Страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

20.13 Найдите точки пересечения графиков функций:

а) $y = \frac{2}{x}$ и $y = 2x$;

б) $y = -\frac{5}{x}$ и $y = -5$;

в) $y = -\frac{3}{x}$ и $y = -3x$;

г) $y = \frac{4}{x}$ и $y = 1$.

Чтобы найти точки пересечения графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение относительно $x$. Найденные значения $x$ (абсциссы точек пересечения) затем подставляются в любую из исходных функций для нахождения соответствующих значений $y$ (ординат точек пересечения).

а)

Приравняем правые части функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = 2x$:
$\frac{2}{x} = 2x$
Поскольку $x$ находится в знаменателе, область допустимых значений $x \ne 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:
$2 = 2x^2$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = 1$
Отсюда находим два значения для $x$:
$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в уравнение $y = 2x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2 \cdot 1 = 2$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.
Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(1; 2)$ и $(-1; -2)$.

б)

Приравняем правые части функций $y = -\frac{5}{x}$ и $y = -5$:
$-\frac{5}{x} = -5$
При $x \ne 0$ умножим обе части на $-1$:
$\frac{5}{x} = 5$
Умножим обе части на $x$:
$5 = 5x$
Разделим обе части на 5:
$x = 1$
Значение $y$ уже дано во втором уравнении: $y = -5$.
Таким образом, точка пересечения одна.

Ответ: $(1; -5)$.

в)

Приравняем правые части функций $y = -\frac{3}{x}$ и $y = -3x$:
$-\frac{3}{x} = -3x$
При условии, что $x \ne 0$, разделим обе части на $-3$ (или умножим на $-1$):
$\frac{1}{x} = x$
Умножим обе части на $x$:
$1 = x^2$
Отсюда находим два значения для $x$:
$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = -3x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -3 \cdot 1 = -3$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -3 \cdot (-1) = 3$.
Мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(1; -3)$ и $(-1; 3)$.

г)

Приравняем правые части функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = 1$:
$\frac{4}{x} = 1$
При условии, что $x \ne 0$, умножим обе части на $x$:
$4 = x$
Итак, $x = 4$.
Значение $y$ уже дано во втором уравнении: $y = 1$.
Таким образом, точка пересечения одна.

Ответ: $(4; 1)$.

Решите графически уравнение:

20.14

а) $\frac{2}{x} = 2$;

б) $-\frac{4}{x} = 3 - x$;

в) $\frac{4}{x} = -1$;

г) $-\frac{2}{x} = 1 - x$.

а) $ \frac{2}{x} = 2 $

Для решения уравнения графическим методом необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{2}{x}$ и $y = 2$. Решением уравнения будет абсцисса (координата x) точки их пересечения.

1. График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Построим график по точкам, например: (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1).

2. График функции $y = 2$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку (0, 2) на оси ординат.

3. Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — (1, 2).

Абсцисса точки пересечения и есть корень уравнения.

Ответ: $x = 1$.

б) $ -\frac{4}{x} = 3 - x $

Для решения этого уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = -\frac{4}{x}$ и $y = 3 - x$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = -\frac{4}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=-4 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Построим график по точкам, например: (-1, 4), (-2, 2), (-4, 1), (1, -4), (2, -2), (4, -1).

2. График функции $y = 3 - x$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Например, если $x=0$, то $y=3$ (точка (0, 3)); если $x=3$, то $y=0$ (точка (3, 0)).

3. Построив графики, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Определим их координаты по графику: (-1, 4) и (4, -1).

Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 4$.

в) $ \frac{4}{x} = -1 $

Построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = -1$.

1. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях ($k=4 > 0$). Построим по точкам: (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2), (-4, -1).

2. График функции $y = -1$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0, -1).

3. Графики пересекаются в одной точке в III четверти. Координаты этой точки — (-4, -1).

Абсцисса точки пересечения является решением уравнения.

Ответ: $x = -4$.

г) $ -\frac{2}{x} = 1 - x $

Построим в одной системе координат графики функций $y = -\frac{2}{x}$ и $y = 1 - x$.

1. График функции $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях ($k=-2 < 0$). Построим по точкам: (-1, 2), (-2, 1), (1, -2), (2, -1).

2. График функции $y = 1 - x$ — это прямая. Найдем две точки для построения: если $x=0$, то $y=1$ (точка (0, 1)); если $x=1$, то $y=0$ (точка (1, 0)).

3. Построив графики, находим две точки пересечения. Их координаты: (-1, 2) и (2, -1).

Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

20.15 a) $\frac{2}{x} = -\frac{x}{2}$;

б) $\frac{1}{x} = |x|$;

в) $\frac{3}{x} = \frac{x}{3}$;

г) $-\frac{4}{x} = |x|$.

а) $\frac{2}{x} = -\frac{x}{2}$

Данное уравнение является пропорцией. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$, так как на ноль делить нельзя.

Воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):

$2 \cdot 2 = -x \cdot x$

$4 = -x^2$

Умножим обе части на -1:

$x^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

б) $\frac{1}{x} = |x|$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Правая часть уравнения, $|x|$, по определению модуля, всегда неотрицательна. Так как $x \neq 0$, то $|x| > 0$.

Это означает, что и левая часть уравнения должна быть положительной: $\frac{1}{x} > 0$. Это неравенство выполняется только при $x > 0$.

Поскольку мы установили, что $x$ должен быть положительным, мы можем раскрыть модуль: $|x| = x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{1}{x} = x$

Умножим обе части на $x$ (мы знаем, что $x \neq 0$):

$1 = x^2$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $x > 0$. Корень $x=1$ удовлетворяет этому условию, а корень $x=-1$ — нет. Таким образом, у уравнения только один корень.

Ответ: 1.

в) $\frac{3}{x} = \frac{x}{3}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Применим правило перекрестного умножения для пропорции:

$3 \cdot 3 = x \cdot x$

$9 = x^2$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: -3; 3.

г) $-\frac{4}{x} = |x|$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Правая часть уравнения, $|x|$, всегда неотрицательна, а так как $x \neq 0$, то $|x| > 0$.

Следовательно, левая часть уравнения также должна быть положительной: $-\frac{4}{x} > 0$.

Умножим неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{4}{x} < 0$

Это неравенство справедливо, когда знаменатель отрицателен, то есть $x < 0$.

Для отрицательных значений $x$ модуль раскрывается как $|x| = -x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$-\frac{4}{x} = -x$

Умножим обе части на -1:

$\frac{4}{x} = x$

Умножим обе части на $x$:

$4 = x^2$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Согласно нашему условию $x < 0$, корень $x=2$ не подходит. Подходит только корень $x=-2$.

Ответ: -2.

20.16 a) $ \frac{1}{x} = x^2 $;

б) $ \frac{8}{x} = \sqrt{x} $;

в) $ -\frac{2}{x} = 2x^2 $;

г) $ \frac{1}{x} = \sqrt{x} $.

а)

Дано уравнение: $\frac{1}{x} = x^2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$, так как на ноль делить нельзя.

Для решения умножим обе части уравнения на $x$:
$x \cdot \frac{1}{x} = x \cdot x^2$
$1 = x^3$

Чтобы найти $x$, необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt[3]{1}$
$x = 1$

Полученное значение $x=1$ входит в ОДЗ ($1 \neq 0$). Проверим, подставив его в исходное уравнение:
$\frac{1}{1} = 1^2$
$1 = 1$
Равенство верное.

Ответ: $x=1$.

б)

Дано уравнение: $\frac{8}{x} = \sqrt{x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями:
1. Знаменатель дроби не равен нулю: $x \neq 0$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Совмещая эти условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$ (мы можем это сделать, так как $x > 0$):
$x \cdot \frac{8}{x} = x \cdot \sqrt{x}$
Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:
$8 = x^1 \cdot x^{1/2}$

По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ складываем показатели:
$8 = x^{1 + 1/2}$
$8 = x^{3/2}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$:
$x = 8^{2/3}$
$x = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

Значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 0$). Проверим решение:
$\frac{8}{4} = \sqrt{4}$
$2 = 2$
Равенство верное.

Ответ: $x=4$.

в)

Дано уравнение: $-\frac{2}{x} = 2x^2$.
ОДЗ: $x \neq 0$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2:
$-\frac{1}{x} = x^2$

Теперь умножим обе части на $x$ (при условии $x \neq 0$):
$x \cdot (-\frac{1}{x}) = x \cdot x^2$
$-1 = x^3$

Извлечем кубический корень из обеих частей:
$x = \sqrt[3]{-1}$
$x = -1$

Значение $x=-1$ удовлетворяет ОДЗ ($-1 \neq 0$). Проверим:
$-\frac{2}{-1} = 2(-1)^2$
$2 = 2 \cdot 1$
$2 = 2$
Равенство верное.

Ответ: $x=-1$.

г)

Дано уравнение: $\frac{1}{x} = \sqrt{x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ), как и в пункте б), $x > 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$ (при $x > 0$):
$x \cdot \frac{1}{x} = x \cdot \sqrt{x}$
$1 = x \cdot x^{1/2}$
$1 = x^{3/2}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части в степень $\frac{2}{3}$:
$x = 1^{2/3}$
$x = 1$

Значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$). Проверим:
$\frac{1}{1} = \sqrt{1}$
$1 = 1$
Равенство верное.

Ответ: $x=1$.

Решите графически систему уравнений:

20.17 а)

б)

в)

г)

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{5}{x} \\ y = -5 \end{cases} $

Чтобы решить систему графически, построим графики каждой функции в одной системе координат.

1. График функции $y = \frac{5}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=5 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Для построения найдем несколько точек:

• при $x=1$, $y=5$;
• при $x=5$, $y=1$;
• при $x=-1$, $y=-5$;
• при $x=-5$, $y=-1$.

2. График функции $y = -5$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, -5)$ на оси ординат.

Построив оба графика, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Эта точка лежит на прямой $y=-5$ и на одной из ветвей гиперболы. Из графика видно, что абсцисса этой точки равна -1. Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-1, -5)$.

Проверим, подставив $y = -5$ в первое уравнение: $-5 = \frac{5}{x}$, откуда $x = \frac{5}{-5} = -1$.

Ответ: $(-1, -5)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ y = x + 3 \end{cases} $

1. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях ($k=4 > 0$). Найдем несколько точек для построения:

• при $x=1$, $y=4$;
• при $x=2$, $y=2$;
• при $x=4$, $y=1$;
• при $x=-1$, $y=-4$;
• при $x=-4$, $y=-1$.

2. График функции $y = x + 3$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например:

• при $x=0$, $y=3$;
• при $x=1$, $y=4$.

Построив графики в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Определяем их координаты по графику. Первая точка пересечения: $(1, 4)$. Вторая точка пересечения: $(-4, -1)$.

Для проверки приравняем правые части уравнений: $\frac{4}{x} = x + 3$. Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$): $4 = x^2 + 3x$, или $x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$. Соответствующие значения $y$: $y_1 = 1 + 3 = 4$ и $y_2 = -4 + 3 = -1$.

Ответ: $(1, 4), (-4, -1)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{3}{x} \\ y = -1 \end{cases} $

1. График функции $y = \frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях ($k=3 > 0$). Точки для построения:

• при $x=1$, $y=3$;
• при $x=3$, $y=1$;
• при $x=-1$, $y=-3$;
• при $x=-3$, $y=-1$.

2. График функции $y = -1$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -1)$.

После построения графиков видно, что они пересекаются в одной точке, которая находится в III четверти. Координаты этой точки можно определить по графику: $(-3, -1)$.

Проверка: подставляем $y=-1$ в уравнение гиперболы: $-1 = \frac{3}{x}$, откуда $x = -3$.

Ответ: $(-3, -1)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -\frac{3}{x} \\ y = x + 4 \end{cases} $

1. График функции $y = -\frac{3}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=-3 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Точки для построения:

• при $x=1$, $y=-3$;
• при $x=3$, $y=-1$;
• при $x=-1$, $y=3$;
• при $x=-3$, $y=1$.

2. График функции $y = x + 4$ — это прямая. Точки для построения:

• при $x=0$, $y=4$;
• при $x=-4$, $y=0$.

Построив графики в одной системе координат, мы увидим две точки пересечения. Координаты первой точки: $(-1, 3)$. Координаты второй точки: $(-3, 1)$.

Проверим алгебраически: $-\frac{3}{x} = x + 4$. Умножим на $x$ ($x \neq 0$): $-3 = x^2 + 4x$, или $x^2 + 4x + 3 = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$. Найдем соответствующие значения $y$: $y_1 = -1 + 4 = 3$ и $y_2 = -3 + 4 = 1$.

Ответ: $(-1, 3), (-3, 1)$.

20.18 а)

$y = -\frac{4}{x}$,

$y = 0,5x^2$;

б) $y = -\frac{1}{x}$,

$y = -\sqrt{x}$;

в) $y = \frac{8}{x}$,

$y = x^2$;

г) $y = \frac{2}{x}$,

$y = 2\sqrt{x}$.

a) Чтобы найти точки пересечения графиков функций, решим систему уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$:
$ \begin{cases} y = -\frac{4}{x} \\ y = 0,5x^2 \end{cases} $
$-\frac{4}{x} = 0,5x^2$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $2x$, чтобы избавиться от дроби и десятичного коэффициента:
$2x \cdot (-\frac{4}{x}) = 2x \cdot (0,5x^2)$
$-8 = x^3$
Отсюда находим $x$, извлекая кубический корень:
$x = \sqrt[3]{-8} = -2$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся вторым:
$y = 0,5 \cdot (-2)^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-2; 2)$.
Ответ: $(-2; 2)$.

б) Решим систему уравнений, приравняв правые части:
$ \begin{cases} y = -\frac{1}{x} \\ y = -\sqrt{x} \end{cases} $
$-\frac{1}{x} = -\sqrt{x}$
ОДЗ: из-за наличия $\sqrt{x}$, должно выполняться $x \ge 0$. Из-за знаменателя $x$, $x \neq 0$. Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.
Умножим обе части уравнения на -1:
$\frac{1}{x} = \sqrt{x}$
Поскольку в ОДЗ ($x > 0$) обе части уравнения положительны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\frac{1}{x})^2 = (\sqrt{x})^2$
$\frac{1}{x^2} = x$
Умножим обе части на $x^2$:
$1 = x^3$
$x = 1$
Найдем $y$, подставив $x = 1$ в любое из уравнений, например, во второе:
$y = -\sqrt{1} = -1$
Точка пересечения: $(1; -1)$.
Ответ: $(1; -1)$.

в) Решим систему уравнений, приравняв правые части:
$ \begin{cases} y = \frac{8}{x} \\ y = x^2 \end{cases} $
$\frac{8}{x} = x^2$
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части на $x$:
$8 = x^3$
$x = \sqrt[3]{8} = 2$
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=2$ в уравнение $y=x^2$:
$y = 2^2 = 4$
Точка пересечения: $(2; 4)$.
Ответ: $(2; 4)$.

г) Решим систему уравнений, приравняв правые части:
$ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 2\sqrt{x} \end{cases} $
$\frac{2}{x} = 2\sqrt{x}$
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$\frac{1}{x} = \sqrt{x}$
Поскольку в ОДЗ ($x > 0$) обе части уравнения положительны, возведем их в квадрат:
$(\frac{1}{x})^2 = (\sqrt{x})^2$
$\frac{1}{x^2} = x$
$1 = x^3$
$x = 1$
Найдем $y$, подставив $x=1$ в уравнение $y = 2\sqrt{x}$:
$y = 2\sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$
Точка пересечения: $(1; 2)$.
Ответ: $(1; 2)$.

20.19 Определите с помощью графического метода число решений системы уравнений:

а) $y = \frac{2}{x},$

$2x - 3y - 6 = 0;$

б) $y = \frac{3}{x},$

$x - 2y - 2 = 0;$

в) $y = -\frac{1}{x},$

$x - 5y = 0;$

г) $y = \frac{4}{x},$

$3x - 4y + 12 = 0.$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ 2x - 3y - 6 = 0 \end{cases}$

Для решения графическим методом необходимо построить графики обеих функций в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

1. График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола. Поскольку коэффициент $k=2$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$.

2. График уравнения $2x - 3y - 6 = 0$ — это прямая. Для построения приведем уравнение к виду $y = mx+b$ (уравнение прямой с угловым коэффициентом):

$3y = 2x - 6$

$y = \frac{2}{3}x - 2$

Это прямая с угловым коэффициентом $m = \frac{2}{3}$ и точкой пересечения с осью ординат $(0, -2)$. Найдем еще одну точку для построения, например, точку пересечения с осью абсцисс:

Если $y=0$, то $0 = \frac{2}{3}x - 2 \Rightarrow \frac{2}{3}x = 2 \Rightarrow x = 3$. Точка $(3, 0)$.

Прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(3, 0)$, пересекает I, III и IV четверти. Гипербола расположена в I и III четвертях. Следовательно, прямая пересекает обе ветви гиперболы. Таким образом, графики имеют две точки пересечения.

Это означает, что система уравнений имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\frac{3}{x} \\ x - 2y - 2 = 0 \end{cases}$

1. График функции $y = -\frac{3}{x}$ — это гипербола. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

2. График уравнения $x - 2y - 2 = 0$ — это прямая. Приведем уравнение к виду $y = mx+b$:

$2y = x - 2$

$y = \frac{1}{2}x - 1$

Найдем две точки для построения прямой:

• Если $x=0$, то $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Если $y=0$, то $0 = \frac{1}{2}x - 1 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 1 \Rightarrow x = 2$. Точка $(2, 0)$.

Прямая проходит через I, III и IV четверти. Гипербола расположена во II и IV четвертях. Пересечение возможно только в IV четверти. Однако, если мысленно или на эскизе построить графики, можно увидеть, что прямая не пересекает ветвь гиперболы. Чтобы убедиться в этом, можно подставить выражение для $y$ из одного уравнения в другое:

$x - 2(-\frac{3}{x}) - 2 = 0$

$x + \frac{6}{x} - 2 = 0$

Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$x^2 - 2x + 6 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики не пересекаются.

Ответ: 0 решений.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\frac{1}{x} \\ x - 5y = 0 \end{cases}$

1. График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

2. График уравнения $x - 5y = 0$ — это прямая. Выразим $y$ через $x$:

$5y = x$

$y = \frac{1}{5}x$

Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$, с положительным угловым коэффициентом. Она расположена в I и III четвертях.

Графики функций расположены в разных четвертях: гипербола во II и IV, а прямая в I и III. Они не пересекаются, так как не имеют общих областей, кроме начала координат, но в точке $(0,0)$ функция $y = -1/x$ не определена. Следовательно, точек пересечения нет.

Проверим это аналитически, приравняв выражения для $y$:

$-\frac{1}{x} = \frac{1}{5}x$

Умножим обе части на $5x$ (при $x \neq 0$):

$-5 = x^2$ или $x^2 = -5$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Ответ: 0 решений.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ 3x - 4y + 12 = 0 \end{cases}$

1. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола. Коэффициент $k=4 > 0$, поэтому ветви расположены в I и III координатных четвертях.

2. График уравнения $3x - 4y + 12 = 0$ — это прямая. Выразим $y$:

$4y = 3x + 12$

$y = \frac{3}{4}x + 3$

Найдем точки пересечения прямой с осями координат:

• Если $x=0$, то $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Если $y=0$, то $0 = \frac{3}{4}x + 3 \Rightarrow \frac{3}{4}x = -3 \Rightarrow x = -4$. Точка $(-4, 0)$.

Прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(-4, 0)$, пересекая I, II и III четверти. Гипербола расположена в I и III четвертях. Из расположения графиков следует, что прямая должна пересекать обе ветви гиперболы, одну в I четверти, другую в III. Таким образом, система имеет два решения.

Для подтверждения решим систему аналитически:

$\frac{4}{x} = \frac{3}{4}x + 3$

Умножим обе части на $4x$ (при $x \neq 0$):

$16 = 3x^2 + 12x$

$3x^2 + 12x - 16 = 0$

Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 144 + 192 = 336$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что подтверждает наличие двух точек пересечения графиков.

Ответ: 2 решения.