Страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

20.25 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -\frac{6}{x}$. Найдите:

а) $f(-1)$, $f(-3)$, $f(\frac{1}{2})$, $f(\frac{2}{3})$;

б) $f(3a)$, $f(6a)$, $f(-2x)$, $f(-\frac{1}{3}x)$;

в) $f(a - 2)$, $f(b + 4)$, $f(x - 1)$, $f(x + 2)$;

г) $f(x) - 4$, $f(2x) + 1$, $f(x - 1) + 2$, $2f(x + 3) - 1$.

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -\frac{6}{x}$. Для решения задачи необходимо подставить указанные значения и выражения в качестве аргумента функции $x$ и выполнить соответствующие алгебраические преобразования.

а)

Для нахождения значений функции подставляем числовые значения в формулу:
$f(-1) = -\frac{6}{-1} = 6$
$f(-3) = -\frac{6}{-3} = 2$
$f(\frac{1}{2}) = -\frac{6}{\frac{1}{2}} = -6 \cdot 2 = -12$
$f(\frac{2}{3}) = -\frac{6}{\frac{2}{3}} = -6 \cdot \frac{3}{2} = -9$
Ответ: $6; 2; -12; -9$.

б)

Подставляем в формулу функции выражения с переменными:
$f(3a) = -\frac{6}{3a} = -\frac{2}{a}$
$f(6a) = -\frac{6}{6a} = -\frac{1}{a}$
$f(-2x) = -\frac{6}{-2x} = \frac{3}{x}$
$f(-\frac{1}{3}x) = -\frac{6}{-\frac{1}{3}x} = \frac{6}{\frac{x}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{x} = \frac{18}{x}$
Ответ: $-\frac{2}{a}; -\frac{1}{a}; \frac{3}{x}; \frac{18}{x}$.

в)

Подставляем в формулу функции алгебраические выражения:
$f(a-2) = -\frac{6}{a-2}$
$f(b+4) = -\frac{6}{b+4}$
$f(x-1) = -\frac{6}{x-1}$
$f(x+2) = -\frac{6}{x+2}$
Ответ: $-\frac{6}{a-2}; -\frac{6}{b+4}; -\frac{6}{x-1}; -\frac{6}{x+2}$.

г)

Выполняем преобразования выражений, включающих функцию. Для удобства приводим результаты к общему знаменателю:
$f(x) - 4 = -\frac{6}{x} - 4 = \frac{-6 - 4x}{x} = -\frac{4x+6}{x}$
$f(2x) + 1 = -\frac{6}{2x} + 1 = -\frac{3}{x} + 1 = \frac{-3+x}{x} = \frac{x-3}{x}$
$f(x-1) + 2 = -\frac{6}{x-1} + 2 = \frac{-6+2(x-1)}{x-1} = \frac{-6+2x-2}{x-1} = \frac{2x-8}{x-1}$
$2f(x+3) - 1 = 2\left(-\frac{6}{x+3}\right) - 1 = -\frac{12}{x+3} - 1 = \frac{-12-(x+3)}{x+3} = \frac{-12-x-3}{x+3} = \frac{-x-15}{x+3} = -\frac{x+15}{x+3}$
Ответ: $-\frac{4x+6}{x}; \frac{x-3}{x}; \frac{2x-8}{x-1}; -\frac{x+15}{x+3}$.

20.26 Пусть $A$ — наибольшее значение функции $y = \frac{3}{x}$ на отрезке $[1; 3]$, а $B$ — наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-1; 1]$. Сравните $A$ и $B$. Сделайте графическую иллюстрацию.

1. Нахождение A

Рассмотрим функцию $y = \frac{3}{x}$ на отрезке $[1; 3]$. Эта функция является обратной пропорциональностью (график - гипербола). Поскольку коэффициент $k=3$ положителен, функция является монотонно убывающей на промежутке $(0; +\infty)$. Следовательно, на отрезке $[1; 3]$ функция также убывает.

Для убывающей функции ее наибольшее значение на отрезке достигается в левой границе отрезка, то есть при наименьшем значении $x$.

Наименьшее значение $x$ на отрезке $[1; 3]$ равно 1. Вычислим значение функции в этой точке:

$A = y(1) = \frac{3}{1} = 3$

Ответ: $A = 3$.

2. Нахождение B

Рассмотрим функцию $y = x^2$ на отрезке $[-1; 1]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$ и является точкой глобального минимума функции.

Поскольку абсцисса вершины $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в вершине.

Вычислим значение функции в этой точке:

$B = y(0) = 0^2 = 0$

Ответ: $B = 0$.

3. Сравнение A и B

Мы получили значения $A = 3$ и $B = 0$.

Сравнивая их, видим, что $3 > 0$.

Следовательно, $A > B$.

Ответ: $A > B$.

4. Графическая иллюстрация

Построим на одной координатной плоскости график функции $y = x^2$ на отрезке $[-1; 1]$ (синий цвет) и график функции $y = \frac{3}{x}$ на отрезке $[1; 3]$ (красный цвет). Отметим точки, соответствующие значениям A и B.

На графике видно, что точка A, соответствующая наибольшему значению функции $y=\frac{3}{x}$ на отрезке $[1; 3]$, имеет ординату 3. Точка B, соответствующая наименьшему значению функции $y=x^2$ на отрезке $[-1; 1]$, имеет ординату 0. Таким образом, $A > B$.

20.27 Пусть C — наименьшее значение функции $y = -\frac{1}{x}$ на луче $[1; +\infty)$,

а D — наибольшее значение функции $y = 2x^2$ на отрезке $[0; 1]$.

Сравните C и D. Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение наименьшего значения C

Задана функция $y = -\frac{1}{x}$ на луче $[1; +\infty)$.
Чтобы найти наименьшее значение функции на данном промежутке, исследуем ее на монотонность. Для этого найдем производную функции:
$y' = \left(-\frac{1}{x}\right)' = (-x^{-1})' = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
На луче $[1; +\infty)$ значение $x$ всегда положительно, следовательно, $x^2$ также всегда положителен. Таким образом, производная $y' = \frac{1}{x^2}$ всегда положительна ($y' > 0$) на заданном промежутке.
Если производная функции положительна на промежутке, то функция является возрастающей на этом промежутке. Для возрастающей функции наименьшее значение достигается в начальной точке промежутка.
В нашем случае начальная точка промежутка — это $x=1$.
Найдем значение функции в этой точке:
$C = y(1) = -\frac{1}{1} = -1$.

Ответ: $C = -1$.

Нахождение наибольшего значения D

Задана функция $y = 2x^2$ на отрезке $[0; 1]$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Исследуем ее на монотонность с помощью производной:
$y' = (2x^2)' = 4x$.
На отрезке $[0; 1]$ производная $y' = 4x$ неотрицательна ($y' \ge 0$), причем она равна нулю только в точке $x=0$. Это означает, что функция является возрастающей на всем отрезке $[0; 1]$.
Для возрастающей функции наибольшее значение на отрезке достигается в его конечной точке.
В нашем случае конечная точка отрезка — это $x=1$.
Найдем значение функции в этой точке:
$D = y(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$.

Ответ: $D = 2$.

Сравнение C и D

Мы получили значения $C = -1$ и $D = 2$.
Сравнивая эти числа, видим, что $-1 < 2$.
Следовательно, $C < D$.

Ответ: $C < D$.

Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y = 2x^2$ на отрезке $[0; 1]$ (показан красным цветом) и $y = -\frac{1}{x}$ на луче $[1; +\infty)$ (показан синим цветом).
Точка $A(1, -1)$ соответствует наименьшему значению $C$. Точка $B(1, 2)$ соответствует наибольшему значению $D$.

20.28 Пусть $P$ — наибольшее значение функции $y = \frac{78}{x}$ на отрезке $[1; 7]$, а $Q$ — наибольшее значение функции $y = -103x^2$ на отрезке $[-5; 4]$. Не выполняя построения, сравните $P$ и $Q$.

Пусть P — наибольшее значение функции $y = \frac{78}{x}$ на отрезке $[1; 7]$ Функция $y = \frac{78}{x}$ является обратной пропорциональностью. На отрезке $[1; 7]$ значения аргумента $x$ положительны. Для $x > 0$ функция $y = \frac{78}{x}$ является убывающей. Это означает, что чем больше значение $x$, тем меньше значение $y$. Следовательно, наибольшее значение функции на заданном отрезке достигается в его левой границе, то есть при наименьшем значении $x$, равном 1. Вычислим это значение: $P = y(1) = \frac{78}{1} = 78$. Ответ: $P = 78$.

а Q — наибольшее значение функции $y = -103x^2$ на отрезке $[-5; 4]$ Функция $y = -103x^2$ является квадратичной. Её график — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-103 < 0$). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине. Вершина параболы $y = -103x^2$ находится в точке $x=0$. Поскольку точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-5; 4]$, наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в вершине. Вычислим это значение: $Q = y(0) = -103 \cdot 0^2 = 0$. Ответ: $Q = 0$.

Не выполняя построения, сравните P и Q Мы нашли значения $P = 78$ и $Q = 0$. Теперь сравним эти два числа: $78 > 0$. Следовательно, $P > Q$. Ответ: $P > Q$.

20.29 Используя график функции $y = \frac{6}{x}$, найдите промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если:

a) $1 \le y \le 3$;

б) $y < -2$;

в) $-2 \le y < -1$;

г) $y \ge 6$.

Дана функция $y = \frac{6}{x}$. Это обратная пропорциональность, график которой — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Функция является убывающей на каждом из промежутков своего определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Это означает, что большему значению $y$ соответствует меньшее значение $x$ (и наоборот). Для решения задачи будем находить значения $x$, соответствующие граничным значениям $y$, используя зависимость $x = \frac{6}{y}$.

а) $1 \le y \le 3$

Поскольку значения $y$ положительны, соответствующие значения $x$ также будут положительными ($x > 0$). Найдем значения $x$ для границ интервала $y$:

При $y = 1$, $x = \frac{6}{1} = 6$.

При $y = 3$, $x = \frac{6}{3} = 2$.

Так как на промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает, неравенству $1 \le y \le 3$ соответствует обратное неравенство для $x$: $2 \le x \le 6$.

Ответ: $x \in [2; 6]$.

б) $y < -2$

Так как $y < 0$, то и $x < 0$. Найдем граничное значение $x$:

При $y = -2$, $x = \frac{6}{-2} = -3$.

Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$. Неравенству $y < -2$ соответствуют значения $x$, которые больше граничного значения $x = -3$ (поскольку $y$ становится более отрицательным, $x$ приближается к 0). Учитывая, что $x < 0$, получаем: $-3 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-3; 0)$.

в) $-2 \le y < -1$

Так как $y$ отрицателен, $x$ также отрицателен ($x < 0$). Найдем значения $x$ для границ интервала $y$:

При $y = -2$, $x = \frac{6}{-2} = -3$.

При $y = -1$, $x = \frac{6}{-1} = -6$.

Функция убывает на $(-\infty; 0)$, поэтому неравенству $-2 \le y < -1$ будет соответствовать неравенство $x(y=-1) < x \le x(y=-2)$. Нестрогому неравенству для $y$ соответствует нестрогое для $x$, а строгому — строгое. Таким образом, $-6 < x \le -3$.

Ответ: $x \in (-6; -3]$.

г) $y \ge 6$

Так как $y > 0$, то и $x > 0$. Найдем граничное значение $x$:

При $y = 6$, $x = \frac{6}{6} = 1$.

Функция убывает на $(0; +\infty)$. Неравенству $y \ge 6$ соответствуют значения $x$, которые меньше или равны граничному значению $x=1$. Учитывая, что $x$ должен быть положителен (так как $y$ положителен), получаем: $0 < x \le 1$.

Ответ: $x \in (0; 1]$.

20.30 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{4}{x}$. Найдите:

a) $f(x^2)$;

б) $\frac{1}{4}f(x^3)$;

в) $f(\frac{1}{x})$;

г) $-f(x^5)$.

Дана функция $f(x) = \frac{4}{x}$. Для решения задачи мы будем подставлять в эту формулу различные выражения вместо аргумента $x$.

а) Чтобы найти $f(x^2)$, нужно в выражении для функции $f(x)$ заменить аргумент $x$ на $x^2$.
$f(x^2) = \frac{4}{x^2}$.
Ответ: $\frac{4}{x^2}$.

б) Сначала найдем значение $f(x^3)$, подставив $x^3$ вместо $x$ в исходную функцию:
$f(x^3) = \frac{4}{x^3}$.
Затем умножим полученное выражение на коэффициент $\frac{1}{4}$:
$\frac{1}{4}f(x^3) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{x^3} = \frac{4}{4x^3} = \frac{1}{x^3}$.
Ответ: $\frac{1}{x^3}$.

в) Чтобы найти $f(\frac{1}{x})$, нужно в выражении для функции $f(x)$ заменить аргумент $x$ на $\frac{1}{x}$.
$f(\frac{1}{x}) = \frac{4}{\frac{1}{x}}$.
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{4}{\frac{1}{x}} = 4 \cdot \frac{x}{1} = 4x$.
Ответ: $4x$.

г) Сначала найдем значение $f(x^5)$, подставив $x^5$ вместо $x$ в исходную функцию:
$f(x^5) = \frac{4}{x^5}$.
Затем изменим знак полученного выражения на противоположный (умножим на -1):
$-f(x^5) = -\frac{4}{x^5}$.
Ответ: $-\frac{4}{x^5}$.