Страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16.79 a) $(2 + \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} + 1}) \cdot \frac{3t + 3\sqrt{t}}{12\sqrt{t} + 8}$

б) $(\frac{\sqrt{x} - 2\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{\sqrt{x}}) \cdot \frac{xy}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

в) $(\sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a} + 1}) \cdot \frac{a - 1}{\sqrt{a}}$

г) $\frac{\sqrt{cd} - d}{c + d} \cdot (\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c} + \sqrt{d}} + \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c} - \sqrt{d}})$

а)

Решим по действиям. Сначала выполним сложение в скобках, приведя к общему знаменателю $\sqrt{t} + 1$:

$2 + \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} + 1} = \frac{2(\sqrt{t} + 1)}{\sqrt{t} + 1} + \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} + 1} = \frac{2\sqrt{t} + 2 + \sqrt{t}}{\sqrt{t} + 1} = \frac{3\sqrt{t} + 2}{\sqrt{t} + 1}$

Теперь упростим второй множитель. В числителе вынесем за скобки $3\sqrt{t}$, а в знаменателе вынесем $4$:

$\frac{3t + 3\sqrt{t}}{12\sqrt{t} + 8} = \frac{3\sqrt{t}(\sqrt{t} + 1)}{4(3\sqrt{t} + 2)}$

Перемножим полученные выражения и сократим общие множители $(3\sqrt{t} + 2)$ и $(\sqrt{t} + 1)$:

$\frac{3\sqrt{t} + 2}{\sqrt{t} + 1} \cdot \frac{3\sqrt{t}(\sqrt{t} + 1)}{4(3\sqrt{t} + 2)} = \frac{3\sqrt{t}}{4}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{t}}{4}$

б)

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$:

$\frac{\sqrt{x} - 2\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 2\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} + \frac{1 \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x} - 2\sqrt{y} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{xy}}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} \cdot \frac{xy}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$:

$\frac{xy}{\sqrt{xy}}$

Упростим полученное выражение, зная, что $xy = \sqrt{xy} \cdot \sqrt{xy}$:

$\frac{\sqrt{xy} \cdot \sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} = \sqrt{xy}$

Ответ: $\sqrt{xy}$

в)

Выполним вычитание в скобках, приведя к общему знаменателю $\sqrt{a} + 1$:

$\sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 1} - \frac{a}{\sqrt{a} + 1} = \frac{a + \sqrt{a} - a}{\sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}$

Разложим числитель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a-1 = (\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)$:

$\frac{a - 1}{\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}}$

Теперь перемножим полученные выражения и сократим общие множители $\sqrt{a}$ и $(\sqrt{a}+1)$:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \cdot \frac{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}} = \sqrt{a} - 1$

Ответ: $\sqrt{a} - 1$

г)

Сначала упростим выражение в больших скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{c} + \sqrt{d})(\sqrt{c} - \sqrt{d}) = c - d$:

$\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c} + \sqrt{d}} + \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c} - \sqrt{d}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d}) + \sqrt{d}(\sqrt{c} + \sqrt{d})}{(\sqrt{c} + \sqrt{d})(\sqrt{c} - \sqrt{d})} = \frac{c - \sqrt{cd} + \sqrt{cd} + d}{c - d} = \frac{c + d}{c - d}$

Теперь преобразуем первый множитель, вынеся $\sqrt{d}$ в числителе за скобки:

$\frac{\sqrt{cd} - d}{c + d} = \frac{\sqrt{d}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{c + d}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{\sqrt{d}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{c + d} \cdot \frac{c + d}{c - d}$

Сократим общий множитель $(c+d)$:

$\frac{\sqrt{d}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{c - d}$

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $c-d = (\sqrt{c}-\sqrt{d})(\sqrt{c}+\sqrt{d})$ и сократим дробь:

$\frac{\sqrt{d}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{(\sqrt{c} - \sqrt{d})(\sqrt{c} + \sqrt{d})} = \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c} + \sqrt{d}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c} + \sqrt{d}}$

16.80 Внесите множитель под знак корня, если известно, что $a < 0$:

а) $a\sqrt{12}$;

б) $-a\sqrt{5}$;

в) $3a\sqrt{2}$;

г) $-2a\sqrt{7}$.

а) Чтобы внести множитель $a$ под знак корня в выражении $a\sqrt{12}$, нужно учесть, что по условию $a < 0$. Когда отрицательный множитель вносится под знак квадратного корня, перед корнем остается знак минус, а сам множитель, уже без знака, возводится в квадрат под корнем.
Это можно записать так: $a = -(-a)$. Поскольку $a<0$, то $-a>0$.
$a\sqrt{12} = -(-a)\sqrt{12} = -\sqrt{(-a)^2 \cdot 12} = -\sqrt{a^2 \cdot 12} = -\sqrt{12a^2}$.
Ответ: $-\sqrt{12a^2}$.

б) В выражении $-a\sqrt{5}$ множитель, который нужно внести под корень, это $-a$.
По условию $a < 0$, следовательно, множитель $-a$ является положительным числом ($-a > 0$).
Положительный множитель вносится под знак корня путем возведения его в квадрат:
$-a\sqrt{5} = \sqrt{(-a)^2 \cdot 5} = \sqrt{a^2 \cdot 5} = \sqrt{5a^2}$.
Ответ: $\sqrt{5a^2}$.

в) В выражении $3a\sqrt{2}$ множителем является $3a$.
Так как $a < 0$, то произведение $3a$ также будет отрицательным ($3a < 0$).
При внесении отрицательного множителя $3a$ под знак корня, перед корнем ставится знак минус, а под корень вносится квадрат этого множителя:
$3a\sqrt{2} = -\sqrt{(3a)^2 \cdot 2} = -\sqrt{9a^2 \cdot 2} = -\sqrt{18a^2}$.
Ответ: $-\sqrt{18a^2}$.

г) В выражении $-2a\sqrt{7}$ множителем является $-2a$.
По условию $a < 0$. Произведение двух отрицательных чисел ($-2$ и $a$) дает положительное число, следовательно, $-2a > 0$.
Положительный множитель $-2a$ вносим под корень, возведя его в квадрат:
$-2a\sqrt{7} = \sqrt{(-2a)^2 \cdot 7} = \sqrt{4a^2 \cdot 7} = \sqrt{28a^2}$.
Ответ: $\sqrt{28a^2}$.

Упростите выражение:

16.81 а) $(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 - \sqrt{120};$

б) $\sqrt{60} + (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2;$

в) $(\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30;$

г) $(6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32}.$

а) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 - \sqrt{120}$, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 6 + 2\sqrt{30} + 5 = 11 + 2\sqrt{30}$.
Теперь упростим корень $\sqrt{120}$, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{30} = 2\sqrt{30}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$(11 + 2\sqrt{30}) - 2\sqrt{30} = 11 + 2\sqrt{30} - 2\sqrt{30} = 11$.
Ответ: 11.

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{60} + (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 - 2\sqrt{15} + 5 = 8 - 2\sqrt{15}$.
Теперь упростим корень $\sqrt{60}$:
$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$2\sqrt{15} + (8 - 2\sqrt{15}) = 2\sqrt{15} + 8 - 2\sqrt{15} = 8$.
Ответ: 8.

в) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30$, сначала упростим выражение в скобках.
Упростим корень $\sqrt{18}$:
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Теперь сложим корни в скобках:
$\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (1+3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение обратно в выражение:
$(4\sqrt{2})^2 - 30$.
Возведем в квадрат:
$(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.
Выполним вычитание:
$32 - 30 = 2$.
Ответ: 2.

г) Чтобы упростить выражение $(6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32}$, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(6 - \sqrt{2})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 36 - 12\sqrt{2} + 2 = 38 - 12\sqrt{2}$.
Теперь упростим второе слагаемое $3\sqrt{32}$:
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
$3\sqrt{32} = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$(38 - 12\sqrt{2}) + 12\sqrt{2} = 38 - 12\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 38$.
Ответ: 38.

16.82 а) $(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1)^2$;

б) $(\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1)^2$;

в) $(\sqrt{6} + \sqrt{2} - 1)^2$;

г) $(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 5)^2$.

а) $(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1)^2$

Для раскрытия скобок используем формулу квадрата трехчлена: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$, $b = \sqrt{2}$ и $c = 1$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1$

Выполняем вычисления:

$= 3 + 2 + 1 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}$

Складываем числовые слагаемые и упорядочиваем члены с корнями:

$= 6 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$

Ответ: $6 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$.

б) $(\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1)^2$

Используем ту же формулу $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, где $a = \sqrt{5}$, $b = -\sqrt{2}$ и $c = -1$.

Подставляем значения в формулу:

$(\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{2})^2 + (-1)^2 + 2(\sqrt{5})(-\sqrt{2}) + 2(\sqrt{5})(-1) + 2(-\sqrt{2})(-1)$

Выполняем вычисления:

$= 5 + 2 + 1 - 2\sqrt{10} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$

Складываем числовые слагаемые и упорядочиваем члены:

$= 8 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{10}$

Ответ: $8 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{10}$.

в) $(\sqrt{6} + \sqrt{2} - 1)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата трехчлена $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, где $a = \sqrt{6}$, $b = \sqrt{2}$ и $c = -1$.

Подставляем значения:

$(\sqrt{6} + \sqrt{2} - 1)^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 + (-1)^2 + 2(\sqrt{6})(\sqrt{2}) + 2(\sqrt{6})(-1) + 2(\sqrt{2})(-1)$

Выполняем вычисления:

$= 6 + 2 + 1 + 2\sqrt{12} - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$

Упрощаем корень $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ и складываем числа:

$= 9 + 2(2\sqrt{3}) - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$

Упорядочиваем члены:

$= 9 - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

Ответ: $9 - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$.

г) $(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 5)^2$

Применим формулу квадрата трехчлена $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, где $a = \sqrt{3}$, $b = -\sqrt{2}$ и $c = 5$.

Подставляем значения:

$(\sqrt{3} - \sqrt{2} + 5)^2 = (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{2})^2 + 5^2 + 2(\sqrt{3})(-\sqrt{2}) + 2(\sqrt{3})(5) + 2(-\sqrt{2})(5)$

Выполняем вычисления:

$= 3 + 2 + 25 - 2\sqrt{6} + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{2}$

Складываем числовые слагаемые и упорядочиваем члены:

$= 30 - 10\sqrt{2} + 10\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

Ответ: $30 - 10\sqrt{2} + 10\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$.

16.83 a) $\sqrt{\frac{1}{6}} + \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{54};$

б) $0,1\sqrt{140} - \sqrt{\frac{7}{5}} - \sqrt{\frac{5}{7}};$

в) $\sqrt{18} - \sqrt{\frac{2}{9}} - \sqrt{\frac{9}{2}};$

г) $\sqrt{\frac{1}{14}} + 2\sqrt{\frac{2}{7}} - \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{14}.$

а) $\sqrt{\frac{1}{6}} + \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{54}$

Чтобы упростить выражение, приведем все слагаемые к виду $k\sqrt{n}$, где $n$ — одинаковое для всех членов число. В данном случае удобно привести все к $\sqrt{6}$.

1. Упростим каждый член выражения, избавляясь от иррациональности в знаменателе:

$\sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} - 3\sqrt{6}$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt{6}$ за скобки и сложим коэффициенты:

$\sqrt{6} \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 3\right)$

4. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6:

$\sqrt{6} \left(\frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{18}{6}\right) = \sqrt{6} \left(\frac{1+3+2-18}{6}\right) = \sqrt{6} \left(\frac{6-18}{6}\right) = \sqrt{6} \left(\frac{-12}{6}\right) = -2\sqrt{6}$

Ответ: $-2\sqrt{6}$

б) $0,1\sqrt{140} - \sqrt{\frac{7}{5}} - \sqrt{\frac{5}{7}}$

Упростим каждый член выражения, чтобы выделить общий радикал. Заметим, что $140 = 4 \cdot 35$, а в других членах есть 5 и 7, что намекает на общий радикал $\sqrt{35}$.

1. Упростим каждый член:

$0,1\sqrt{140} = 0,1\sqrt{4 \cdot 35} = 0,1 \cdot 2\sqrt{35} = 0,2\sqrt{35}$

$\sqrt{\frac{7}{5}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{35}}{5}$

$\sqrt{\frac{5}{7}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{5}\sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{35}}{7}$

2. Подставим упрощенные значения:

$0,2\sqrt{35} - \frac{\sqrt{35}}{5} - \frac{\sqrt{35}}{7}$

3. Представим $0,2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$ и вынесем общий множитель $\sqrt{35}$ за скобки:

$\sqrt{35} \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right)$

4. Выполним действия в скобках:

$\sqrt{35} \left(0 - \frac{1}{7}\right) = -\frac{1}{7}\sqrt{35} = -\frac{\sqrt{35}}{7}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{35}}{7}$

в) $\sqrt{18} - \sqrt{\frac{2}{9}} - \sqrt{\frac{9}{2}}$

Приведем все члены выражения к общему подкоренному выражению, которым, судя по всему, будет 2.

1. Упростим каждый член:

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

$\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

2. Подставим упрощенные значения в выражение:

$3\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{3\sqrt{2}}{2}$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки:

$\sqrt{2} \left(3 - \frac{1}{3} - \frac{3}{2}\right)$

4. Приведем числа в скобках к общему знаменателю 6:

$\sqrt{2} \left(\frac{18}{6} - \frac{2}{6} - \frac{9}{6}\right) = \sqrt{2} \left(\frac{18 - 2 - 9}{6}\right) = \sqrt{2} \left(\frac{7}{6}\right) = \frac{7\sqrt{2}}{6}$

Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{6}$

г) $\sqrt{\frac{1}{14}} + 2\sqrt{\frac{2}{7}} - \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{14}$

Упростим каждый член выражения, приведя их к общему радикалу $\sqrt{14}$.

1. Упростим каждый член:

$\sqrt{\frac{1}{14}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{14}} = \frac{1 \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{14}$

$2\sqrt{\frac{2}{7}} = 2 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = 2 \frac{\sqrt{2}\sqrt{7}}{7} = \frac{2\sqrt{14}}{7}$

$\sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

2. Подставим упрощенные значения в выражение:

$\frac{\sqrt{14}}{14} + \frac{2\sqrt{14}}{7} - \frac{\sqrt{14}}{2} - \sqrt{14}$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt{14}$ за скобки:

$\sqrt{14} \left(\frac{1}{14} + \frac{2}{7} - \frac{1}{2} - 1\right)$

4. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 14:

$\sqrt{14} \left(\frac{1}{14} + \frac{4}{14} - \frac{7}{14} - \frac{14}{14}\right) = \sqrt{14} \left(\frac{1 + 4 - 7 - 14}{14}\right) = \sqrt{14} \left(\frac{5 - 21}{14}\right) = \sqrt{14} \left(\frac{-16}{14}\right) = -\frac{8\sqrt{14}}{7}$

Ответ: $-\frac{8\sqrt{14}}{7}$

16.84 а) $3\sqrt{\frac{1}{15}} + 6\sqrt{0,6} - \sqrt{60};$

б) $5\sqrt{20} - 15\sqrt{\frac{1}{5}} + 5\sqrt{0,8};$

в) $10\sqrt{0,18} - 2\sqrt{\frac{1}{2}} - 3\sqrt{50};$

г) $20\sqrt{0,27} - 5\sqrt{0,12} + 7\sqrt{0,03}.$

а) $3\sqrt{\frac{1}{15}} + 6\sqrt{0,6} - \sqrt{60}$
Чтобы упростить выражение, приведем все слагаемые к общему виду, выделив общий множитель под корнем. В данном случае это будет $\sqrt{15}$.
1. Преобразуем первое слагаемое: $3\sqrt{\frac{1}{15}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{15}} = \frac{3}{\sqrt{15}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$: $\frac{3 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.
2. Преобразуем второе слагаемое: $6\sqrt{0,6} = 6\sqrt{\frac{6}{10}} = 6\sqrt{\frac{3}{5}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $6 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{15}}{5}$.
3. Преобразуем третье слагаемое: $\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.
4. Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение и выполним действия:
$\frac{\sqrt{15}}{5} + \frac{6\sqrt{15}}{5} - 2\sqrt{15} = \frac{\sqrt{15} + 6\sqrt{15}}{5} - 2\sqrt{15} = \frac{7\sqrt{15}}{5} - 2\sqrt{15}$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{7\sqrt{15}}{5} - \frac{10\sqrt{15}}{5} = \frac{7\sqrt{15} - 10\sqrt{15}}{5} = \frac{-3\sqrt{15}}{5}$.
Ответ: $-\frac{3\sqrt{15}}{5}$.

б) $5\sqrt{20} - 15\sqrt{\frac{1}{5}} + 5\sqrt{0,8}$
Упростим каждый член выражения, приведя их к общему виду с $\sqrt{5}$.
1. Преобразуем первый член: $5\sqrt{20} = 5\sqrt{4 \cdot 5} = 5 \cdot 2\sqrt{5} = 10\sqrt{5}$.
2. Преобразуем второй член: $15\sqrt{\frac{1}{5}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{15 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}$.
3. Преобразуем третий член: $5\sqrt{0,8} = 5\sqrt{\frac{8}{10}} = 5\sqrt{\frac{4}{5}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}}$. Избавимся от иррациональности: $\frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$.
4. Подставим упрощенные члены в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$10\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (10 - 3 + 2)\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$.
Ответ: $9\sqrt{5}$.

в) $10\sqrt{0,18} - 2\sqrt{\frac{1}{2}} - 3\sqrt{50}$
Упростим каждый член выражения, приведя их к общему виду с $\sqrt{2}$.
1. Преобразуем первый член: $10\sqrt{0,18} = 10\sqrt{\frac{18}{100}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{100}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{10} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.
2. Преобразуем второй член: $2\sqrt{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности: $\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
3. Преобразуем третий член: $3\sqrt{50} = 3\sqrt{25 \cdot 2} = 3 \cdot 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.
4. Подставим упрощенные члены в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$3\sqrt{2} - \sqrt{2} - 15\sqrt{2} = (3 - 1 - 15)\sqrt{2} = -13\sqrt{2}$.
Ответ: $-13\sqrt{2}$.

г) $20\sqrt{0,27} - 5\sqrt{0,12} + 7\sqrt{0,03}$
Упростим каждый член выражения, приведя их к общему виду с $\sqrt{3}$.
1. Преобразуем первый член: $20\sqrt{0,27} = 20\sqrt{\frac{27}{100}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{100}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{9 \cdot 3}}{10} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
2. Преобразуем второй член: $5\sqrt{0,12} = 5\sqrt{\frac{12}{100}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{100}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{10} = \frac{5 \cdot 2\sqrt{3}}{10} = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$.
3. Преобразуем третий член: $7\sqrt{0,03} = 7\sqrt{\frac{3}{100}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{100}} = \frac{7\sqrt{3}}{10} = 0,7\sqrt{3}$.
4. Подставим упрощенные члены в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$6\sqrt{3} - \sqrt{3} + 0,7\sqrt{3} = (6 - 1 + 0,7)\sqrt{3} = 5,7\sqrt{3}$.
Ответ: $5,7\sqrt{3}$.

Докажите, что верно равенство:

$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2};$

б) $\sqrt{23 - 4\sqrt{15}} = 2\sqrt{5} - \sqrt{3};$

в) $2 - \sqrt{3} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}};$

г) $\sqrt{5 + 3\sqrt{2}} = \sqrt{23 + 6\sqrt{10}}.$

а) Чтобы доказать равенство $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$, необходимо убедиться, что обе части равенства неотрицательны, а затем возвести одну из частей в квадрат.

Правая часть $1 + \sqrt{2}$ является положительным числом. Левая часть $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ также является положительной по определению арифметического квадратного корня. Поскольку обе части положительны, равенство будет верным, если квадрат правой части равен подкоренному выражению левой части.

Возведем в квадрат правую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(1 + \sqrt{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$.

Результат совпал с выражением под корнем в левой части. Таким образом, мы показали, что $(1 + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{2}$. Следовательно, $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2} = 1 + \sqrt{2}$, так как $1 + \sqrt{2} > 0$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) Чтобы доказать равенство $\sqrt{23 - 4\sqrt{15}} = 2\sqrt{5} - \sqrt{3}$, проверим, что обе части неотрицательны, и возведем правую часть в квадрат.

Для правой части: $2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$. Поскольку $\sqrt{20} > \sqrt{3}$, разность $2\sqrt{5} - \sqrt{3}$ положительна. Левая часть, как арифметический корень, также неотрицательна (подкоренное выражение $23 - 4\sqrt{15} = 23 - \sqrt{240} > 0$, так как $23^2 = 529 > 240$).

Возведем в квадрат правую часть, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 5) - 4\sqrt{15} + 3 = 20 - 4\sqrt{15} + 3 = 23 - 4\sqrt{15}$.

Полученное выражение равно подкоренному выражению в левой части. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

в) Чтобы доказать равенство $2 - \sqrt{3} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$, проверим, что обе части неотрицательны, и возведем левую часть в квадрат.

Левая часть: $2 = \sqrt{4}$. Так как $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, разность $2 - \sqrt{3}$ положительна. Правая часть $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ также положительна, так как $7 = \sqrt{49}$ и $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$, поэтому $7 - 4\sqrt{3} > 0$.

Возведем в квадрат левую часть равенства:

$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

Полученное выражение равно подкоренному выражению в правой части. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

г) Чтобы доказать равенство $\sqrt{5} + 3\sqrt{2} = \sqrt{23 + 6\sqrt{10}}$, возведем в квадрат левую часть, так как обе части равенства очевидно положительны.

Возводим левую часть в квадрат по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2$.

Выполним вычисления:

$5 + 6\sqrt{10} + (9 \cdot 2) = 5 + 6\sqrt{10} + 18 = 23 + 6\sqrt{10}$.

Результат возведения в квадрат левой части равен подкоренному выражению в правой части. Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

16.86 a) $(3 + 2\sqrt{2})(1 - \sqrt{2})^2 = 1$;

б) $(\sqrt{3} - 1)^2(4 + 2\sqrt{3}) = 4$;

в) $(7 + 4\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})^2 = 1$;

г) $(\sqrt{2} - 3)^2(11 + 6\sqrt{2}) = 49.

а)

Чтобы доказать тождество $(3 + 2\sqrt{2})(1 - \sqrt{2})^2 = 1$, преобразуем левую часть выражения.
Сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})$.
Это выражение является произведением суммы и разности двух выражений, которое по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ равно:
$3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1$.
В результате преобразований мы получили $1$, что равно правой части тождества. Таким образом, $1=1$.

Ответ: тождество верно.

б)

Чтобы доказать тождество $(\sqrt{3} - 1)^2(4 + 2\sqrt{3}) = 4$, преобразуем левую часть выражения.
Сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :
$4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - (4 \cdot 3) = 16 - 12 = 4$.
В результате преобразований мы получили $4$, что равно правой части тождества. Таким образом, $4=4$.

Ответ: тождество верно.

в)

Чтобы доказать тождество $(7 + 4\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})^2 = 1$, преобразуем левую часть выражения.
Сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})$.
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :
$7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.
В результате преобразований мы получили $1$, что равно правой части тождества. Таким образом, $1=1$.

Ответ: тождество верно.

г)

Чтобы доказать тождество $(\sqrt{2} - 3)^2(11 + 6\sqrt{2}) = 49$, преобразуем левую часть выражения.
Сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(\sqrt{2} - 3)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 2 - 6\sqrt{2} + 9 = 11 - 6\sqrt{2}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(11 - 6\sqrt{2})(11 + 6\sqrt{2})$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :
$11^2 - (6\sqrt{2})^2 = 121 - (36 \cdot 2) = 121 - 72 = 49$.
В результате преобразований мы получили $49$, что равно правой части тождества. Таким образом, $49=49$.

Ответ: тождество верно.