:

1. Первый выбор. Мы выбираем один элемент из $N$ доступных. Неважно, какой именно элемент будет выбран. Зафиксируем результат этого выбора.

2. Второй выбор. Условие задачи не накладывает никаких ограничений на второй выбор, поэтому результат этого шага не влияет на искомую вероятность и может быть любым.

3. Третий выбор. На этом шаге нам нужно, чтобы был выбран тот же самый элемент, что и на первом шаге. Поскольку мы предположили, что выбор производится с возвращением, в наборе по-прежнему находятся все $N$ элементов. Благоприятным для нас является выбор только одного конкретного элемента (того, что был выбран первым).

Вероятность любого события определяется по классической формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число равновозможных исходов.

Применительно к нашему третьему выбору:

• Число благоприятных исходов $m = 1$ (нужно выбрать тот же элемент, что и в первый раз).
• Общее число исходов $n = N$ (можно выбрать любой из $N$ элементов).

Следовательно, вероятность того, что третий выбор совпадет с первым, равна:

$P(A) = \frac{1}{N}$

Альтернативный метод (через формулу полной вероятности):

Пусть $H_i$ — гипотеза, что при первом выборе был выбран элемент с номером $i$ (где $i$ может быть от 1 до $N$). Вероятность любой такой гипотезы $P(H_i) = \frac{1}{N}$.

Условная вероятность события $A$ (совпадения первого и третьего выбора) при условии, что произошла гипотеза $H_i$ (в первый раз выбрали элемент $i$), равна вероятности выбрать элемент $i$ и в третий раз. Так как выбор с возвращением, $P(A|H_i) = \frac{1}{N}$.

По формуле полной вероятности, полная вероятность события $A$ равна сумме произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе:

$P(A) = \sum_{i=1}^{N} P(H_i) \cdot P(A|H_i) = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{N^2}$

Так как мы суммируем $N$ одинаковых слагаемых, получаем:

$P(A) = N \cdot \frac{1}{N^2} = \frac{N}{N^2} = \frac{1}{N}$

Оба метода приводят к одинаковому результату. Итоговый ответ зависит от числа $N$, которое должно быть определено в условии предыдущей задачи.

Ответ: Вероятность того, что первый и третий выбор будут одинаковыми, равна $\frac{1}{N}$, где $N$ — это общее количество элементов, из которых производится выбор (данное из "вопроса 5 б").

2. Какова вероятность того, что при первом и втором бросках результаты будут различны?

Для решения данной задачи будем исходить из предположения, что речь идет о броске стандартного шестигранного игрального кубика, у которого 6 граней с числами от 1 до 6. Задача состоит в том, чтобы найти вероятность события, при котором результат первого броска не совпадает с результатом второго.

Для вычисления вероятности воспользуемся классической формулой $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала определим общее число всех возможных исходов ($n$). При первом броске кубика может выпасть одно из 6 чисел. При втором броске также может выпасть одно из 6 чисел. Поскольку результаты бросков независимы, общее количество комбинаций равно произведению числа исходов для каждого броска:

$n = 6 \times 6 = 36$

Теперь определим число благоприятных исходов ($m$), то есть тех, при которых результаты первого и второго бросков различны. Рассуждать можно следующим образом:
Для первого броска существует 6 возможных результатов (может выпасть любое число от 1 до 6).
После того как результат первого броска зафиксирован, для второго броска остается только 5 благоприятных исходов. Например, если первым выпало число 4, то для выполнения условия (различные результаты) вторым броском должны выпасть числа 1, 2, 3, 5 или 6.
Таким образом, для каждого из 6 вариантов первого броска существует 5 вариантов второго броска, которые от него отличаются. Общее число благоприятных исходов равно:

$m = 6 \times 5 = 30$

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{30}{36}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{30}{36} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

4. Какова вероятность, что в вопросе 3 оба жителя ответят одинаково (предполагается, что ответы «да», «нет», «не знаю» равновозможны)?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией вероятностей. У нас есть два жителя, каждый из которых может дать один из трех ответов на вопрос: «да», «нет» или «не знаю». По условию, все три варианта ответа являются равновозможными.

1. Определим вероятность каждого ответа для одного жителя.
Поскольку существует 3 равновозможных исхода, вероятность любого из них (например, ответа «да») для одного жителя равна $P(\text{ответ}) = \frac{1}{3}$.

2. Определим событие, вероятность которого нужно найти.
Искомое событие $A$ — «оба жителя ответят одинаково». Это событие можно разложить на три несовместных (взаимоисключающих) события:

• Событие $A_1$: оба жителя ответили «да».
• Событие $A_2$: оба жителя ответили «нет».
• Событие $A_3$: оба жителя ответили «не знаю».

Вероятность события $A$ будет равна сумме вероятностей этих трех событий: $P(A) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)$.

3. Вычислим вероятность каждого из несовместных событий.
Ответы двух жителей являются независимыми событиями. Вероятность того, что произойдут два независимых события, равна произведению их вероятностей.

• Вероятность того, что оба ответили «да»:
  $P(A_1) = P(\text{1-й ответил «да»}) \times P(\text{2-й ответил «да»}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
• Вероятность того, что оба ответили «нет»:
  $P(A_2) = P(\text{1-й ответил «нет»}) \times P(\text{2-й ответил «нет»}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
• Вероятность того, что оба ответили «не знаю»:
  $P(A_3) = P(\text{1-й ответил «не знаю»}) \times P(\text{2-й ответил «не знаю»}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

4. Найдем итоговую вероятность.
Сложим вероятности несовместных событий, чтобы найти вероятность того, что оба жителя ответят одинаково:
$P(A) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Альтернативный способ решения:

Можно рассмотреть все возможные исходы. У первого жителя 3 варианта ответа, и у второго жителя 3 варианта ответа. Общее число всех возможных комбинаций ответов (исходов) равно $N = 3 \times 3 = 9$.

Благоприятными исходами являются те, в которых ответы совпадают:

• (да, да)
• (нет, нет)
• (не знаю, не знаю)

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 3$.

Вероятность по классическому определению равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{m}{N} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

6. Какова вероятность того, что в вопросе 5 выборов «пойти направо» будет больше?

Для ответа на данный вопрос необходимо сделать предположение о его полном условии, так как предоставленный фрагмент может быть частью более крупной задачи. Наиболее вероятная и стандартная трактовка такова: проводится серия из 5 независимых испытаний (выборов), в каждом из которых есть два равновероятных исхода: «пойти направо» и «пойти налево». Необходимо найти вероятность того, что количество выборов «пойти направо» будет строго больше количества выборов «пойти налево».

Пусть $n=5$ — общее количество выборов. Пусть $k$ — количество выборов «пойти направо». Тогда количество выборов в другую сторону (условно «налево») составит $5-k$.

Нас интересует вероятность события, при котором выполняется неравенство:

$k > 5-k$

Решим это неравенство относительно $k$:

$2k > 5$

$k > 2.5$

Поскольку $k$ (количество выборов) может быть только целым неотрицательным числом, этому условию удовлетворяют значения $k=3$, $k=4$ и $k=5$.

Таким образом, задача сводится к нахождению суммарной вероятности того, что в 5 испытаниях событие «пойти направо» произойдет 3, 4 или 5 раз.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование формулы Бернулли

Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность «успеха» (в нашем случае — выбора «направо») равна $p$, произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

В нашем случае $n=5$, а вероятность выбора «направо» $p = 1/2$. Соответственно, вероятность альтернативного выбора $(1-p)$ также равна $1/2$. Формула упрощается до $P_5(k) = C_5^k \cdot (\frac{1}{2})^5$.

Рассчитаем вероятности для каждого из нужных нам значений $k$:

Для $k=3$: $P(k=3) = C_5^3 \cdot (\frac{1}{2})^5 = \frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{1}{32} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32}$.

Для $k=4$: $P(k=4) = C_5^4 \cdot (\frac{1}{2})^5 = \frac{5!}{4!1!} \cdot \frac{1}{32} = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$.

Для $k=5$: $P(k=5) = C_5^5 \cdot (\frac{1}{2})^5 = \frac{5!}{5!0!} \cdot \frac{1}{32} = 1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих несовместных событий:

$P(k>2.5) = P(k=3) + P(k=4) + P(k=5) = \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

Способ 2: Использование симметрии

Этот способ является более простым и элегантным для данного случая. Обозначим количество выборов «направо» как $N_П$, а «налево» — как $N_Л$.

Всего производится 5 выборов, то есть $N_П + N_Л = 5$. Поскольку общее число выборов нечетное, случай, когда количество выборов «направо» и «налево» одинаково ($N_П = N_Л$), невозможен. Следовательно, исходом может быть либо $N_П > N_Л$, либо $N_Л > N_П$.

По условию, выборы «направо» и «налево» равновероятны (вероятность каждого равна $1/2$). В силу этой симметрии, вероятность того, что выборов «направо» будет больше, в точности равна вероятности того, что выборов «налево» будет больше.

$P(N_П > N_Л) = P(N_Л > N_П)$

События ($N_П > N_Л$) и ($N_Л > N_П$) являются взаимоисключающими и в совокупности образуют полную группу событий (так как других исходов нет). Значит, сумма их вероятностей равна 1:

$P(N_П > N_Л) + P(N_Л > N_П) = 1$

Используя равенство вероятностей из соображений симметрии, получаем:

$P(N_П > N_Л) + P(N_П > N_Л) = 1$

$2 \cdot P(N_П > N_Л) = 1$

Отсюда находим искомую вероятность:

$P(N_П > N_Л) = \frac{1}{2}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $1/2$ (или 0.5).

8. Сформулируйте правило умножения для трёх испытаний.

Правило умножения в теории вероятностей используется для нахождения вероятности совместного наступления (пересечения) нескольких событий. Для трёх испытаний, исходами которых являются события A, B и C, правило имеет общую формулировку, которая также упрощается для частного случая независимых событий.

Общее правило умножения (для зависимых событий)

Эта формулировка является универсальной и подходит для любых событий, в том числе и зависимых, когда наступление одного события влияет на вероятность другого.

Правило: Вероятность совместного наступления трёх событий равна произведению вероятности первого события, условной вероятности второго события (при условии, что первое уже наступило) и условной вероятности третьего события (при условии, что первые два уже наступили).

Формула:

$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$

Здесь:

• $P(A \cap B \cap C)$ — вероятность того, что произойдут все три события.

• $P(A)$ — вероятность события A.

• $P(B|A)$ — условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.

• $P(C|A \cap B)$ — условная вероятность события C при условии, что и A, и B уже произошли.

Частный случай (для независимых событий)

Если события A, B и C независимы, то есть наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления других, то условные вероятности равны безусловным: $P(B|A) = P(B)$ и $P(C|A \cap B) = P(C)$. В этом случае общая формула упрощается.

Правило: Вероятность совместного наступления трёх независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Формула:

$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$

Ответ: Вероятность совместного наступления трёх событий (A, B, C) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что первое произошло, и на условную вероятность третьего при условии, что первые два произошли. Формула: $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$. Если события независимы, то правило упрощается: вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей, $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$.

16.46 а) $\frac{1}{\sqrt{a+3}-2}$;

б) $\frac{y-3}{\sqrt{4-y}+1}$;

в) $\frac{2}{3-\sqrt{2x-1}}$;

г) $\frac{3-b}{2-\sqrt{b+1}}$.

а)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{a+3}-2} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $ \sqrt{a+3}-2 $ является $ \sqrt{a+3}+2 $.

$ \frac{1}{\sqrt{a+3}-2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a+3}+2)}{(\sqrt{a+3}-2)(\sqrt{a+3}+2)} $

Применим формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $ к знаменателю:

$ (\sqrt{a+3}-2)(\sqrt{a+3}+2) = (\sqrt{a+3})^2 - 2^2 = (a+3) - 4 = a - 1 $

Таким образом, получаем:

$ \frac{\sqrt{a+3}+2}{a-1} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{a+3}+2}{a-1} $

б)

Упростим выражение $ \frac{y-3}{\sqrt{4-y}+1} $. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{4-y}-1 $.

$ \frac{y-3}{\sqrt{4-y}+1} = \frac{(y-3)(\sqrt{4-y}-1)}{(\sqrt{4-y}+1)(\sqrt{4-y}-1)} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$ (\sqrt{4-y}+1)(\sqrt{4-y}-1) = (\sqrt{4-y})^2 - 1^2 = (4-y) - 1 = 3-y $

Подставим результат в дробь:

$ \frac{(y-3)(\sqrt{4-y}-1)}{3-y} $

Заметим, что $ y-3 = -(3-y) $. Поэтому можно сократить дробь (при условии, что $ y \neq 3 $):

$ \frac{-(3-y)(\sqrt{4-y}-1)}{3-y} = -(\sqrt{4-y}-1) = 1-\sqrt{4-y} $

Ответ: $ 1-\sqrt{4-y} $

в)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2}{3-\sqrt{2x-1}} $, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ 3+\sqrt{2x-1} $.

$ \frac{2}{3-\sqrt{2x-1}} = \frac{2(3+\sqrt{2x-1})}{(3-\sqrt{2x-1})(3+\sqrt{2x-1})} $

Используем формулу разности квадратов в знаменателе:

$ (3-\sqrt{2x-1})(3+\sqrt{2x-1}) = 3^2 - (\sqrt{2x-1})^2 = 9 - (2x-1) = 9 - 2x + 1 = 10 - 2x = 2(5-x) $

Подставим полученное выражение в знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{2(3+\sqrt{2x-1})}{2(5-x)} = \frac{3+\sqrt{2x-1}}{5-x} $

Ответ: $ \frac{3+\sqrt{2x-1}}{5-x} $

г)

Упростим выражение $ \frac{3-b}{2-\sqrt{b+1}} $. Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ 2+\sqrt{b+1} $.

$ \frac{3-b}{2-\sqrt{b+1}} = \frac{(3-b)(2+\sqrt{b+1})}{(2-\sqrt{b+1})(2+\sqrt{b+1})} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$ (2-\sqrt{b+1})(2+\sqrt{b+1}) = 2^2 - (\sqrt{b+1})^2 = 4 - (b+1) = 4 - b - 1 = 3-b $

Подставим результат в дробь:

$ \frac{(3-b)(2+\sqrt{b+1})}{3-b} $

Сократим дробь на $ (3-b) $ (при условии, что $ b \neq 3 $):

$ 2+\sqrt{b+1} $

Ответ: $ 2+\sqrt{b+1} $

16.47 a) $\frac{p - \sqrt{pq + q}}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$,

б) $\frac{4 + 2\sqrt{t} + t}{2 + \sqrt{t}}$,

в) $\frac{x - 3\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} - 3}$,

г) $\frac{a + 2\sqrt{ab} + 4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$.

а)

Дано выражение: $\frac{p - \sqrt{pq} + q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$

Для упрощения дроби выделим в числителе выражение, которое является произведением знаменателя на некоторый множитель. Это похоже на выделение целой части при делении многочленов.

Преобразуем числитель $p - \sqrt{pq} + q$, чтобы выделить множитель $(\sqrt{p} - \sqrt{q})$:

$p - \sqrt{pq} + q = \sqrt{p} \cdot \sqrt{p} - \sqrt{p}\sqrt{q} + q = \sqrt{p}(\sqrt{p} - \sqrt{q}) + q$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{p}(\sqrt{p} - \sqrt{q}) + q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$

Разделим эту дробь на сумму двух дробей:

$\frac{\sqrt{p}(\sqrt{p} - \sqrt{q})}{\sqrt{p} - \sqrt{q}} + \frac{q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$

Сократим первую дробь на общий множитель $(\sqrt{p} - \sqrt{q})$:

$\sqrt{p} + \frac{q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$

Ответ: $\sqrt{p} + \frac{q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$

б)

Дано выражение: $\frac{4 + 2\sqrt{t} + t}{2 + \sqrt{t}}$

Перепишем числитель в порядке убывания степеней $t$: $t + 2\sqrt{t} + 4$. Знаменатель: $\sqrt{t} + 2$.

Преобразуем числитель, выделив в нем множитель $(\sqrt{t} + 2)$:

$t + 2\sqrt{t} + 4 = \sqrt{t} \cdot \sqrt{t} + 2\sqrt{t} + 4 = \sqrt{t}(\sqrt{t} + 2) + 4$

Подставим преобразованный числитель в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{t}(\sqrt{t} + 2) + 4}{\sqrt{t} + 2}$

Разделим дробь на два слагаемых:

$\frac{\sqrt{t}(\sqrt{t} + 2)}{\sqrt{t} + 2} + \frac{4}{\sqrt{t} + 2}$

Сократив первую дробь, получаем итоговое выражение:

$\sqrt{t} + \frac{4}{2 + \sqrt{t}}$

Ответ: $\sqrt{t} + \frac{4}{2 + \sqrt{t}}$

в)

Дано выражение: $\frac{x - 3\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} - 3}$

Преобразуем числитель $x - 3\sqrt{x} + 9$, чтобы выделить в нем множитель, равный знаменателю $(\sqrt{x} - 3)$:

$x - 3\sqrt{x} + 9 = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 9 = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + 9$

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + 9}{\sqrt{x} - 3}$

Представим дробь в виде суммы:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 3} + \frac{9}{\sqrt{x} - 3}$

После сокращения первой дроби получаем результат:

$\sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x} - 3}$

Ответ: $\sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x} - 3}$

г)

Дано выражение: $\frac{a + 2\sqrt{ab} + 4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$

Преобразуем числитель $a + 2\sqrt{ab} + 4b$, выделив в нем множитель, равный знаменателю $(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})$:

$a + 2\sqrt{ab} + 4b = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + 4b = \sqrt{a}(\sqrt{a} + 2\sqrt{b}) + 4b$

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 2\sqrt{b}) + 4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$

Разделим дробь на сумму двух дробей:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}} + \frac{4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$

Сократим первую дробь на общий множитель $(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})$:

$\sqrt{a} + \frac{4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$

Ответ: $\sqrt{a} + \frac{4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$

Разложите выражение на множители методом вынесения общего множителя за скобки:

16.48 a) $5 + \sqrt{5};$

б) $\sqrt{b} - b;$

в) $3 - \sqrt{3};$

г) $\sqrt{a} + a.$

а) Чтобы разложить выражение $5 + \sqrt{5}$ на множители, необходимо найти общий множитель. Представим число 5 как произведение двух корней: $5 = (\sqrt{5})^2 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$. Теперь исходное выражение можно записать в следующем виде: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5}$. Видно, что общим множителем является $\sqrt{5}$. Вынесем его за скобки, помня, что второе слагаемое можно представить как $\sqrt{5} \cdot 1$: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$.

б) Чтобы разложить выражение $\sqrt{b} - b$ на множители, будем считать, что $b \ge 0$, чтобы корень имел смысл. Представим $b$ в виде $(\sqrt{b})^2 = \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}$. Исходное выражение примет вид: $\sqrt{b} - \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}$. Общий множитель здесь — $\sqrt{b}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{b} \cdot 1 - \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b}(1 - \sqrt{b})$.
Ответ: $\sqrt{b}(1 - \sqrt{b})$.

в) Для разложения выражения $3 - \sqrt{3}$ на множители, представим число 3 как квадратный корень из 3 в квадрате: $3 = (\sqrt{3})^2 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$. Выражение можно переписать так: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3}$. Общий множитель — $\sqrt{3}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$.

г) Чтобы разложить на множители выражение $\sqrt{a} + a$, предположим, что $a \ge 0$. Представим $a$ в виде $(\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}$. Исходное выражение становится: $\sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}$. Общий множитель — $\sqrt{a}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{a} \cdot 1 + \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a}(1 + \sqrt{a})$.
Ответ: $\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})$.

16.49 a) $10 + 5\sqrt{3}$;

б) $8 - 4\sqrt{2}$;

в) $20 + 60\sqrt{7}$;

г) $45 - 9\sqrt{5}$.

Задача состоит в том, чтобы упростить данные выражения, вынеся общий множитель за скобки.

а) $10 + 5\sqrt{3}$

Рассмотрим слагаемые выражения: $10$ и $5\sqrt{3}$. Их целочисленные коэффициенты — это $10$ и $5$. Найдем их наибольший общий делитель (НОД).

НОД(10, 5) = 5.

Вынесем общий множитель $5$ за скобки. Для этого необходимо каждый член выражения разделить на $5$:

$10 + 5\sqrt{3} = 5 \cdot (\frac{10}{5} + \frac{5\sqrt{3}}{5}) = 5 \cdot (2 + \sqrt{3})$.

Ответ: $5(2 + \sqrt{3})$

б) $8 - 4\sqrt{2}$

Рассмотрим члены выражения: $8$ и $-4\sqrt{2}$. Их целочисленные коэффициенты — это $8$ и $4$. Найдем их наибольший общий делитель.

НОД(8, 4) = 4.

Вынесем общий множитель $4$ за скобки, разделив на него каждый член выражения:

$8 - 4\sqrt{2} = 4 \cdot (\frac{8}{4} - \frac{4\sqrt{2}}{4}) = 4 \cdot (2 - \sqrt{2})$.

Ответ: $4(2 - \sqrt{2})$

в) $20 + 60\sqrt{7}$

Рассмотрим слагаемые выражения: $20$ и $60\sqrt{7}$. Их целочисленные коэффициенты — это $20$ и $60$. Найдем их наибольший общий делитель.

НОД(20, 60) = 20.

Вынесем общий множитель $20$ за скобки, разделив на него каждое слагаемое:

$20 + 60\sqrt{7} = 20 \cdot (\frac{20}{20} + \frac{60\sqrt{7}}{20}) = 20 \cdot (1 + 3\sqrt{7})$.

Ответ: $20(1 + 3\sqrt{7})$

г) $45 - 9\sqrt{5}$

Рассмотрим члены выражения: $45$ и $-9\sqrt{5}$. Их целочисленные коэффициенты — это $45$ и $9$. Найдем их наибольший общий делитель.

НОД(45, 9) = 9.

Вынесем общий множитель $9$ за скобки, разделив на него каждый член выражения:

$45 - 9\sqrt{5} = 9 \cdot (\frac{45}{9} - \frac{9\sqrt{5}}{9}) = 9 \cdot (5 - \sqrt{5})$.

Ответ: $9(5 - \sqrt{5})$

16.50 a) $\sqrt{10} - \sqrt{6};$б) $2 + \sqrt{6} - \sqrt{2};$в) $\sqrt{14} + \sqrt{35};$г) $7 + \sqrt{14} - \sqrt{7}.$

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{10} - \sqrt{6}$, необходимо найти общий множитель у подкоренных выражений. Разложим числа 10 и 6 на множители:

$10 = 2 \times 5$

$6 = 2 \times 3$

Теперь перепишем исходное выражение:

$\sqrt{10} - \sqrt{6} = \sqrt{2 \times 5} - \sqrt{2 \times 3}$

Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, мы можем вынести $\sqrt{2}$ как общий множитель:

$\sqrt{2} \times \sqrt{5} - \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$

Ответ: $\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$

б)

Для упрощения выражения $2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}$ представим каждое слагаемое так, чтобы выделить общий множитель $\sqrt{2}$.

$2 = (\sqrt{2})^2 = \sqrt{2} \times \sqrt{2}$

$\sqrt{6} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$2 + \sqrt{6} - \sqrt{2} = (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + (\sqrt{2} \times \sqrt{3}) - \sqrt{2}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки:

$\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3} - 1)$

Ответ: $\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3} - 1)$

в)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{14} + \sqrt{35}$, найдем общий множитель у подкоренных выражений. Разложим числа 14 и 35 на множители:

$14 = 2 \times 7$

$35 = 5 \times 7$

Перепишем исходное выражение:

$\sqrt{14} + \sqrt{35} = \sqrt{2 \times 7} + \sqrt{5 \times 7}$

Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, вынесем общий множитель $\sqrt{7}$:

$\sqrt{7} \times \sqrt{2} + \sqrt{7} \times \sqrt{5} = \sqrt{7}(\sqrt{2} + \sqrt{5})$

Ответ: $\sqrt{7}(\sqrt{2} + \sqrt{5})$

г)

Для упрощения выражения $7 + \sqrt{14} - \sqrt{7}$ представим каждое слагаемое так, чтобы выделить общий множитель $\sqrt{7}$.

$7 = (\sqrt{7})^2 = \sqrt{7} \times \sqrt{7}$

$\sqrt{14} = \sqrt{2 \times 7} = \sqrt{2} \times \sqrt{7}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$7 + \sqrt{14} - \sqrt{7} = (\sqrt{7} \times \sqrt{7}) + (\sqrt{2} \times \sqrt{7}) - \sqrt{7}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки:

$\sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{2} - 1)$

Ответ: $\sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{2} - 1)$

16.51 а) $a - 2\sqrt{a};$

б) $\sqrt{3b} - b;$

в) $\sqrt{a} - 2a;$

г) $a + \sqrt{ab}.$

В данной задаче требуется вынести общий множитель за скобки в каждом выражении. Основной прием, который для этого используется — представление переменной в виде квадрата ее квадратного корня, например, $x = (\sqrt{x})^2$ (при $x \ge 0$), и использование свойства произведения корней $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$).

а) $a - 2\sqrt{a}$
Рассмотрим выражение $a - 2\sqrt{a}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием $a \ge 0$.
Представим слагаемое $a$ в виде квадрата его квадратного корня: $a = (\sqrt{a})^2$.
Тогда исходное выражение можно переписать так: $(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}$.
Общим множителем является $\sqrt{a}$. Вынесем его за скобки:
$\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)$.
Ответ: $\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)$.

б) $\sqrt{3b} - b$
Рассмотрим выражение $\sqrt{3b} - b$.
ОДЗ для этого выражения: $3b \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
Используя свойство корня из произведения, представим $\sqrt{3b}$ как $\sqrt{3}\sqrt{b}$.
Также представим $b$ как $(\sqrt{b})^2$.
Выражение примет вид: $\sqrt{3}\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2$.
Общим множителем является $\sqrt{b}$. Вынесем его за скобки:
$\sqrt{b}(\sqrt{3} - \sqrt{b})$.
Ответ: $\sqrt{b}(\sqrt{3} - \sqrt{b})$.

в) $\sqrt{a} - 2a$
Рассмотрим выражение $\sqrt{a} - 2a$.
ОДЗ для этого выражения: $a \ge 0$.
Представим слагаемое $a$ как $(\sqrt{a})^2$.
Выражение можно переписать в виде: $\sqrt{a} - 2(\sqrt{a})^2$.
Общим множителем является $\sqrt{a}$. Вынесем его за скобки:
$\sqrt{a}(1 - 2\sqrt{a})$.
Ответ: $\sqrt{a}(1 - 2\sqrt{a})$.

г) $a + \sqrt{ab}$
Рассмотрим выражение $a + \sqrt{ab}$.
ОДЗ: $ab \ge 0$. Это означает, что $a$ и $b$ должны быть одного знака (либо оба неотрицательны, либо оба неположительны). В таких задачах обычно предполагается, что переменные неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
При этих условиях, представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и $\sqrt{ab}$ как $\sqrt{a}\sqrt{b}$.
Выражение примет вид: $(\sqrt{a})^2 + \sqrt{a}\sqrt{b}$.
Общим множителем является $\sqrt{a}$. Вынесем его за скобки:
$\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Ответ: $\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

16.52 a) $a + b + \sqrt{a + b};$

б) $\sqrt{a^2 - b^2} - \sqrt{a + b};$

в) $3a - 3b - 2\sqrt{a - b};$

г) $a\sqrt{a - b} + \sqrt{a^2 - b^2}.$

а) В выражении $a + b + \sqrt{a + b}$ представим слагаемое $a+b$ как квадрат его корня, то есть $a+b = (\sqrt{a+b})^2$. Такое преобразование возможно при условии $a+b \ge 0$, которое необходимо для существования исходного выражения. После подстановки получаем: $(\sqrt{a+b})^2 + \sqrt{a+b}$. Теперь вынесем общий множитель $\sqrt{a+b}$ за скобки. В результате получаем $\sqrt{a+b}(\sqrt{a+b} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{a+b}(\sqrt{a+b} + 1)$

б) Для упрощения выражения $\sqrt{a^2 - b^2} - \sqrt{a+b}$ воспользуемся формулой разности квадратов для подкоренного выражения в первом слагаемом: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Тогда $\sqrt{a^2 - b^2}$ можно переписать как $\sqrt{(a-b)(a+b)}$, что равно $\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}$ (при условии $a-b \ge 0$ и $a+b \ge 0$). Выражение преобразуется к виду $\sqrt{a-b}\sqrt{a+b} - \sqrt{a+b}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{a+b}$ за скобки, что дает $\sqrt{a+b}(\sqrt{a-b} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{a+b}(\sqrt{a-b} - 1)$

в) В выражении $3a - 3b - 2\sqrt{a-b}$ сначала сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель 3: $3(a-b) - 2\sqrt{a-b}$. Затем представим выражение $a-b$ как квадрат его корня $(\sqrt{a-b})^2$, что допустимо при $a-b \ge 0$. Получим $3(\sqrt{a-b})^2 - 2\sqrt{a-b}$. Теперь вынесем общий множитель $\sqrt{a-b}$ за скобки. В итоге имеем $\sqrt{a-b}(3\sqrt{a-b} - 2)$.
Ответ: $\sqrt{a-b}(3\sqrt{a-b} - 2)$

г) Рассмотрим выражение $a\sqrt{a-b} + \sqrt{a^2 - b^2}$. Преобразуем второе слагаемое, используя формулу разности квадратов под корнем: $\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a-b)(a+b)}$. Применяя свойство корня из произведения (при $a-b \ge 0$ и $a+b \ge 0$), получаем $\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}$. Исходное выражение принимает вид $a\sqrt{a-b} + \sqrt{a-b}\sqrt{a+b}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{a-b}$ за скобки, в результате чего получим $\sqrt{a-b}(a + \sqrt{a+b})$.
Ответ: $\sqrt{a-b}(a + \sqrt{a+b})$

16.53 Разложите выражение на множители способом группировки, используя определение и свойства квадратного корня:

a) $a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$;

б) $2 + b\sqrt{a} - 2\sqrt{ab} - \sqrt{b}$;

в) $a\sqrt{b} - \sqrt{a} + \sqrt{ab} - 1$;

г) $ab + a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + \sqrt{ab}$.

а) Дано выражение $a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$.

Сгруппируем слагаемые: первое с четвертым и второе с третьим. Получим: $(a\sqrt{a} + b\sqrt{a}) + (b\sqrt{b} + a\sqrt{b})$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $\sqrt{a}$, а из второй — $\sqrt{b}$:

$\sqrt{a}(a + b) + \sqrt{b}(b + a)$

Теперь вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

Ответ: $(a + b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

б) Дано выражение $2 + b\sqrt{a} - 2\sqrt{ab} - \sqrt{b}$.

Сгруппируем слагаемые: первое с третьим и второе с четвертым. Получим: $(2 - 2\sqrt{ab}) + (b\sqrt{a} - \sqrt{b})$.

Вынесем общие множители. Из первой группы вынесем $2$. Во второй группе, используя то, что $b = \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, вынесем $\sqrt{b}$:

$2(1 - \sqrt{ab}) + \sqrt{b}(\sqrt{ab} - 1)$

Заметим, что выражения в скобках $1 - \sqrt{ab}$ и $\sqrt{ab} - 1$ отличаются только знаком. Вынесем $-1$ из второй скобки:

$2(1 - \sqrt{ab}) - \sqrt{b}(1 - \sqrt{ab})$

Теперь вынесем общий множитель $(1 - \sqrt{ab})$ за скобки:

$(1 - \sqrt{ab})(2 - \sqrt{b})$

Ответ: $(1 - \sqrt{ab})(2 - \sqrt{b})$

в) Дано выражение $a\sqrt{b} - \sqrt{a} + \sqrt{ab} - 1$.

Сгруппируем слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым. Получим: $(a\sqrt{b} - \sqrt{a}) + (\sqrt{ab} - 1)$.

Вынесем общие множители. В первой группе, используя то, что $a = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}$, вынесем $\sqrt{a}$:

$\sqrt{a}(\sqrt{a}\sqrt{b} - 1) + (\sqrt{ab} - 1)$

Так как $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$, выражение принимает вид:

$\sqrt{a}(\sqrt{ab} - 1) + 1 \cdot (\sqrt{ab} - 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt{ab} - 1)$ за скобки:

$(\sqrt{ab} - 1)(\sqrt{a} + 1)$

Ответ: $(\sqrt{ab} - 1)(\sqrt{a} + 1)$

г) Дано выражение $ab + a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + \sqrt{ab}$.

Сгруппируем слагаемые: первое с третьим и второе с четвертым. Получим: $(ab + b\sqrt{b}) + (a\sqrt{a} + \sqrt{ab})$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $b$, а из второй — $\sqrt{a}$:

$b(a + \sqrt{b}) + \sqrt{a}(a + \sqrt{b})$

Теперь вынесем общий множитель $(a + \sqrt{b})$ за скобки:

$(a + \sqrt{b})(b + \sqrt{a})$

Ответ: $(a + \sqrt{b})(b + \sqrt{a})$

Разложите выражение на множители, используя формулу разности квадратов:

16.54 a) $a^2 - 5$;

б) $25 - p$;

в) $11 - b^2$;

г) $m - 100$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Для этого представим каждый член выражения в виде квадрата.

а) В выражении $a^2 - 5$, первый член $a^2$ уже является квадратом числа $a$. Второй член $5$ можно представить как квадрат его квадратного корня, то есть $5 = (\sqrt{5})^2$.
Теперь выражение принимает вид: $a^2 - (\sqrt{5})^2$.
Применяем формулу разности квадратов, где $x=a$, а $y=\sqrt{5}$:
$a^2 - (\sqrt{5})^2 = (a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$.
Ответ: $(a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$.

б) В выражении $25 - p$, представим каждое слагаемое в виде квадрата. $25$ это $5^2$, а $p$ можно записать как $(\sqrt{p})^2$ (при условии, что $p \ge 0$).
Получаем выражение: $5^2 - (\sqrt{p})^2$.
Применяем формулу разности квадратов, где $x=5$, а $y=\sqrt{p}$:
$5^2 - (\sqrt{p})^2 = (5 - \sqrt{p})(5 + \sqrt{p})$.
Ответ: $(5 - \sqrt{p})(5 + \sqrt{p})$.

в) В выражении $11 - b^2$, представим $11$ как квадрат числа $\sqrt{11}$, то есть $11 = (\sqrt{11})^2$. Член $b^2$ уже является квадратом.
Выражение принимает вид: $(\sqrt{11})^2 - b^2$.
Используем формулу разности квадратов, где $x=\sqrt{11}$, а $y=b$:
$(\sqrt{11})^2 - b^2 = (\sqrt{11} - b)(\sqrt{11} + b)$.
Ответ: $(\sqrt{11} - b)(\sqrt{11} + b)$.

г) В выражении $m - 100$, представим $m$ как $(\sqrt{m})^2$ (при условии, что $m \ge 0$), а $100$ как $10^2$.
Получаем выражение: $(\sqrt{m})^2 - 10^2$.
Применяем формулу разности квадратов, где $x=\sqrt{m}$, а $y=10$:
$(\sqrt{m})^2 - 10^2 = (\sqrt{m} - 10)(\sqrt{m} + 10)$.
Ответ: $(\sqrt{m} - 10)(\sqrt{m} + 10)$.

16.55 a) $b - 3$;

б) $16z - 5$;

в) $a - c$;

г) $7 - 64t$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $b - 3$, мы применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Для этого необходимо представить каждый член исходного выражения в виде квадрата некоторого выражения. Это возможно сделать с использованием квадратных корней.

Представим $b$ и $3$ в виде квадратов:

$b = (\sqrt{b})^2$

$3 = (\sqrt{3})^2$

Теперь исходное выражение можно переписать как разность квадратов:

$b - 3 = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{3})^2$

Применив формулу разности квадратов, где $x = \sqrt{b}$ и $y = \sqrt{3}$, получаем разложение на множители:

$(\sqrt{b} - \sqrt{3})(\sqrt{b} + \sqrt{3})$

Ответ: $(\sqrt{b} - \sqrt{3})(\sqrt{b} + \sqrt{3})$

б) Для разложения на множители выражения $16z - 5$ воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$16z = (4\sqrt{z})^2$, так как $(4\sqrt{z})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{z})^2 = 16z$.

$5 = (\sqrt{5})^2$.

Подставим эти представления в исходное выражение:

$16z - 5 = (4\sqrt{z})^2 - (\sqrt{5})^2$

Теперь, согласно формуле разности квадратов, где $x = 4\sqrt{z}$ и $y = \sqrt{5}$, получаем:

$(4\sqrt{z} - \sqrt{5})(4\sqrt{z} + \sqrt{5})$

Ответ: $(4\sqrt{z} - \sqrt{5})(4\sqrt{z} + \sqrt{5})$

в) Чтобы разложить на множители выражение $a - c$, применим тот же подход, что и в предыдущих пунктах, используя формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим $a$ и $c$ в виде квадратов, используя арифметический квадратный корень:

$a = (\sqrt{a})^2$

$c = (\sqrt{c})^2$

Запишем исходное выражение как разность квадратов:

$a - c = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{c})^2$

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(\sqrt{a} - \sqrt{c})(\sqrt{a} + \sqrt{c})$

Ответ: $(\sqrt{a} - \sqrt{c})(\sqrt{a} + \sqrt{c})$

г) Для разложения на множители выражения $7 - 64t$ снова используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$7 = (\sqrt{7})^2$

$64t = (8\sqrt{t})^2$, так как $(8\sqrt{t})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{t})^2 = 64t$.

Подставим эти представления в исходное выражение:

$7 - 64t = (\sqrt{7})^2 - (8\sqrt{t})^2$

Применив формулу разности квадратов, где $x = \sqrt{7}$ и $y = 8\sqrt{t}$, получим:

$(\sqrt{7} - 8\sqrt{t})(\sqrt{7} + 8\sqrt{t})$

Ответ: $(\sqrt{7} - 8\sqrt{t})(\sqrt{7} + 8\sqrt{t})$