Страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16.73 a) $\frac{\sqrt{x}-1}{3\sqrt{x}-12} - \frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}-8}$;

б) $\frac{\sqrt{p}+1}{p-\sqrt{pq}} - \frac{\sqrt{q}+1}{\sqrt{pq}-q}$;

в) $\frac{\sqrt{c}-2}{3\sqrt{c}+3} - \frac{3\sqrt{c}-4}{7\sqrt{c}+7}$;

г) $\frac{\sqrt{d}+3}{\sqrt{cd}+d} - \frac{\sqrt{c}-3}{\sqrt{cd}+c}$.

а) Упростим выражение $\frac{\sqrt{x}-1}{3\sqrt{x}-12} - \frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}-8}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $3\sqrt{x}-12 = 3(\sqrt{x}-4)$. Знаменатель второй дроби: $2\sqrt{x}-8 = 2(\sqrt{x}-4)$. Наименьший общий знаменатель равен $6(\sqrt{x}-4)$. Дополнительный множитель для первой дроби — 2, для второй — 3. Получаем: $\frac{2(\sqrt{x}-1)}{6(\sqrt{x}-4)} - \frac{3(\sqrt{x}-2)}{6(\sqrt{x}-4)} = \frac{2(\sqrt{x}-1) - 3(\sqrt{x}-2)}{6(\sqrt{x}-4)}$. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $\frac{2\sqrt{x}-2 - 3\sqrt{x}+6}{6(\sqrt{x}-4)} = \frac{-\sqrt{x}+4}{6(\sqrt{x}-4)}$. Вынесем в числителе -1 за скобки: $\frac{-(\sqrt{x}-4)}{6(\sqrt{x}-4)}$. Сократив дробь на $(\sqrt{x}-4)$, получим $-\frac{1}{6}$. Ответ: $-\frac{1}{6}$

б) Упростим выражение $\frac{\sqrt{p}+1}{p-\sqrt{pq}} - \frac{\sqrt{q}+1}{\sqrt{pq}-q}$. Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $p-\sqrt{pq} = \sqrt{p}(\sqrt{p}-\sqrt{q})$. Знаменатель второй дроби: $\sqrt{pq}-q = \sqrt{q}(\sqrt{p}-\sqrt{q})$. Общий знаменатель равен $\sqrt{pq}(\sqrt{p}-\sqrt{q})$. Дополнительный множитель для первой дроби — $\sqrt{q}$, для второй — $\sqrt{p}$. Получаем: $\frac{\sqrt{q}(\sqrt{p}+1)}{\sqrt{pq}(\sqrt{p}-\sqrt{q})} - \frac{\sqrt{p}(\sqrt{q}+1)}{\sqrt{pq}(\sqrt{p}-\sqrt{q})} = \frac{\sqrt{q}(\sqrt{p}+1) - \sqrt{p}(\sqrt{q}+1)}{\sqrt{pq}(\sqrt{p}-\sqrt{q})}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{\sqrt{pq}+\sqrt{q} - \sqrt{pq}-\sqrt{p}}{\sqrt{pq}(\sqrt{p}-\sqrt{q})}$. Упростим числитель: $\frac{\sqrt{q}-\sqrt{p}}{\sqrt{pq}(\sqrt{p}-\sqrt{q})}$. Вынесем -1 за скобки в числителе: $\frac{-(\sqrt{p}-\sqrt{q})}{\sqrt{pq}(\sqrt{p}-\sqrt{q})}$. Сократим дробь на $(\sqrt{p}-\sqrt{q})$. Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{pq}}$

в) Упростим выражение $\frac{\sqrt{c}-2}{3\sqrt{c}+3} - \frac{3\sqrt{c}-4}{7\sqrt{c}+7}$. Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $3\sqrt{c}+3 = 3(\sqrt{c}+1)$. Знаменатель второй дроби: $7\sqrt{c}+7 = 7(\sqrt{c}+1)$. Общий знаменатель равен $21(\sqrt{c}+1)$. Дополнительный множитель для первой дроби — 7, для второй — 3. Получаем: $\frac{7(\sqrt{c}-2)}{21(\sqrt{c}+1)} - \frac{3(3\sqrt{c}-4)}{21(\sqrt{c}+1)} = \frac{7(\sqrt{c}-2) - 3(3\sqrt{c}-4)}{21(\sqrt{c}+1)}$. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $\frac{7\sqrt{c}-14 - 9\sqrt{c}+12}{21(\sqrt{c}+1)} = \frac{-2\sqrt{c}-2}{21(\sqrt{c}+1)}$. Вынесем в числителе -2 за скобки: $\frac{-2(\sqrt{c}+1)}{21(\sqrt{c}+1)}$. Сократив дробь на $(\sqrt{c}+1)$, получим $-\frac{2}{21}$. Ответ: $-\frac{2}{21}$

г) Упростим выражение $\frac{\sqrt{d}+3}{\sqrt{cd}+d} - \frac{\sqrt{c}-3}{\sqrt{cd}+c}$. Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $\sqrt{cd}+d = \sqrt{d}(\sqrt{c}+\sqrt{d})$. Знаменатель второй дроби: $\sqrt{cd}+c = \sqrt{c}(\sqrt{d}+\sqrt{c})$. Общий знаменатель равен $\sqrt{cd}(\sqrt{c}+\sqrt{d})$. Дополнительный множитель для первой дроби — $\sqrt{c}$, для второй — $\sqrt{d}$. Получаем: $\frac{\sqrt{c}(\sqrt{d}+3)}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}+\sqrt{d})} - \frac{\sqrt{d}(\sqrt{c}-3)}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}+\sqrt{d})} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{d}+3) - \sqrt{d}(\sqrt{c}-3)}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}+\sqrt{d})}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{\sqrt{cd}+3\sqrt{c} - \sqrt{cd}+3\sqrt{d}}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}+\sqrt{d})}$. Упростим числитель: $\frac{3\sqrt{c}+3\sqrt{d}}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}+\sqrt{d})}$. Вынесем в числителе 3 за скобки: $\frac{3(\sqrt{c}+\sqrt{d})}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}+\sqrt{d})}$. Сократим дробь на $(\sqrt{c}+\sqrt{d})$. Ответ: $\frac{3}{\sqrt{cd}}$

16.74 Проверьте равенство:

a) $\frac{2}{5+2\sqrt{6}} + \frac{2}{5-2\sqrt{6}} = 20;$

б) $\frac{6}{7-4\sqrt{3}} - \frac{6}{7+4\sqrt{3}} = \frac{144}{\sqrt{3}},$

в) $\frac{3}{5\sqrt{2}-7} + \frac{3}{5\sqrt{2}+7} = 30\sqrt{2};$

г) $\frac{1}{9+4\sqrt{5}} - \frac{1}{9-4\sqrt{5}} = -2\sqrt{80}.$

а) Чтобы проверить равенство $\frac{2}{5+2\sqrt{6}} + \frac{2}{5-2\sqrt{6}} = 20$, преобразуем его левую часть, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})$. Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2(5-2\sqrt{6})}{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})} + \frac{2(5+2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})} = \frac{2(5-2\sqrt{6}) + 2(5+2\sqrt{6})}{1} = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$.

Получили, что левая часть равна $20$, что совпадает с правой частью равенства.
Ответ: Равенство верно.

б) Проверим равенство $\frac{6}{7-4\sqrt{3}} - \frac{6}{7+4\sqrt{3}} = \frac{144}{\sqrt{3}}$. Сначала преобразуем левую часть. Общий знаменатель: $(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

$\frac{6(7+4\sqrt{3})}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} - \frac{6(7-4\sqrt{3})}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} = \frac{6(7+4\sqrt{3}) - 6(7-4\sqrt{3})}{1} = (42 + 24\sqrt{3}) - (42 - 24\sqrt{3}) = 42 + 24\sqrt{3} - 42 + 24\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{144}{\sqrt{3}} = \frac{144 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{144\sqrt{3}}{3} = 48\sqrt{3}$.

Левая и правая части равны $48\sqrt{3}$.
Ответ: Равенство верно.

в) Проверим равенство $\frac{3}{5\sqrt{2}-7} + \frac{3}{5\sqrt{2}+7} = 30\sqrt{2}$. Преобразуем левую часть. Общий знаменатель: $(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 25 \cdot 2 - 49 = 50 - 49 = 1$.

$\frac{3(5\sqrt{2}+7)}{(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)} + \frac{3(5\sqrt{2}-7)}{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)} = \frac{3(5\sqrt{2}+7) + 3(5\sqrt{2}-7)}{1} = (15\sqrt{2} + 21) + (15\sqrt{2} - 21) = 15\sqrt{2} + 21 + 15\sqrt{2} - 21 = 30\sqrt{2}$.

Левая часть равна $30\sqrt{2}$, что совпадает с правой частью.
Ответ: Равенство верно.

г) Проверим равенство $\frac{1}{9+4\sqrt{5}} - \frac{1}{9-4\sqrt{5}} = -2\sqrt{80}$. Преобразуем левую часть. Общий знаменатель: $(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - 16 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.

$\frac{1(9-4\sqrt{5})}{(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})} - \frac{1(9+4\sqrt{5})}{(9-4\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})} = \frac{(9-4\sqrt{5}) - (9+4\sqrt{5})}{1} = 9 - 4\sqrt{5} - 9 - 4\sqrt{5} = -8\sqrt{5}$.

Теперь упростим правую часть равенства:

$-2\sqrt{80} = -2\sqrt{16 \cdot 5} = -2 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = -2 \cdot 4 \cdot \sqrt{5} = -8\sqrt{5}$.

Левая и правая части равны $-8\sqrt{5}$.
Ответ: Равенство верно.

16.75 Докажите тождество:

а) $\frac{4\sqrt{ab}}{a - 4b} + \frac{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}} = \frac{a + 4b}{a - 4b}$;

б) $\frac{2\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}{2\sqrt{a} + 3\sqrt{b}} - \frac{12\sqrt{ab}}{9b - 4a} = \frac{4a + 9b}{4a - 9b}$.

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений (ОДЗ): $a \ge 0$, $b \ge 0$, $a - 4b \ne 0$.

$\frac{4\sqrt{ab}}{a-4b} + \frac{\sqrt{a}-2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$

Разложим знаменатель первой дроби $a-4b$ по формуле разности квадратов: $a-4b = (\sqrt{a})^2 - (2\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a}-2\sqrt{b})(\sqrt{a}+2\sqrt{b})$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-4b)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на сопряженное выражение к ее знаменателю, то есть на $(\sqrt{a}-2\sqrt{b})$:

$\frac{\sqrt{a}-2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}-2\sqrt{b})(\sqrt{a}-2\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+2\sqrt{b})(\sqrt{a}-2\sqrt{b})} = \frac{(\sqrt{a}-2\sqrt{b})^2}{a-4b}$

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{4\sqrt{ab}}{a-4b} + \frac{(\sqrt{a}-2\sqrt{b})^2}{a-4b} = \frac{4\sqrt{ab} + (\sqrt{a}-2\sqrt{b})^2}{a-4b}$

Раскроем квадрат разности в числителе, используя формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(\sqrt{a}-2\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} + (2\sqrt{b})^2 = a - 4\sqrt{ab} + 4b$

Подставим полученное выражение обратно в числитель и упростим:

$\frac{4\sqrt{ab} + (a - 4\sqrt{ab} + 4b)}{a-4b} = \frac{4\sqrt{ab} + a - 4\sqrt{ab} + 4b}{a-4b} = \frac{a+4b}{a-4b}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Преобразуем левую часть равенства. ОДЗ: $a \ge 0$, $b \ge 0$, $4a - 9b \ne 0$.

$\frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}} - \frac{12\sqrt{ab}}{9b-4a}$

Заметим, что знаменатель второй дроби $9b-4a = -(4a-9b)$. Вынесем минус за знак дроби:

$\frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}} - \frac{12\sqrt{ab}}{-(4a-9b)} = \frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}} + \frac{12\sqrt{ab}}{4a-9b}$

Разложим знаменатель $4a-9b$ по формуле разности квадратов: $4a-9b = (2\sqrt{a})^2 - (3\sqrt{b})^2 = (2\sqrt{a}-3\sqrt{b})(2\sqrt{a}+3\sqrt{b})$. Это будет общий знаменатель.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})$:

$\frac{(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})}{(2\sqrt{a}+3\sqrt{b})(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})} + \frac{12\sqrt{ab}}{4a-9b} = \frac{(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})^2}{4a-9b} + \frac{12\sqrt{ab}}{4a-9b}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})^2 + 12\sqrt{ab}}{4a-9b}$

Раскроем квадрат разности в числителе:

$(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})^2 = (2\sqrt{a})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{b} + (3\sqrt{b})^2 = 4a - 12\sqrt{ab} + 9b$

Подставим это выражение в числитель и упростим:

$\frac{(4a - 12\sqrt{ab} + 9b) + 12\sqrt{ab}}{4a-9b} = \frac{4a - 12\sqrt{ab} + 9b + 12\sqrt{ab}}{4a-9b} = \frac{4a+9b}{4a-9b}$

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Упростите выражение:

16.76 а) $\frac{\sqrt{a}}{x - 3\sqrt{x}} : \frac{\sqrt{a}}{3\sqrt{x} - 9}$;

б) $\frac{\sqrt{a} + a}{\sqrt{n}} \cdot \frac{n}{3 + 3\sqrt{a}}>;

в) $\frac{\sqrt{rx + r}}{x} : \frac{\sqrt{x} + \sqrt{r}}{\sqrt{x}}$;

г) $\frac{6\sqrt{n}}{n - \sqrt{n}} : \frac{3\sqrt{an}}{2\sqrt{n} - 2}$.

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$\frac{\sqrt{a}}{x - 3\sqrt{x}} : \frac{\sqrt{a}}{3\sqrt{x} - 9} = \frac{\sqrt{a}}{x - 3\sqrt{x}} \cdot \frac{3\sqrt{x} - 9}{\sqrt{a}}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй:
$x - 3\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)$
$3\sqrt{x} - 9 = 3(\sqrt{x} - 3)$
Подставим разложенные выражения обратно в пример:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \cdot \frac{3(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{a}}$
Сократим одинаковые множители $\sqrt{a}$ и $(\sqrt{x} - 3)$:
$\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{3}{\sqrt{x}}$

б) Разложим на множители числитель первой дроби, знаменатель второй дроби и числитель второй дроби:
$\sqrt{a} + a = \sqrt{a}(1 + \sqrt{a})$
$n = \sqrt{n} \cdot \sqrt{n}$
$3 + 3\sqrt{a} = 3(1 + \sqrt{a})$
Подставим разложенные выражения в исходный пример:
$\frac{\sqrt{a} + a}{\sqrt{n}} \cdot \frac{n}{3 + 3\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})}{\sqrt{n}} \cdot \frac{(\sqrt{n})^2}{3(1 + \sqrt{a})}$
Сократим одинаковые множители $(1 + \sqrt{a})$ и $\sqrt{n}$:
$\frac{\sqrt{a}}{1} \cdot \frac{\sqrt{n}}{3} = \frac{\sqrt{an}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{an}}{3}$

в) В числителе первой дроби, вероятно, опечатка, и выражение должно иметь вид $\sqrt{rx} + r$, так как в таком виде оно легко упрощается. Решим задачу с этим предположением.
$\frac{\sqrt{rx} + r}{x} : \frac{\sqrt{x} + \sqrt{r}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{rx} + r}{x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{r}}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{r}$ в числителе первой дроби:
$\sqrt{rx} + r = \sqrt{r}\sqrt{x} + (\sqrt{r})^2 = \sqrt{r}(\sqrt{x} + \sqrt{r})$
Подставим в выражение:
$\frac{\sqrt{r}(\sqrt{x} + \sqrt{r})}{x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{r}}$
Сократим одинаковые множители $(\sqrt{x} + \sqrt{r})$:
$\frac{\sqrt{r}}{x} \cdot \sqrt{x} = \frac{\sqrt{r}\sqrt{x}}{x}$
Так как $x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$, можем сократить $\sqrt{x}$:
$\frac{\sqrt{r}\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{x}}$

г) Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{6\sqrt{n}}{n - \sqrt{n}} : \frac{3\sqrt{an}}{2\sqrt{n} - 2} = \frac{6\sqrt{n}}{n - \sqrt{n}} \cdot \frac{2\sqrt{n} - 2}{3\sqrt{an}}$
Разложим на множители выражения в дробях:
$n - \sqrt{n} = \sqrt{n}(\sqrt{n} - 1)$
$2\sqrt{n} - 2 = 2(\sqrt{n} - 1)$
$\sqrt{an} = \sqrt{a}\sqrt{n}$
Подставим в пример:
$\frac{6\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{n} - 1)} \cdot \frac{2(\sqrt{n} - 1)}{3\sqrt{a}\sqrt{n}}$
Сократим общие множители $\sqrt{n}$ и $(\sqrt{n} - 1)$:
$\frac{6}{(\sqrt{n} - 1)} \cdot \frac{2(\sqrt{n} - 1)}{3\sqrt{a}\sqrt{n}} = \frac{6}{1} \cdot \frac{2}{3\sqrt{a}\sqrt{n}} = \frac{12}{3\sqrt{an}}$
Упростим полученную дробь:
$\frac{12}{3\sqrt{an}} = \frac{4}{\sqrt{an}}$
Ответ: $\frac{4}{\sqrt{an}}$

16.77 а) $ \frac{x - 16}{8x} : \frac{\sqrt{x} + 4}{4\sqrt{x}} $

б) $ \frac{z - 25}{z - 3\sqrt{z}} : \frac{\sqrt{z} + 5}{9 - z} $

в) $ \frac{5 - \sqrt{y}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{7y}{y - 25} $

г) $ \frac{3c - 3d}{c + \sqrt{cp}} \cdot \frac{\sqrt{c} + \sqrt{p}}{6\sqrt{d} - 6\sqrt{c}} $

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $\frac{x-16}{8x} : \frac{\sqrt{x}+4}{4\sqrt{x}} = \frac{x-16}{8x} \cdot \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}$. Разложим числитель первой дроби $x-16$ по формуле разности квадратов, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$, а $16$ как $4^2$: $x - 16 = (\sqrt{x})^2 - 4^2 = (\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)$. Подставим разложенный числитель обратно в выражение: $\frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}{8x} \cdot \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}$. Теперь можно сократить одинаковые множители $(\sqrt{x}+4)$ в числителе и знаменателе: $\frac{\sqrt{x}-4}{8x} \cdot \frac{4\sqrt{x}}{1}$. Сократим числовые коэффициенты $4$ и $8$ (останется $2$ в знаменателе). Также сократим $x$ и $\sqrt{x}$, учитывая, что $x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$, в знаменателе останется $2\sqrt{x}$: $\frac{\sqrt{x}-4}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{x}-4}{2\sqrt{x}}$

б) Заменим деление умножением на обратную дробь: $\frac{z-25}{z-3\sqrt{z}} : \frac{\sqrt{z}+5}{9-z} = \frac{z-25}{z-3\sqrt{z}} \cdot \frac{9-z}{\sqrt{z}+5}$. Разложим на множители числители и знаменатели дробей: $z-25 = (\sqrt{z})^2 - 5^2 = (\sqrt{z}-5)(\sqrt{z}+5)$. $z-3\sqrt{z} = \sqrt{z}(\sqrt{z}-3)$. $9-z = 3^2 - (\sqrt{z})^2 = (3-\sqrt{z})(3+\sqrt{z})$. Заметим, что $(3-\sqrt{z}) = -(\sqrt{z}-3)$. Подставим полученные выражения: $\frac{(\sqrt{z}-5)(\sqrt{z}+5)}{\sqrt{z}(\sqrt{z}-3)} \cdot \frac{(3-\sqrt{z})(3+\sqrt{z})}{\sqrt{z}+5} = \frac{(\sqrt{z}-5)(\sqrt{z}+5)}{\sqrt{z}(\sqrt{z}-3)} \cdot \frac{-(\sqrt{z}-3)(3+\sqrt{z})}{\sqrt{z}+5}$. Сократим общие множители $(\sqrt{z}+5)$ и $(\sqrt{z}-3)$: $\frac{\sqrt{z}-5}{\sqrt{z}} \cdot \frac{-(3+\sqrt{z})}{1} = -\frac{(\sqrt{z}-5)(3+\sqrt{z})}{\sqrt{z}} = \frac{(5-\sqrt{z})(3+\sqrt{z})}{\sqrt{z}}$.
Ответ: $\frac{(5-\sqrt{z})(3+\sqrt{z})}{\sqrt{z}}$

в) Дано произведение дробей: $\frac{5-\sqrt{y}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{7y}{y-25}$. Разложим знаменатель второй дроби $y-25$ по формуле разности квадратов: $y-25 = (\sqrt{y})^2 - 5^2 = (\sqrt{y}-5)(\sqrt{y}+5)$. В числителе первой дроби вынесем знак минус за скобки: $5-\sqrt{y} = -(\sqrt{y}-5)$. Подставим разложенные выражения в исходное: $\frac{-(\sqrt{y}-5)}{\sqrt{y}} \cdot \frac{7y}{(\sqrt{y}-5)(\sqrt{y}+5)}$. Сократим общий множитель $(\sqrt{y}-5)$: $\frac{-1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{7y}{\sqrt{y}+5}$. Представим $y$ как $(\sqrt{y})^2$ и сократим $\sqrt{y}$: $\frac{-1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{7(\sqrt{y})^2}{\sqrt{y}+5} = \frac{-1}{1} \cdot \frac{7\sqrt{y}}{\sqrt{y}+5} = -\frac{7\sqrt{y}}{\sqrt{y}+5}$.
Ответ: $-\frac{7\sqrt{y}}{\sqrt{y}+5}$

г) Дано произведение дробей: $\frac{3c-3d}{c+\sqrt{cp}} \cdot \frac{\sqrt{c}+\sqrt{p}}{6\sqrt{d}-6\sqrt{c}}$. Разложим на множители числители и знаменатели: $3c-3d = 3(c-d) = 3((\sqrt{c})^2 - (\sqrt{d})^2) = 3(\sqrt{c}-\sqrt{d})(\sqrt{c}+\sqrt{d})$. $c+\sqrt{cp} = \sqrt{c}\sqrt{c} + \sqrt{c}\sqrt{p} = \sqrt{c}(\sqrt{c}+\sqrt{p})$. $6\sqrt{d}-6\sqrt{c} = 6(\sqrt{d}-\sqrt{c}) = -6(\sqrt{c}-\sqrt{d})$. Подставим разложения в исходное выражение: $\frac{3(\sqrt{c}-\sqrt{d})(\sqrt{c}+\sqrt{d})}{\sqrt{c}(\sqrt{c}+\sqrt{p})} \cdot \frac{\sqrt{c}+\sqrt{p}}{-6(\sqrt{c}-\sqrt{d})}$. Сократим общие множители $(\sqrt{c}-\sqrt{d})$ и $(\sqrt{c}+\sqrt{p})$: $\frac{3(\sqrt{c}+\sqrt{d})}{\sqrt{c}} \cdot \frac{1}{-6}$. Сократим числовые коэффициенты $3$ и $-6$: $\frac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{c}} \cdot \frac{1}{-2} = -\frac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{2\sqrt{c}}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{c}+\sqrt{d}}{2\sqrt{c}}$

16.78 a) $\frac{x - 10\sqrt{x} + 25}{3\sqrt{x} + 12} : \frac{2\sqrt{x} - 10}{x - 16}$;

б) $\frac{1 - a}{4\sqrt{a} + 8\sqrt{b}} \cdot \frac{a + 4\sqrt{ab} + 4b}{3 - 3\sqrt{a}};

в) $\frac{c - 25}{c + 12\sqrt{c} + 36} \cdot \frac{3\sqrt{c} + 18}{2\sqrt{c} + 10}$;

г) $\frac{5\sqrt{m} - 10\sqrt{n}}{\sqrt{m} - 5} : \frac{4n - 4\sqrt{mn} + m}{15 - 3\sqrt{m}}$.

а)

Упростим выражение $ \frac{x - 10\sqrt{x} + 25}{3\sqrt{x} + 12} : \frac{2\sqrt{x} - 10}{x - 16} $.

1. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$ \frac{x - 10\sqrt{x} + 25}{3\sqrt{x} + 12} \cdot \frac{x - 16}{2\sqrt{x} - 10} $

2. Разложим на множители числители и знаменатели дробей. Будем использовать формулы сокращенного умножения: квадрат разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ и разность квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.

Числитель первой дроби: $ x - 10\sqrt{x} + 25 = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 5 + 5^2 = (\sqrt{x} - 5)^2 $.

Знаменатель первой дроби: $ 3\sqrt{x} + 12 = 3(\sqrt{x} + 4) $.

Числитель второй дроби (знаменатель исходной второй дроби): $ x - 16 = (\sqrt{x})^2 - 4^2 = (\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 4) $.

Знаменатель второй дроби (числитель исходной второй дроби): $ 2\sqrt{x} - 10 = 2(\sqrt{x} - 5) $.

3. Подставим разложенные выражения в наше произведение:

$ \frac{(\sqrt{x} - 5)^2}{3(\sqrt{x} + 4)} \cdot \frac{(\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 4)}{2(\sqrt{x} - 5)} $

4. Сократим общие множители $ (\sqrt{x} - 5) $ и $ (\sqrt{x} + 4) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{(\sqrt{x} - 5)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(\sqrt{x} + 4)}} \cdot \frac{(\sqrt{x} - 4)\cancel{(\sqrt{x} + 4)}}{2\cancel{(\sqrt{x} - 5)}} = \frac{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} - 4)}{3 \cdot 2} = \frac{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} - 4)}{6} $

Ответ: $ \frac{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} - 4)}{6} $

б)

Упростим выражение $ \frac{1 - a}{4\sqrt{a} + 8\sqrt{b}} \cdot \frac{a + 4\sqrt{ab} + 4b}{3 - 3\sqrt{a}} $.

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $ 1 - a = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = (1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a}) $.

Знаменатель первой дроби: $ 4\sqrt{a} + 8\sqrt{b} = 4(\sqrt{a} + 2\sqrt{b}) $.

Числитель второй дроби: $ a + 4\sqrt{ab} + 4b = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} + (2\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2 $.

Знаменатель второй дроби: $ 3 - 3\sqrt{a} = 3(1 - \sqrt{a}) $.

2. Подставим разложенные выражения и выполним умножение:

$ \frac{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})}{4(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})} \cdot \frac{(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2}{3(1 - \sqrt{a})} $

3. Сократим общие множители $ (1 - \sqrt{a}) $ и $ (\sqrt{a} + 2\sqrt{b}) $:

$ \frac{\cancel{(1 - \sqrt{a})}(1 + \sqrt{a})}{4\cancel{(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})}} \cdot \frac{(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^{\cancel{2}}}{3\cancel{(1 - \sqrt{a})}} = \frac{(1 + \sqrt{a})(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})}{4 \cdot 3} = \frac{(1 + \sqrt{a})(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})}{12} $

Ответ: $ \frac{(1 + \sqrt{a})(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})}{12} $

в)

Упростим выражение $ \frac{c - 25}{c + 12\sqrt{c} + 36} \cdot \frac{3\sqrt{c} + 18}{2\sqrt{c} + 10} $.

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $ c - 25 = (\sqrt{c})^2 - 5^2 = (\sqrt{c} - 5)(\sqrt{c} + 5) $.

Знаменатель первой дроби: $ c + 12\sqrt{c} + 36 = (\sqrt{c})^2 + 2 \cdot \sqrt{c} \cdot 6 + 6^2 = (\sqrt{c} + 6)^2 $.

Числитель второй дроби: $ 3\sqrt{c} + 18 = 3(\sqrt{c} + 6) $.

Знаменатель второй дроби: $ 2\sqrt{c} + 10 = 2(\sqrt{c} + 5) $.

2. Подставим разложенные выражения и выполним умножение:

$ \frac{(\sqrt{c} - 5)(\sqrt{c} + 5)}{(\sqrt{c} + 6)^2} \cdot \frac{3(\sqrt{c} + 6)}{2(\sqrt{c} + 5)} $

3. Сократим общие множители $ (\sqrt{c} + 5) $ и $ (\sqrt{c} + 6) $:

$ \frac{(\sqrt{c} - 5)\cancel{(\sqrt{c} + 5)}}{(\sqrt{c} + 6)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(\sqrt{c} + 6)}}{2\cancel{(\sqrt{c} + 5)}} = \frac{3(\sqrt{c} - 5)}{2(\sqrt{c} + 6)} $

Ответ: $ \frac{3(\sqrt{c} - 5)}{2(\sqrt{c} + 6)} $

г)

Упростим выражение $ \frac{5\sqrt{m} - 10\sqrt{n}}{\sqrt{m} - 5} : \frac{4n - 4\sqrt{mn} + m}{15 - 3\sqrt{m}} $.

1. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$ \frac{5\sqrt{m} - 10\sqrt{n}}{\sqrt{m} - 5} \cdot \frac{15 - 3\sqrt{m}}{4n - 4\sqrt{mn} + m} $

2. Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $ 5\sqrt{m} - 10\sqrt{n} = 5(\sqrt{m} - 2\sqrt{n}) $.

Знаменатель первой дроби: $ \sqrt{m} - 5 $.

Числитель второй дроби: $ 15 - 3\sqrt{m} = 3(5 - \sqrt{m}) = -3(\sqrt{m} - 5) $.

Знаменатель второй дроби: $ 4n - 4\sqrt{mn} + m = m - 4\sqrt{mn} + 4n = (\sqrt{m})^2 - 2 \cdot \sqrt{m} \cdot 2\sqrt{n} + (2\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - 2\sqrt{n})^2 $.

3. Подставим разложенные выражения в наше произведение:

$ \frac{5(\sqrt{m} - 2\sqrt{n})}{\sqrt{m} - 5} \cdot \frac{-3(\sqrt{m} - 5)}{(\sqrt{m} - 2\sqrt{n})^2} $

4. Сократим общие множители $ (\sqrt{m} - 5) $ и $ (\sqrt{m} - 2\sqrt{n}) $:

$ \frac{5\cancel{(\sqrt{m} - 2\sqrt{n})}}{\cancel{\sqrt{m} - 5}} \cdot \frac{-3\cancel{(\sqrt{m} - 5)}}{(\sqrt{m} - 2\sqrt{n})^{\cancel{2}}} = \frac{5 \cdot (-3)}{\sqrt{m} - 2\sqrt{n}} = -\frac{15}{\sqrt{m} - 2\sqrt{n}} $

Ответ: $ -\frac{15}{\sqrt{m} - 2\sqrt{n}} $