Страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16.67 a) $\frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$;

б) $\frac{x\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} - 2}$;

в) $\frac{\sqrt{c^3} - \sqrt{d^3}}{c + \sqrt{cd} + d}$;

г) $\frac{27 + a\sqrt{a}}{3 + \sqrt{a}}$.

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $, представим числитель в виде суммы кубов.

Заметим, что $ \sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^3 $. Аналогично, $ \sqrt{b^3} = (\sqrt{b})^3 $. Таким образом, выражение можно переписать как:

$ \frac{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $

Воспользуемся формулой суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $. В нашем случае $ x = \sqrt{a} $ и $ y = \sqrt{b} $.

Применяем формулу к числителю:

$ (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b) $

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь и сократим:

$ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = a - \sqrt{ab} + b $

Ответ: $ a - \sqrt{ab} + b $

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{x\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} - 2} $. Здесь мы можем применить формулу разности кубов.

Представим числитель в виде разности кубов. Заметим, что $ x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3 $ и $ 8 = 2^3 $. Тогда выражение примет вид:

$ \frac{(\sqrt{x})^3 - 2^3}{\sqrt{x} - 2} $

Воспользуемся формулой разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $. В нашем случае $ a = \sqrt{x} $ и $ b = 2 $.

Применяем формулу к числителю:

$ (\sqrt{x})^3 - 2^3 = (\sqrt{x} - 2)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 2 + 2^2) = (\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4) $

Подставим это в исходную дробь и сократим:

$ \frac{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x} - 2} = x + 2\sqrt{x} + 4 $

Ответ: $ x + 2\sqrt{x} + 4 $

в)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt{c^3} - \sqrt{d^3}}{c + \sqrt{cd} + d} $.

Как и в предыдущих примерах, преобразуем числитель, используя тот факт, что $ \sqrt{c^3} = (\sqrt{c})^3 $ и $ \sqrt{d^3} = (\sqrt{d})^3 $.

Числитель представляет собой разность кубов:

$ (\sqrt{c})^3 - (\sqrt{d})^3 $

Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $, где $ a = \sqrt{c} $ и $ b = \sqrt{d} $.

$ (\sqrt{c} - \sqrt{d})((\sqrt{c})^2 + \sqrt{c}\sqrt{d} + (\sqrt{d})^2) = (\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d) $

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{(\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)}{c + \sqrt{cd} + d} $

Сокращаем дробь на общий множитель $ (c + \sqrt{cd} + d) $.

$ \sqrt{c} - \sqrt{d} $

Ответ: $ \sqrt{c} - \sqrt{d} $

г)

Рассмотрим выражение $ \frac{27 + a\sqrt{a}}{3 + \sqrt{a}} $.

Представим числитель в виде суммы кубов. Мы знаем, что $ 27 = 3^3 $ и $ a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3 $. Таким образом, получаем:

$ \frac{3^3 + (\sqrt{a})^3}{3 + \sqrt{a}} $

Воспользуемся формулой суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $, где $ x=3 $ и $ y=\sqrt{a} $.

Преобразуем числитель:

$ 3^3 + (\sqrt{a})^3 = (3 + \sqrt{a})(3^2 - 3\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2) = (3 + \sqrt{a})(9 - 3\sqrt{a} + a) $

Подставим это в дробь и выполним сокращение:

$ \frac{(3 + \sqrt{a})(9 - 3\sqrt{a} + a)}{3 + \sqrt{a}} = 9 - 3\sqrt{a} + a $

Ответ: $ 9 - 3\sqrt{a} + a $

Упростите выражение:

16.68 а) $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{5} - \frac{\sqrt{x}}{5}$;

б) $\frac{11\sqrt{x} - 2\sqrt{y}}{4\sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{4\sqrt{x}};

в) $\frac{\sqrt{m}}{12} - \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{12}$;

г) $\frac{2\sqrt{c} - \sqrt{d}}{5\sqrt{c}} - \frac{8\sqrt{c} + 6\sqrt{d}}{5\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{c} - 3\sqrt{d}}{5\sqrt{c}}.$

а) $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{5} - \frac{\sqrt{x}}{5}$

Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, равный 5, мы можем выполнить вычитание их числителей:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) - \sqrt{x}}{5}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y} - \sqrt{x}}{5} = \frac{-\sqrt{y}}{5}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{y}}{5}$

б) $\frac{11\sqrt{x} - 2\sqrt{y}}{4\sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{4\sqrt{x}}$

Все три дроби имеют общий знаменатель $4\sqrt{x}$. Объединим их, выполнив сложение и вычитание числителей:

$\frac{(11\sqrt{x} - 2\sqrt{y}) + (2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}) - (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{4\sqrt{x}}$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед последней скобкой:

$\frac{11\sqrt{x} - 2\sqrt{y} + 2\sqrt{x} - 3\sqrt{y} - \sqrt{x} + \sqrt{y}}{4\sqrt{x}}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $\sqrt{x}$ и члены с $\sqrt{y}$):

$\frac{(11\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - \sqrt{x}) + (-2\sqrt{y} - 3\sqrt{y} + \sqrt{y})}{4\sqrt{x}} = \frac{12\sqrt{x} - 4\sqrt{y}}{4\sqrt{x}}$

Вынесем общий множитель 4 в числителе за скобки:

$\frac{4(3\sqrt{x} - \sqrt{y})}{4\sqrt{x}}$

Сократим дробь на 4:

$\frac{3\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

в) $\frac{\sqrt{m}}{12} - \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{12}$

Дроби имеют общий знаменатель 12, поэтому вычтем их числители:

$\frac{\sqrt{m} - (\sqrt{m} + \sqrt{n})}{12}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\sqrt{m} - \sqrt{m} - \sqrt{n}}{12}$

Упростим числитель, сократив подобные слагаемые:

$\frac{-\sqrt{n}}{12} = -\frac{\sqrt{n}}{12}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{n}}{12}$

г) $\frac{2\sqrt{c} - \sqrt{d}}{5\sqrt{c}} - \frac{8\sqrt{c} + 6\sqrt{d}}{5\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{c} - 3\sqrt{d}}{5\sqrt{c}}$

Все дроби имеют общий знаменатель $5\sqrt{c}$. Объединим числители под одной дробной чертой:

$\frac{(2\sqrt{c} - \sqrt{d}) - (8\sqrt{c} + 6\sqrt{d}) + (\sqrt{c} - 3\sqrt{d})}{5\sqrt{c}}$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$\frac{2\sqrt{c} - \sqrt{d} - 8\sqrt{c} - 6\sqrt{d} + \sqrt{c} - 3\sqrt{d}}{5\sqrt{c}}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2\sqrt{c} - 8\sqrt{c} + \sqrt{c}) + (-\sqrt{d} - 6\sqrt{d} - 3\sqrt{d})}{5\sqrt{c}} = \frac{-5\sqrt{c} - 10\sqrt{d}}{5\sqrt{c}}$

Вынесем общий множитель -5 в числителе:

$\frac{-5(\sqrt{c} + 2\sqrt{d})}{5\sqrt{c}}$

Сократим дробь на 5:

$-\frac{\sqrt{c} + 2\sqrt{d}}{\sqrt{c}}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{c} + 2\sqrt{d}}{\sqrt{c}}$

16.69 a) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3} + \frac{3}{\sqrt{a}+3}$;

б) $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-13} + \frac{13}{13-\sqrt{n}};

в) $\frac{4}{\sqrt{q}-4} - \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q}-4}$;

г) $\frac{\sqrt{t}}{3-\sqrt{t}} + \frac{3}{\sqrt{t}-3}$.

а) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{3}{\sqrt{a} + 3}$

Так как знаменатели дробей одинаковы ($\sqrt{a} + 3$), мы можем сложить их числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{3}{\sqrt{a} + 3} = \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} + 3}$

Выражение в числителе и знаменателе одинаковое. При условии, что знаменатель не равен нулю (а $\sqrt{a} + 3 > 0$ при $a \ge 0$), дробь равна 1.

$\frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} + 3} = 1$

Ответ: $1$

б) $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 13} + \frac{13}{13 - \sqrt{n}}$

Заметим, что знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $13 - \sqrt{n} = -(\sqrt{n} - 13)$. Приведем вторую дробь к знаменателю первой дроби, вынеся знак минус из знаменателя и поставив его перед дробью:

$\frac{13}{13 - \sqrt{n}} = \frac{13}{-(\sqrt{n} - 13)} = -\frac{13}{\sqrt{n} - 13}$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 13} - \frac{13}{\sqrt{n} - 13}$

Так как знаменатели теперь одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{\sqrt{n} - 13}{\sqrt{n} - 13} = 1$

Это равенство верно при всех допустимых значениях $n$, то есть когда $n \ge 0$ и $\sqrt{n} - 13 \neq 0$ (т.е. $n \neq 169$).

Ответ: $1$

в) $\frac{4}{\sqrt{q} - 4} - \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q} - 4}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому мы можем вычесть числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{4}{\sqrt{q} - 4} - \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q} - 4} = \frac{4 - \sqrt{q}}{\sqrt{q} - 4}$

Заметим, что числитель является противоположным выражением знаменателю: $4 - \sqrt{q} = -(\sqrt{q} - 4)$. Подставим это в дробь:

$\frac{-(\sqrt{q} - 4)}{\sqrt{q} - 4} = -1$

Это равенство верно при всех допустимых значениях $q$, то есть когда $q \ge 0$ и $\sqrt{q} - 4 \neq 0$ (т.е. $q \neq 16$).

Ответ: $-1$

г) $\frac{\sqrt{t}}{3 - \sqrt{t}} + \frac{3}{\sqrt{t} - 3}$

Знаменатели дробей $3 - \sqrt{t}$ и $\sqrt{t} - 3$ являются противоположными выражениями, так как $3 - \sqrt{t} = -(\sqrt{t} - 3)$. Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{t} - 3$. Для этого изменим знак перед первой дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{\sqrt{t}}{3 - \sqrt{t}} = \frac{\sqrt{t}}{-(\sqrt{t} - 3)} = -\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} - 3}$

Теперь исходное выражение примет вид:

$-\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} - 3} + \frac{3}{\sqrt{t} - 3}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{-\sqrt{t} + 3}{\sqrt{t} - 3} = \frac{3 - \sqrt{t}}{\sqrt{t} - 3}$

Числитель и знаменатель являются противоположными выражениями. Сократим дробь:

$\frac{-(\sqrt{t} - 3)}{\sqrt{t} - 3} = -1$

Это равенство верно при всех допустимых значениях $t$, то есть когда $t \ge 0$ и $\sqrt{t} - 3 \neq 0$ (т.е. $t \neq 9$).

Ответ: $-1$

16.70 a) $\frac{a}{\sqrt{a} - 3} - \frac{9}{\sqrt{a} - 3};$

б) $\frac{c}{\sqrt{c} - 10} - \frac{20\sqrt{c} - 100}{\sqrt{c} - 10};$

в) $\frac{c}{\sqrt{c} + 9} - \frac{81}{\sqrt{c} + 9};$

г) $\frac{d}{\sqrt{d} + 7} + \frac{14\sqrt{d} + 49}{\sqrt{d} + 7}.$

а) Упростим выражение $\frac{a}{\sqrt{a}-3} - \frac{9}{\sqrt{a}-3}$.
Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем выполнить вычитание числителей, оставив знаменатель без изменений:
$\frac{a}{\sqrt{a}-3} - \frac{9}{\sqrt{a}-3} = \frac{a - 9}{\sqrt{a}-3}$.
Теперь заметим, что числитель $a - 9$ является разностью квадратов. Мы можем представить $a$ как $(\sqrt{a})^2$, а $9$ как $3^2$.
Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:
$a - 9 = (\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.
Подставим это обратно в нашу дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)}{\sqrt{a}-3}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - 3)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{(\sqrt{a} - 3)}(\sqrt{a} + 3)}{\cancel{\sqrt{a} - 3}} = \sqrt{a} + 3$.
Ответ: $\sqrt{a} + 3$.

б) Упростим выражение $\frac{c}{\sqrt{c}-10} - \frac{20\sqrt{c}-100}{\sqrt{c}-10}$.
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители. Важно не забыть скобки при вычитании второго числителя:
$\frac{c - (20\sqrt{c}-100)}{\sqrt{c}-10} = \frac{c - 20\sqrt{c} + 100}{\sqrt{c}-10}$.
Числитель $c - 20\sqrt{c} + 100$ является полным квадратом. Мы можем представить $c$ как $(\sqrt{c})^2$, а $100$ как $10^2$.
Используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, получаем:
$c - 20\sqrt{c} + 100 = (\sqrt{c})^2 - 2 \cdot \sqrt{c} \cdot 10 + 10^2 = (\sqrt{c} - 10)^2$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sqrt{c} - 10)^2}{\sqrt{c} - 10}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{c} - 10)$:
$\frac{\cancel{(\sqrt{c} - 10)}(\sqrt{c} - 10)}{\cancel{\sqrt{c} - 10}} = \sqrt{c} - 10$.
Ответ: $\sqrt{c} - 10$.

в) Упростим выражение $\frac{c}{\sqrt{c}+9} - \frac{81}{\sqrt{c}+9}$.
Дроби имеют общий знаменатель, поэтому вычитаем числители:
$\frac{c - 81}{\sqrt{c}+9}$.
Числитель $c - 81$ — это разность квадратов, так как $c = (\sqrt{c})^2$ и $81 = 9^2$.
Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$c - 81 = (\sqrt{c})^2 - 9^2 = (\sqrt{c} - 9)(\sqrt{c} + 9)$.
Подставим разложенный числитель в дробь:
$\frac{(\sqrt{c} - 9)(\sqrt{c} + 9)}{\sqrt{c} + 9}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{c} + 9)$:
$\frac{(\sqrt{c} - 9)\cancel{(\sqrt{c} + 9)}}{\cancel{\sqrt{c} + 9}} = \sqrt{c} - 9$.
Ответ: $\sqrt{c} - 9$.

г) Упростим выражение $\frac{d}{\sqrt{d}+7} + \frac{14\sqrt{d}+49}{\sqrt{d}+7}$.
Так как знаменатели дробей одинаковы, складываем их числители:
$\frac{d + 14\sqrt{d} + 49}{\sqrt{d}+7}$.
Числитель $d + 14\sqrt{d} + 49$ является полным квадратом. Мы можем представить $d$ как $(\sqrt{d})^2$, а $49$ как $7^2$.
Используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, получаем:
$d + 14\sqrt{d} + 49 = (\sqrt{d})^2 + 2 \cdot \sqrt{d} \cdot 7 + 7^2 = (\sqrt{d} + 7)^2$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sqrt{d} + 7)^2}{\sqrt{d}+7}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{d} + 7)$:
$\frac{\cancel{(\sqrt{d} + 7)}(\sqrt{d} + 7)}{\cancel{\sqrt{d} + 7}} = \sqrt{d} + 7$.
Ответ: $\sqrt{d} + 7$.

16.71 a) $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{yz}};$

б) $\frac{\sqrt{m} - \sqrt{n}}{\sqrt{mn}} + \frac{\sqrt{m} - \sqrt{r}}{\sqrt{nr}};$

в) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{cd}} - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{dm}};$

г) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{\sqrt{bc}}.$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{yz}}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $\sqrt{xy}$ и $\sqrt{yz}$ это $\sqrt{xyz}$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $\sqrt{z}$: $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{xy} \cdot \sqrt{z}} = \frac{z}{\sqrt{xyz}}$.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $\sqrt{x}$: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{yz}} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{yz} \cdot \sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{xyz}}$.
Теперь сложим полученные дроби: $\frac{z}{\sqrt{xyz}} + \frac{x}{\sqrt{xyz}} = \frac{x+z}{\sqrt{xyz}}$.
Для завершения избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив на него числитель и знаменатель: $\frac{(x+z)\sqrt{xyz}}{\sqrt{xyz} \cdot \sqrt{xyz}} = \frac{(x+z)\sqrt{xyz}}{xyz}$.
Ответ: $\frac{(x+z)\sqrt{xyz}}{xyz}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{\sqrt{mn}} + \frac{\sqrt{m}-\sqrt{r}}{\sqrt{nr}}$. Можно упростить каждую дробь по отдельности.
Разделим первую дробь: $\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{\sqrt{mn}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{mn}} - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{mn}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}\sqrt{n}} - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{m}}$.
Разделим вторую дробь: $\frac{\sqrt{m}-\sqrt{r}}{\sqrt{nr}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{nr}} - \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{nr}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}\sqrt{r}} - \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{n}\sqrt{r}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{nr}} - \frac{1}{\sqrt{n}}$.
Теперь сложим полученные выражения: $(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{m}}) + (\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{nr}} - \frac{1}{\sqrt{n}}) = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{m}} + \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{nr}} - \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{nr}} - \frac{1}{\sqrt{m}}$.
Приведем к общему знаменателю $\sqrt{mnr}$: $\frac{\sqrt{m}\cdot\sqrt{m}}{\sqrt{nr}\cdot\sqrt{m}} - \frac{1\cdot\sqrt{nr}}{\sqrt{m}\cdot\sqrt{nr}} = \frac{m}{\sqrt{mnr}} - \frac{\sqrt{nr}}{\sqrt{mnr}} = \frac{m-\sqrt{nr}}{\sqrt{mnr}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{(m-\sqrt{nr})\sqrt{mnr}}{mnr}$.
Ответ: $\frac{(m-\sqrt{nr})\sqrt{mnr}}{mnr}$.

в) В выражении $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{cd}} - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{dm}}$ приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $\sqrt{cd}$ и $\sqrt{dm}$ это $\sqrt{cdm}$.
Домножим первую дробь на $\sqrt{m}$, а вторую на $\sqrt{c}$: $\frac{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}}{\sqrt{cd} \cdot \sqrt{m}} - \frac{\sqrt{c} \cdot \sqrt{c}}{\sqrt{dm} \cdot \sqrt{c}} = \frac{m}{\sqrt{cdm}} - \frac{c}{\sqrt{cdm}}$.
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{m-c}{\sqrt{cdm}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{(m-c)\sqrt{cdm}}{\sqrt{cdm}\sqrt{cdm}} = \frac{(m-c)\sqrt{cdm}}{cdm}$.
Ответ: $\frac{(m-c)\sqrt{cdm}}{cdm}$.

г) Упростим выражение $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{bc}}$, разделив каждую дробь на слагаемые.
Первая дробь: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a}}$.
Вторая дробь: $\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{bc}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{bc}} - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{bc}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{c}} - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{b}}$.
Сложим результаты: $(\frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a}}) + (\frac{1}{\sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{b}}) = \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{c}}$.
Приведем к общему знаменателю $\sqrt{ac}$: $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{ac}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{c})\sqrt{ac}}{\sqrt{ac}\sqrt{ac}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{c})\sqrt{ac}}{ac}$.
Ответ: $\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{c})\sqrt{ac}}{ac}$.

16.72 a) $\frac{4}{\sqrt{a} - 5} + \frac{1}{\sqrt{a}}$;

б) $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$;

в) $\frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} - 2} - \frac{\sqrt{b} + 3}{\sqrt{b}}$;

г) $\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c} - \sqrt{d}} - \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c}}$.

а) $\frac{4}{\sqrt{a}-5} + \frac{1}{\sqrt{a}}$

Чтобы сложить две дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель — это произведение знаменателей исходных дробей: $\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $\sqrt{a}$, а второй дроби — на $(\sqrt{a}-5)$:

$\frac{4 \cdot \sqrt{a}}{(\sqrt{a}-5) \cdot \sqrt{a}} + \frac{1 \cdot (\sqrt{a}-5)}{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a}-5)} = \frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)} + \frac{\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{4\sqrt{a} + \sqrt{a}-5}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{5\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)}$

Можно вынести общий множитель 5 в числителе и раскрыть скобки в знаменателе для окончательного вида:

$\frac{5(\sqrt{a}-1)}{a-5\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{5(\sqrt{a}-1)}{a-5\sqrt{a}}$

б) $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})$. Для этого домножим первую дробь на $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$, а вторую — на $\sqrt{y}$:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} - \frac{\sqrt{x}\sqrt{y}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{y}}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - \sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} - \sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{x + \sqrt{xy} - \sqrt{xy}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

Упростим числитель, сократив $\sqrt{xy}$ и $-\sqrt{xy}$:

$\frac{x}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$\frac{x}{\sqrt{xy}+y}$

Ответ: $\frac{x}{y+\sqrt{xy}}$

в) $\frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}-2} - \frac{\sqrt{b}+3}{\sqrt{b}}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{(\sqrt{b}+1)\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-2)\sqrt{b}} - \frac{(\sqrt{b}+3)(\sqrt{b}-2)}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}$

Запишем разность числителей под общим знаменателем:

$\frac{(\sqrt{b}+1)\sqrt{b} - (\sqrt{b}+3)(\sqrt{b}-2)}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}$

Раскроем скобки в числителе. Для первого произведения: $(\sqrt{b}+1)\sqrt{b} = (\sqrt{b})^2 + \sqrt{b} = b + \sqrt{b}$. Для второго произведения: $(\sqrt{b}+3)(\sqrt{b}-2) = (\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{b} + 3\sqrt{b} - 6 = b + \sqrt{b} - 6$.

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$\frac{(b+\sqrt{b}) - (b+\sqrt{b}-6)}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}$

Раскроем вторые скобки в числителе, изменив знаки:

$\frac{b+\sqrt{b}-b-\sqrt{b}+6}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}$

Сократим подобные члены в числителе:

$\frac{6}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$\frac{6}{b-2\sqrt{b}}$

Ответ: $\frac{6}{b-2\sqrt{b}}$

г) $\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}} - \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c}}$

Находим общий знаменатель, который равен $\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})$. Домножаем первую дробь на $\sqrt{c}$, а вторую — на $(\sqrt{c}-\sqrt{d})$:

$\frac{\sqrt{d}\sqrt{c}}{(\sqrt{c}-\sqrt{d})\sqrt{c}} - \frac{\sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}$

Выполняем вычитание:

$\frac{\sqrt{d}\sqrt{c} - \sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{\sqrt{cd} - (\sqrt{cd} - (\sqrt{d})^2)}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} = \frac{\sqrt{cd} - \sqrt{cd} + d}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}$

Упрощаем числитель:

$\frac{d}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}$

Раскрываем скобки в знаменателе:

$\frac{d}{c-\sqrt{cd}}$

Ответ: $\frac{d}{c-\sqrt{cd}}$