Страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16.26 a) $\sqrt{9a} + \sqrt{25a} - \sqrt{36a}$;

б) $5\sqrt{3x} + \frac{1}{2}\sqrt{12x} - 10\sqrt{0,03x}$;

в) $\sqrt{5b} - 2\sqrt{20b} - 3\sqrt{80b}$;

г) $3\sqrt{2y} - \sqrt{8y} + 0,1\sqrt{200y}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{9a} + \sqrt{25a} - \sqrt{36a}$, необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Данное преобразование возможно при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $a \ge 0$.

1. Упростим каждый член выражения по отдельности, используя свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$:

$\sqrt{9a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = 3\sqrt{a}$

$\sqrt{25a} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a} = 5\sqrt{a}$

$\sqrt{36a} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a} = 6\sqrt{a}$

2. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$3\sqrt{a} + 5\sqrt{a} - 6\sqrt{a} = (3 + 5 - 6)\sqrt{a} = (8 - 6)\sqrt{a} = 2\sqrt{a}$

Ответ: $2\sqrt{a}$

б) Упростим выражение $5\sqrt{3x} + \frac{1}{2}\sqrt{12x} - 10\sqrt{0,03x}$. Для этого приведем все слагаемые к общему радикалу $\sqrt{3x}$. Преобразования возможны при $x \ge 0$.

1. Первое слагаемое $5\sqrt{3x}$ уже имеет нужный вид.

2. Преобразуем второе слагаемое:

$\frac{1}{2}\sqrt{12x} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 3x} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3x} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3x} = \sqrt{3x}$

3. Преобразуем третье слагаемое:

$-10\sqrt{0,03x} = -10\sqrt{0,01 \cdot 3x} = -10 \cdot \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{3x} = -10 \cdot 0,1 \cdot \sqrt{3x} = -1\sqrt{3x} = -\sqrt{3x}$

4. Сложим полученные выражения:

$5\sqrt{3x} + \sqrt{3x} - \sqrt{3x} = 5\sqrt{3x}$

Ответ: $5\sqrt{3x}$

в) Упростим выражение $\sqrt{5b} - 2\sqrt{20b} - 3\sqrt{80b}$. Приведем все слагаемые к общему радикалу $\sqrt{5b}$. Преобразования возможны при $b \ge 0$.

1. Первое слагаемое $\sqrt{5b}$ уже имеет нужный вид.

2. Преобразуем второе слагаемое:

$-2\sqrt{20b} = -2\sqrt{4 \cdot 5b} = -2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5b} = -2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5b} = -4\sqrt{5b}$

3. Преобразуем третье слагаемое:

$-3\sqrt{80b} = -3\sqrt{16 \cdot 5b} = -3 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5b} = -3 \cdot 4 \cdot \sqrt{5b} = -12\sqrt{5b}$

4. Сложим полученные выражения:

$\sqrt{5b} - 4\sqrt{5b} - 12\sqrt{5b} = (1 - 4 - 12)\sqrt{5b} = -15\sqrt{5b}$

Ответ: $-15\sqrt{5b}$

г) Упростим выражение $3\sqrt{2y} - \sqrt{8y} + 0,1\sqrt{200y}$. Приведем все слагаемые к общему радикалу $\sqrt{2y}$. Преобразования возможны при $y \ge 0$.

1. Первое слагаемое $3\sqrt{2y}$ уже имеет нужный вид.

2. Преобразуем второе слагаемое:

$-\sqrt{8y} = -\sqrt{4 \cdot 2y} = -\sqrt{4} \cdot \sqrt{2y} = -2\sqrt{2y}$

3. Преобразуем третье слагаемое:

$0,1\sqrt{200y} = 0,1\sqrt{100 \cdot 2y} = 0,1 \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{2y} = 0,1 \cdot 10 \cdot \sqrt{2y} = \sqrt{2y}$

4. Сложим полученные выражения:

$3\sqrt{2y} - 2\sqrt{2y} + \sqrt{2y} = (3 - 2 + 1)\sqrt{2y} = 2\sqrt{2y}$

Ответ: $2\sqrt{2y}$

16.27 a) $\sqrt{a^3b} + \frac{2}{3a}\sqrt{a^5b}$;

б) $\sqrt{m^5} + 4m\sqrt{m^3} - m^2\sqrt{m}$;

в) $2a\sqrt{a^7b} - \sqrt{a^9b}$;

г) $\sqrt{81d^3} - 5d\sqrt{d} + \frac{3}{d}\sqrt{4d^5}$.

а) $\sqrt{a^3b} + \frac{2}{3a}\sqrt{a^5b}$

Для упрощения данного выражения необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Будем считать, что переменные удовлетворяют области допустимых значений ($a > 0, b \ge 0$).

1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{a^3b}$. Представим $a^3$ как $a^2 \cdot a$:

$\sqrt{a^3b} = \sqrt{a^2 \cdot ab} = a\sqrt{ab}$.

2. Упростим второе слагаемое $\frac{2}{3a}\sqrt{a^5b}$. Представим $a^5$ как $a^4 \cdot a$:

$\frac{2}{3a}\sqrt{a^5b} = \frac{2}{3a}\sqrt{a^4 \cdot ab} = \frac{2}{3a} \cdot a^2\sqrt{ab}$.

Сократим дробь $\frac{2a^2}{3a}$ на $a$:

$\frac{2a}{3}\sqrt{ab}$.

3. Теперь сложим полученные выражения. Они являются подобными слагаемыми, так как имеют одинаковую часть $\sqrt{ab}$.

$a\sqrt{ab} + \frac{2a}{3}\sqrt{ab} = (a + \frac{2a}{3})\sqrt{ab}$.

4. Сложим коэффициенты в скобках, приведя их к общему знаменателю:

$(\frac{3a}{3} + \frac{2a}{3})\sqrt{ab} = \frac{5a}{3}\sqrt{ab}$.

Ответ: $\frac{5a}{3}\sqrt{ab}$.

б) $\sqrt{m^5} + 4m\sqrt{m^3} - m^2\sqrt{m}$

Для упрощения выражения вынесем множители из-под знака корня в первом и втором слагаемых. Предполагаем, что $m \ge 0$.

1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{m^5}$:

$\sqrt{m^5} = \sqrt{m^4 \cdot m} = m^2\sqrt{m}$.

2. Упростим второе слагаемое $4m\sqrt{m^3}$:

$4m\sqrt{m^3} = 4m\sqrt{m^2 \cdot m} = 4m \cdot m\sqrt{m} = 4m^2\sqrt{m}$.

3. Третье слагаемое $m^2\sqrt{m}$ уже в упрощенном виде.

4. Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$m^2\sqrt{m} + 4m^2\sqrt{m} - m^2\sqrt{m}$.

5. Все слагаемые являются подобными. Сложим и вычтем их коэффициенты:

$(1 + 4 - 1)m^2\sqrt{m} = 4m^2\sqrt{m}$.

Ответ: $4m^2\sqrt{m}$.

в) $2a\sqrt{a^7b} - \sqrt{a^9b}$

Упростим выражение, вынося множители из-под знака корня. Предполагаем, что $a \ge 0, b \ge 0$.

1. Упростим первый член $2a\sqrt{a^7b}$:

$2a\sqrt{a^7b} = 2a\sqrt{a^6 \cdot ab} = 2a \cdot a^3\sqrt{ab} = 2a^4\sqrt{ab}$.

2. Упростим второй член $\sqrt{a^9b}$:

$\sqrt{a^9b} = \sqrt{a^8 \cdot ab} = a^4\sqrt{ab}$.

3. Подставим упрощенные члены в исходное выражение и выполним вычитание:

$2a^4\sqrt{ab} - a^4\sqrt{ab}$.

4. Сгруппируем подобные слагаемые:

$(2 - 1)a^4\sqrt{ab} = 1 \cdot a^4\sqrt{ab} = a^4\sqrt{ab}$.

Ответ: $a^4\sqrt{ab}$.

г) $\sqrt{81d^3} - 5d\sqrt{d} + \frac{3}{d}\sqrt{4d^5}$

Для упрощения выражения необходимо вынести множители из-под знака корня в первом и третьем слагаемых. Область допустимых значений: $d > 0$.

1. Упростим первый член $\sqrt{81d^3}$:

$\sqrt{81d^3} = \sqrt{81 \cdot d^2 \cdot d} = 9d\sqrt{d}$.

2. Второй член $5d\sqrt{d}$ уже в упрощенном виде.

3. Упростим третий член $\frac{3}{d}\sqrt{4d^5}$:

$\frac{3}{d}\sqrt{4d^5} = \frac{3}{d}\sqrt{4 \cdot d^4 \cdot d} = \frac{3}{d} \cdot 2d^2\sqrt{d}$.

Сократим дробь:

$\frac{3 \cdot 2d^2}{d}\sqrt{d} = 6d\sqrt{d}$.

4. Подставим все упрощенные члены в исходное выражение:

$9d\sqrt{d} - 5d\sqrt{d} + 6d\sqrt{d}$.

5. Все члены являются подобными. Выполним действия с их коэффициентами:

$(9 - 5 + 6)d\sqrt{d} = (4 + 6)d\sqrt{d} = 10d\sqrt{d}$.

Ответ: $10d\sqrt{d}$.

16.28 а) $(6\sqrt{12} - \sqrt{75}) \cdot \sqrt{3};$

б) $(3\sqrt{5} - 2\sqrt{20}) \cdot \sqrt{5};$

в) $(\sqrt{32} + 2\sqrt{18}) \cdot \sqrt{2};$

г) $(2\sqrt{50} - 5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}.$

а)

Для решения выражения $(6\sqrt{12} - \sqrt{75}) \cdot \sqrt{3}$, сначала упростим квадратные корни в скобках, вынеся множитель из-под знака корня.

1. Упростим $\sqrt{12}$ и $\sqrt{75}$:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(6 \cdot 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = (12\sqrt{3} - 5\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

3. Выполним вычитание в скобках:

$(12 - 5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

4. Теперь умножим полученный результат на $\sqrt{3}$:

$7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 7 \cdot 3 = 21$

Ответ: 21

б)

Для решения выражения $(3\sqrt{5} - 2\sqrt{20}) \cdot \sqrt{5}$, сначала упростим корень $\sqrt{20}$.

1. Упростим $\sqrt{20}$:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

2. Подставим упрощенное значение в выражение:

$(3\sqrt{5} - 2 \cdot 2\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} = (3\sqrt{5} - 4\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

3. Выполним вычитание в скобках:

$(3 - 4)\sqrt{5} = -1\sqrt{5} = -\sqrt{5}$

4. Умножим результат на $\sqrt{5}$:

$-\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = -5$

Ответ: -5

в)

Для решения выражения $(\sqrt{32} + 2\sqrt{18}) \cdot \sqrt{2}$, сначала упростим корни в скобках.

1. Упростим $\sqrt{32}$ и $\sqrt{18}$:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

2. Подставим упрощенные значения в выражение:

$(4\sqrt{2} + 2 \cdot 3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = (4\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

3. Выполним сложение в скобках:

$(4 + 6)\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

4. Умножим результат на $\sqrt{2}$:

$10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 2 = 20$

Ответ: 20

г)

Для решения выражения $(2\sqrt{50} - 5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$, сначала упростим корень $\sqrt{50}$.

1. Упростим $\sqrt{50}$:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

2. Подставим упрощенное значение в выражение:

$(2 \cdot 5\sqrt{2} - 5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = (10\sqrt{2} - 5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

3. Выполним вычитание в скобках:

$(10 - 5)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

4. Умножим результат на $\sqrt{2}$:

$5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10$

Ответ: 10

16.29 a) $\sqrt{x}(\sqrt{a}-\sqrt{x});$

б) $\sqrt{mn}(\sqrt{m}+\sqrt{n});$

в) $(\sqrt{c}+\sqrt{d})\cdot \sqrt{c};$

г) $(\sqrt{p}-\sqrt{q})\cdot \sqrt{pq}.$

а) Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{x}(\sqrt{a} - \sqrt{x})$, нужно раскрыть скобки, умножив $\sqrt{x}$ на каждый член в скобках. Это делается на основе распределительного свойства умножения.
$\sqrt{x}(\sqrt{a} - \sqrt{x}) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$
Теперь используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$ и определение квадратного корня $\sqrt{m} \cdot \sqrt{m} = m$.
$\sqrt{x \cdot a} - x = \sqrt{ax} - x$
Предполагается, что переменные принимают допустимые значения ($x \ge 0, a \ge 0$).
Ответ: $\sqrt{ax} - x$.

б) Упростим выражение $\sqrt{mn}(\sqrt{m} + \sqrt{n})$, используя распределительное свойство умножения.
$\sqrt{mn}(\sqrt{m} + \sqrt{n}) = \sqrt{mn} \cdot \sqrt{m} + \sqrt{mn} \cdot \sqrt{n}$
Применим свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$\sqrt{mn \cdot m} + \sqrt{mn \cdot n} = \sqrt{m^2n} + \sqrt{mn^2}$
Теперь вынесем множители из-под знака корня. Так как по определению корня $m, n \ge 0$, то $\sqrt{m^2} = m$ и $\sqrt{n^2} = n$.
$\sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n} + \sqrt{m} \cdot \sqrt{n^2} = m\sqrt{n} + n\sqrt{m}$
Ответ: $m\sqrt{n} + n\sqrt{m}$.

в) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{c} + \sqrt{d}) \cdot \sqrt{c}$, раскроем скобки.
$(\sqrt{c} + \sqrt{d}) \cdot \sqrt{c} = \sqrt{c} \cdot \sqrt{c} + \sqrt{d} \cdot \sqrt{c}$
Используем свойства $\sqrt{m} \cdot \sqrt{m} = m$ и $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$.
$c + \sqrt{dc} = c + \sqrt{cd}$
Предполагается, что $c \ge 0, d \ge 0$.
Ответ: $c + \sqrt{cd}$.

г) Для упрощения выражения $(\sqrt{p} - \sqrt{q}) \cdot \sqrt{pq}$ раскроем скобки.
$(\sqrt{p} - \sqrt{q}) \cdot \sqrt{pq} = \sqrt{p} \cdot \sqrt{pq} - \sqrt{q} \cdot \sqrt{pq}$
Применим свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$\sqrt{p \cdot pq} - \sqrt{q \cdot pq} = \sqrt{p^2q} - \sqrt{pq^2}$
Вынесем множители из-под знака корня, учитывая, что $p, q \ge 0$.
$\sqrt{p^2}\sqrt{q} - \sqrt{p}\sqrt{q^2} = p\sqrt{q} - q\sqrt{p}$
Ответ: $p\sqrt{q} - q\sqrt{p}$.

16.30 a) $(\sqrt{50} + \sqrt{6}) : \sqrt{2}$;

б) $(12\sqrt{45} - 6\sqrt{20}) : 3\sqrt{5}$;

в) $(\sqrt{12} - \sqrt{15}) : \sqrt{3}$;

г) $(4\sqrt{75} + 2\sqrt{12}) : 2\sqrt{3}$.

а) Чтобы решить выражение $(\sqrt{50} + \sqrt{6}) : \sqrt{2}$, воспользуемся распределительным свойством деления относительно сложения. Для этого разделим каждый член в скобках на $\sqrt{2}$:
$(\sqrt{50} + \sqrt{6}) : \sqrt{2} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$
Применим свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\sqrt{\frac{50}{2}} + \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{25} + \sqrt{3}$
Поскольку $\sqrt{25} = 5$, получаем конечный результат.

Ответ: $5 + \sqrt{3}$.

б) Для решения выражения $(12\sqrt{45} - 6\sqrt{20}) : 3\sqrt{5}$, сначала упростим корни в скобках, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
Подставим эти значения обратно в выражение:
$(12 \cdot 3\sqrt{5} - 6 \cdot 2\sqrt{5}) : 3\sqrt{5} = (36\sqrt{5} - 12\sqrt{5}) : 3\sqrt{5}$
Выполним вычитание в скобках:
$(36 - 12)\sqrt{5} : 3\sqrt{5} = 24\sqrt{5} : 3\sqrt{5}$
Теперь выполним деление:
$\frac{24\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \frac{24}{3} = 8$

Ответ: $8$.

в) Чтобы решить выражение $(\sqrt{12} - \sqrt{15}) : \sqrt{3}$, применим распределительное свойство деления относительно вычитания. Разделим каждый член в скобках на $\sqrt{3}$:
$(\sqrt{12} - \sqrt{15}) : \sqrt{3} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$
Используем свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\sqrt{\frac{12}{3}} - \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{5}$
Так как $\sqrt{4} = 2$, получаем конечный результат.

Ответ: $2 - \sqrt{5}$.

г) Для решения выражения $(4\sqrt{75} + 2\sqrt{12}) : 2\sqrt{3}$, сначала упростим корни в скобках:
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$(4 \cdot 5\sqrt{3} + 2 \cdot 2\sqrt{3}) : 2\sqrt{3} = (20\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) : 2\sqrt{3}$
Выполним сложение в скобках:
$(20 + 4)\sqrt{3} : 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} : 2\sqrt{3}$
Теперь выполним деление:
$\frac{24\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{24}{2} = 12$

Ответ: $12$.

a) $(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)$;

$ (2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1) $

б) $(5 + \sqrt{15})(\sqrt{3} - \sqrt{5})$;

$ (5 + \sqrt{15})(\sqrt{3} - \sqrt{5}) $

в) $(3 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})$;

$ (3 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) $

г) $(3 + \sqrt{21})(\sqrt{3} - \sqrt{7}).$

$ (3 + \sqrt{21})(\sqrt{3} - \sqrt{7}) $

а) Чтобы раскрыть скобки, воспользуемся правилом умножения многочленов, по которому каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
$(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1) = 2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot (-1) + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot (-1)$
Выполним умножение и упростим выражение:
$2\sqrt{3} - 2 + (\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 2 + 3 - \sqrt{3}$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (-2 + 3) = \sqrt{3} + 1$
Ответ: $1 + \sqrt{3}$.

б) Для решения этого примера можно сначала вынести общий множитель из первой скобки. Заметим, что $5 = (\sqrt{5})^2$ и $\sqrt{15} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$.
$5 + \sqrt{15} = (\sqrt{5})^2 + \sqrt{5}\sqrt{3} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt{3})$
Теперь исходное выражение принимает вид:
$\sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{5})$
Поменяем множители местами и воспользуемся тем, что от перестановки слагаемых сумма не меняется $(\sqrt{5} + \sqrt{3} = \sqrt{3} + \sqrt{5})$:
$\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5})$
Произведение двух последних скобок представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{5}$.
$\sqrt{5}((\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2) = \sqrt{5}(3 - 5) = \sqrt{5}(-2) = -2\sqrt{5}$
Ответ: $-2\sqrt{5}$.

в) Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:
$(3 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 5 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$
Выполним умножение:
$15 + 3\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 = 15 + 3\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - 5$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(15 - 5) + (3\sqrt{5} - 5\sqrt{5}) = 10 - 2\sqrt{5}$
Ответ: $10 - 2\sqrt{5}$.

г) Преобразуем первую скобку, вынеся за нее общий множитель. Заметим, что $3 = (\sqrt{3})^2$ и $\sqrt{21} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$.
$3 + \sqrt{21} = (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}\sqrt{7} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{7})$
Подставим полученное выражение в исходное:
$\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{7})(\sqrt{3} - \sqrt{7})$
Произведение двух последних скобок является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{7}$.
$\sqrt{3}((\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2) = \sqrt{3}(3 - 7) = \sqrt{3}(-4) = -4\sqrt{3}$
Ответ: $-4\sqrt{3}$.

16.32 a) $(a + \sqrt{b})(2a - 3\sqrt{b});$

б) $(2\sqrt{a} - 5\sqrt{3b})(2\sqrt{a} + \sqrt{3b});$

в) $(\sqrt{x} - 2y)(2\sqrt{x} + y);$

г) $(\sqrt{m} - 2\sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}).$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(a + \sqrt{b})(2a - 3\sqrt{b})$, нужно каждый член первой скобки умножить на каждый член второй скобки:

$(a + \sqrt{b})(2a - 3\sqrt{b}) = a \cdot 2a + a \cdot (-3\sqrt{b}) + \sqrt{b} \cdot 2a + \sqrt{b} \cdot (-3\sqrt{b})$

Выполним умножение для каждого члена:

$= 2a^2 - 3a\sqrt{b} + 2a\sqrt{b} - 3(\sqrt{b})^2$

Упростим выражение, зная, что $(\sqrt{b})^2 = b$:

$= 2a^2 - 3a\sqrt{b} + 2a\sqrt{b} - 3b$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $a\sqrt{b}$):

$= 2a^2 + (-3 + 2)a\sqrt{b} - 3b = 2a^2 - a\sqrt{b} - 3b$

Ответ: $2a^2 - a\sqrt{b} - 3b$

б) Раскроем скобки в выражении $(2\sqrt{a} - 5\sqrt{3b})(2\sqrt{a} + \sqrt{3b})$ по тому же правилу:

$(2\sqrt{a} - 5\sqrt{3b})(2\sqrt{a} + \sqrt{3b}) = 2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{a} + 2\sqrt{a} \cdot \sqrt{3b} - 5\sqrt{3b} \cdot 2\sqrt{a} - 5\sqrt{3b} \cdot \sqrt{3b}$

Выполним умножения:

$= 4(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a \cdot 3b} - 10\sqrt{3b \cdot a} - 5(\sqrt{3b})^2$

Упростим, используя свойства корней $(\sqrt{x})^2 = x$ и $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$:

$= 4a + 2\sqrt{3ab} - 10\sqrt{3ab} - 5(3b)$

$= 4a + 2\sqrt{3ab} - 10\sqrt{3ab} - 15b$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $\sqrt{3ab}$):

$= 4a + (2-10)\sqrt{3ab} - 15b = 4a - 8\sqrt{3ab} - 15b$

Ответ: $4a - 8\sqrt{3ab} - 15b$

в) Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{x} - 2y)(2\sqrt{x} + y)$:

$(\sqrt{x} - 2y)(2\sqrt{x} + y) = \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot y - 2y \cdot 2\sqrt{x} - 2y \cdot y$

Выполним умножения:

$= 2(\sqrt{x})^2 + y\sqrt{x} - 4y\sqrt{x} - 2y^2$

Упростим, используя $(\sqrt{x})^2 = x$:

$= 2x + y\sqrt{x} - 4y\sqrt{x} - 2y^2$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $y\sqrt{x}$):

$= 2x + (1-4)y\sqrt{x} - 2y^2 = 2x - 3y\sqrt{x} - 2y^2$

Ответ: $2x - 3y\sqrt{x} - 2y^2$

г) Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{m} - 2\sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})$:

$(\sqrt{m} - 2\sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = \sqrt{m} \cdot \sqrt{m} + \sqrt{m} \cdot (-\sqrt{n}) - 2\sqrt{n} \cdot \sqrt{m} - 2\sqrt{n} \cdot (-\sqrt{n})$

Выполним умножения:

$= (\sqrt{m})^2 - \sqrt{mn} - 2\sqrt{mn} + 2(\sqrt{n})^2$

Упростим, используя $(\sqrt{x})^2 = x$:

$= m - \sqrt{mn} - 2\sqrt{mn} + 2n$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $\sqrt{mn}$):

$= m + (-1-2)\sqrt{mn} + 2n = m - 3\sqrt{mn} + 2n$

Ответ: $m - 3\sqrt{mn} + 2n$

Выполните действия, используя формулы сокращённого умноже-ния:

16.33 a) $ (\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) $;

б) $ (7 - 5\sqrt{2})(7 + 5\sqrt{2}) $;

в) $ (\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) $;

г) $ (8 + 3\sqrt{7})(8 - 3\sqrt{7}) $.

а) Для упрощения произведения $(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})$ воспользуемся формулой сокращённого умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{5}$. Подставляем значения в формулу:
$(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$.
Ответ: 2

б) Аналогично, для выражения $(7 - 5\sqrt{2})(7 + 5\sqrt{2})$ применим ту же формулу разности квадратов. Здесь $a = 7$ и $b = 5\sqrt{2}$. Выполним вычисления:
$(7 - 5\sqrt{2})(7 + 5\sqrt{2}) = 7^2 - (5\sqrt{2})^2 = 49 - (5^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = 49 - (25 \cdot 2) = 49 - 50 = -1$.
Ответ: -1

в) В случае произведения $(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ также используется формула разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = \sqrt{6}$ и $b = \sqrt{2}$. Применяем формулу:
$(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4$.
Ответ: 4

г) И, наконец, для выражения $(8 + 3\sqrt{7})(8 - 3\sqrt{7})$ снова применяем формулу разности квадратов. В этом примере $a = 8$ и $b = 3\sqrt{7}$. Производим расчёт:
$(8 + 3\sqrt{7})(8 - 3\sqrt{7}) = 8^2 - (3\sqrt{7})^2 = 64 - (3^2 \cdot (\sqrt{7})^2) = 64 - (9 \cdot 7) = 64 - 63 = 1$.
Ответ: 1

16.34 а) $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b});$

б) $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y});$

в) $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1);$

г) $(\sqrt{3p} - \sqrt{q})(\sqrt{3p} + \sqrt{q}).$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.
В данном выражении $x=a$ и $y=\sqrt{b}$.
Подставим наши значения в формулу:
$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$.
Ответ: $a^2 - b$.

б) Этот пример также решается с помощью формулы разности квадратов: $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.
Здесь $x=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{y}$.
Применим формулу:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$.
Ответ: $x - y$.

в) Снова используем формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.
В этом случае $x=\sqrt{x}$ и $y=1$.
Подставляем значения в формулу:
$(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1$.
Ответ: $x - 1$.

г) Для решения этого примера применим ту же формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.
Здесь $x=\sqrt{3p}$ и $y=\sqrt{q}$.
Применим формулу к нашему выражению:
$(\sqrt{3p} - \sqrt{q})(\sqrt{3p} + \sqrt{q}) = (\sqrt{3p})^2 - (\sqrt{q})^2 = 3p - q$.
Ответ: $3p - q$.

16.35 а) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2;$

б) $(\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2;$

в) $(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2;$

г) $(\sqrt{t} + 2\sqrt{x})^2.$

а)

Чтобы раскрыть скобки в выражении $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$, применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$.

В нашем случае $X = \sqrt{a}$ и $Y = \sqrt{b}$.

Подставляем в формулу: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2$.

Далее, упрощаем каждый член выражения. Используя свойство квадратного корня $(\sqrt{k})^2 = k$ (для $k \ge 0$), получаем $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$. Произведение корней равно $2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = 2\sqrt{ab}$.

Собираем все члены вместе: $a + 2\sqrt{ab} + b$.

Ответ: $a + b + 2\sqrt{ab}$.

б)

Для выражения $(\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2$ используем формулу квадрата разности: $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$.

Здесь $X = \sqrt{x}$ и $Y = 3\sqrt{y}$.

Подставляем в формулу: $(\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 3\sqrt{y} + (3\sqrt{y})^2$.

Упростим каждый член: $(\sqrt{x})^2 = x$; $2 \cdot \sqrt{x} \cdot 3\sqrt{y} = 6\sqrt{xy}$; $(3\sqrt{y})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{y})^2 = 9y$.

Результат: $x - 6\sqrt{xy} + 9y$.

Ответ: $x + 9y - 6\sqrt{xy}$.

в)

Выражение $(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2$ раскрывается по формуле квадрата разности $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$.

В данном случае $X = \sqrt{m}$ и $Y = \sqrt{n}$.

Подставляем: $(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 = (\sqrt{m})^2 - 2 \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} + (\sqrt{n})^2$.

Упрощаем, используя свойство $(\sqrt{k})^2 = k$: $(\sqrt{m})^2 = m$ и $(\sqrt{n})^2 = n$. Удвоенное произведение равно $2\sqrt{mn}$.

Результат: $m - 2\sqrt{mn} + n$.

Ответ: $m + n - 2\sqrt{mn}$.

г)

Для выражения $(\sqrt{t} + 2\sqrt{x})^2$ применим формулу квадрата суммы: $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$.

Здесь $X = \sqrt{t}$ и $Y = 2\sqrt{x}$.

Подставляем в формулу: $(\sqrt{t} + 2\sqrt{x})^2 = (\sqrt{t})^2 + 2 \cdot \sqrt{t} \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2$.

Упростим каждый член: $(\sqrt{t})^2 = t$; $2 \cdot \sqrt{t} \cdot 2\sqrt{x} = 4\sqrt{tx}$; $(2\sqrt{x})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{x})^2 = 4x$.

Результат: $t + 4\sqrt{tx} + 4x$.

Ответ: $t + 4x + 4\sqrt{tx}$.