Страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = f(x) - 3$, если на координатной плоскости $xOy$ задан график функции $y = f(x)$.

1. Чтобы построить график функции $y = f(x) - 3$, зная график функции $y = f(x)$, нужно применить преобразование, называемое параллельным переносом вдоль оси ординат.

Рассмотрим связь между значениями этих двух функций при одинаковом значении аргумента $x$. Для любого $x$ значение функции $y = f(x) - 3$ на 3 единицы меньше, чем значение функции $y = f(x)$.

Это означает, что каждая точка с координатами $(x_0, y_0)$, принадлежащая графику функции $y = f(x)$, переходит в точку с координатами $(x_0, y_0 - 3)$ на графике новой функции. Абсцисса ($x$) точки остается неизменной, а ее ордината ($y$) уменьшается на 3.

Геометрически это соответствует сдвигу всего графика функции $y = f(x)$ вниз на 3 единицы.

Алгоритм построения:

1. Взять исходный график функции $y = f(x)$.
2. Выбрать несколько характерных точек на этом графике (например, точки пересечения с осями, точки экстремумов).
3. Для каждой выбранной точки $(x, y)$ построить новую точку $(x, y-3)$, то есть сместить ее на 3 единицы вертикально вниз.
4. Соединить новые точки плавной линией, сохраняя форму исходного графика.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x) - 3$, необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

2. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = f(x) + 1$, если на координатной плоскости $xOy$ задан график функции $y = f(x)$.

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 1$, имея уже построенный график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование графика, которое называется параллельный перенос (или сдвиг) вдоль оси ординат Oy.

Рассмотрим, почему это так. Пусть точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это по определению означает, что при $x = x_0$ значение функции равно $y_0$, то есть выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

Теперь рассмотрим новую функцию $y = f(x) + 1$. Найдем значение этой функции при том же значении аргумента $x = x_0$. Обозначим его $y_{новое}$:

$y_{новое} = f(x_0) + 1$

Поскольку мы знаем, что $f(x_0) = y_0$, мы можем подставить это в уравнение:

$y_{новое} = y_0 + 1$

Это означает, что каждой точке $(x_0, y_0)$ на исходном графике соответствует точка $(x_0, y_0 + 1)$ на новом графике. У этой новой точки та же абсцисса $x_0$, а ордината на 1 больше. Геометрически это соответствует сдвигу точки на 1 единицу вверх.

Поскольку это рассуждение верно для абсолютно любой точки исходного графика, то для построения графика функции $y = f(x) + 1$ необходимо весь график функции $y = f(x)$ целиком сместить на 1 единицу вверх параллельно оси Oy.

Алгоритм построения:

1. Взять заданный график функции $y = f(x)$.
2. Выбрать на нем несколько ключевых точек (например, точки пересечения с осями, точки минимума и максимума).
3. Для каждой выбранной точки $(x, y)$ построить новую точку с координатами $(x, y+1)$, то есть сместить каждую точку на 1 единицу вверх.
4. Соединить новые точки плавной линией, повторяющей форму исходного графика.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x) + 1$, нужно сдвинуть (осуществить параллельный перенос) график функции $y = f(x)$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Постройте в одной системе координат графики функций:

21.1 а) $y = x^2$ и $y = (x + 1)^2$;

б) $y = x^2$ и $y = (x - 3)^2$;

в) $y = x^2$ и $y = (x - 2)^2$;

г) $y = x^2$ и $y = (x + 4)^2$.

Для построения графиков функций $y = x^2$ и $y = (x + 1)^2$ в одной системе координат, сначала рассмотрим базовую функцию $y = x^2$.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$, и ветвями, направленными вверх. Осью симметрии является ось $Oy$ (прямая $x=0$). Составим таблицу значений для нескольких точек:

График функции $y = (x + 1)^2$ можно получить из графика $y = x^2$ с помощью параллельного переноса. Преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$ сдвигает график функции на $a$ единиц влево вдоль оси абсцисс ($Ox$). В нашем случае $a=1$, поэтому график функции $y = x^2$ нужно сдвинуть на 1 единицу влево.

Вершина новой параболы $y = (x + 1)^2$ будет находиться в точке $(-1, 0)$. Таблица значений для этой функции:

Таким образом, в одной системе координат мы строим стандартную параболу $y=x^2$ с вершиной в $(0,0)$ и такую же параболу, но сдвинутую влево на 1, с вершиной в точке $(-1,0)$.

Ответ: График функции $y=(x+1)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

Рассмотрим функции $y = x^2$ и $y = (x - 3)^2$.

График базовой функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.

График функции $y = (x - 3)^2$ получается из графика $y = x^2$ с помощью параллельного переноса. Преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$ сдвигает график функции на $a$ единиц вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$). В данном случае $a=3$, поэтому график функции $y = x^2$ нужно сдвинуть на 3 единицы вправо.

Вершина параболы $y = (x - 3)^2$ будет находиться в точке $(3, 0)$. Составим таблицу значений для этой функции, используя сдвиг соответствующих точек параболы $y=x^2$:

Для построения сначала наносим на координатную плоскость точки для $y=x^2$ и соединяем их плавной линией. Затем строим вторую параболу, которая является точной копией первой, но сдвинутой на 3 единицы вправо, с вершиной в точке $(3,0)$.

Ответ: График функции $y=(x-3)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Рассмотрим функции $y = x^2$ и $y = (x - 2)^2$.

График базовой функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.

График функции $y = (x - 2)^2$ получается из графика $y = x^2$ с помощью параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$), так как это преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$ при $a=2$.

Вершина параболы $y = (x - 2)^2$ будет находиться в точке $(2, 0)$. Таблица значений для этой функции:

На одной координатной плоскости строим параболу $y=x^2$ с вершиной в $(0,0)$ и параболу $y=(x-2)^2$, которая является копией первой, но сдвинутой на 2 единицы вправо, с вершиной в точке $(2,0)$.

Ответ: График функции $y=(x-2)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Рассмотрим функции $y = x^2$ и $y = (x + 4)^2$.

График базовой функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.

График функции $y = (x + 4)^2$ получается из графика $y = x^2$ с помощью параллельного переноса на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс ($Ox$), так как это преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$ при $a=4$.

Вершина параболы $y = (x + 4)^2$ будет находиться в точке $(-4, 0)$. Таблица значений для этой функции:

В одной системе координат строим параболу $y=x^2$ с вершиной в $(0,0)$ и такую же параболу, сдвинутую влево на 4 единицы, с вершиной в точке $(-4,0)$.

Ответ: График функции $y=(x+4)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 4 единицы влево вдоль оси $Ox$.

21.2 а) $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x-2}$;

б) $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x+2}$;

в) $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x+3}$;

г) $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x-5}$.

а) Чтобы получить график функции $y = \frac{1}{x-2}$ из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$, необходимо применить правило преобразования графиков. Вторая функция имеет вид $y = f(x-a)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $a=2$. Преобразование вида $f(x) \rightarrow f(x-a)$ при $a > 0$ соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ох) на $a$ единиц вправо. В данном случае $a=2$, поэтому необходимо сдвинуть график гиперболы $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{x-2}$ можно получить из графика функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси Ох.

б) График функции $y = \frac{1}{x+2}$ получается из графика функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью параллельного переноса. Вторую функцию можно представить в виде $y = f(x+a)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $a=2$. Преобразование вида $f(x) \rightarrow f(x+a)$ при $a > 0$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ох) на $a$ единиц влево. Здесь $a=2$, следовательно, график функции $y = \frac{1}{x}$ необходимо перенести на 2 единицы влево.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{x+2}$ можно получить из графика функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси Ох.

в) Для получения графика функции $y = \frac{1}{x+3}$ из графика $y = \frac{1}{x}$ используется преобразование сдвига. Функция $y = \frac{1}{x+3}$ соответствует виду $y = f(x+a)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $a=3$. Согласно правилу преобразований, сдвиг графика на $a$ единиц влево вдоль оси Ох соответствует переходу от $f(x)$ к $f(x+a)$ (при $a > 0$). Так как $a=3$, исходный график $y = \frac{1}{x}$ сдвигается на 3 единицы влево.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{x+3}$ можно получить из графика функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью параллельного переноса на 3 единицы влево вдоль оси Ох.

г) График функции $y = \frac{1}{x-5}$ можно получить из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса. Данное преобразование относится к типу $f(x) \rightarrow f(x-a)$. В нашем случае $f(x) = \frac{1}{x}$ и $a=5$. Такое преобразование при $a > 0$ означает сдвиг исходного графика вправо вдоль оси абсцисс на $a$ единиц. Поскольку $a=5$, график функции $y = \frac{1}{x}$ необходимо перенести на 5 единиц вправо.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{x-5}$ можно получить из графика функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью параллельного переноса на 5 единиц вправо вдоль оси Ох.

21.3 а) $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{x + 2}$;

б) $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{x - 1}$;

в) $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{x + 4}$;

г) $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{x - 2}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать правила преобразования графиков функций. В каждом пункте нам нужно определить, как получить график второй функции из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Общее правило для преобразования $y=f(x)$ в $y=f(x+a)$ заключается в следующем:

• Если $a > 0$, график функции $y=f(x)$ сдвигается (переносится параллельно) на $a$ единиц влево вдоль оси абсцисс (Ox).
• Если $a < 0$, график функции $y=f(x)$ сдвигается на $|a|$ единиц вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

а) $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{x+2}$

В данном случае вторая функция имеет вид $y = f(x+a)$, где $f(x)=\sqrt{x}$ и $a=2$. Поскольку $a=2>0$, для получения графика функции $y=\sqrt{x+2}$ необходимо сдвинуть график функции $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x+2}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ параллельным переносом на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

б) $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{x-1}$

Здесь вторая функция может быть представлена как $y = f(x+a)$, где $f(x)=\sqrt{x}$ и $a=-1$. Поскольку $a=-1<0$, для получения графика функции $y=\sqrt{x-1}$ необходимо сдвинуть график функции $y=\sqrt{x}$ на $|-1|=1$ единицу вправо вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x-1}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ параллельным переносом на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

в) $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{x+4}$

В этом случае вторая функция имеет вид $y = f(x+a)$, где $f(x)=\sqrt{x}$ и $a=4$. Так как $a=4>0$, чтобы получить график функции $y=\sqrt{x+4}$, нужно сдвинуть график функции $y=\sqrt{x}$ на 4 единицы влево вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x+4}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ параллельным переносом на 4 единицы влево вдоль оси Ox.

г) $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{x-2}$

Вторая функция представляется в виде $y = f(x+a)$, где $f(x)=\sqrt{x}$ и $a=-2$. Так как $a=-2<0$, для построения графика функции $y=\sqrt{x-2}$ следует сдвинуть график функции $y=\sqrt{x}$ на $|-2|=2$ единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x-2}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ параллельным переносом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

21.4 a) $y = |x|$ и $y = |x - 3|$;
б) $y = |x|$ и $y = |x + 5|$;
в) $y = |x|$ и $y = |x + 1|$;
г) $y = |x|$ и $y = |x - 4|$.

а)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y = |x - 3|$, необходимо решить уравнение, приравняв их правые части: $|x| = |x - 3|$.

Уравнение вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Рассмотрим оба случая:

1) $x = x - 3$

$0 = -3$

Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

2) $x = -(x - 3)$

$x = -x + 3$

$2x = 3$

$x = 1,5$

Мы нашли абсциссу точки пересечения. Теперь найдем ординату, подставив значение $x = 1,5$ в любую из исходных функций. Возьмем $y = |x|$:

$y = |1,5| = 1,5$

Проверим со второй функцией: $y = |1,5 - 3| = |-1,5| = 1,5$. Значения совпадают.

Таким образом, графики пересекаются в одной точке с координатами $(1,5; 1,5)$.

Ответ: $(1,5; 1,5)$

б)

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y = |x + 5|$ нужно решить уравнение $|x| = |x + 5|$.

Используем свойство модуля $|A| = |B|$, которое равносильно $A=B$ или $A=-B$.

1) $x = x + 5$

$0 = 5$

Равенство неверно, решений в этом случае нет.

2) $x = -(x + 5)$

$x = -x - 5$

$2x = -5$

$x = -2,5$

Найдем ординату точки пересечения, подставив $x = -2,5$ в функцию $y = |x|$:

$y = |-2,5| = 2,5$

Проверим со второй функцией: $y = |-2,5 + 5| = |2,5| = 2,5$. Значения совпадают.

Следовательно, точка пересечения — $(-2,5; 2,5)$.

Ответ: $(-2,5; 2,5)$

в)

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y = |x + 1|$ решим уравнение $|x| = |x + 1|$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) $x = x + 1$

$0 = 1$

Равенство неверно, решений нет.

2) $x = -(x + 1)$

$x = -x - 1$

$2x = -1$

$x = -0,5$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = -0,5$ в уравнение $y = |x|$:

$y = |-0,5| = 0,5$

Проверим со второй функцией: $y = |-0,5 + 1| = |0,5| = 0,5$. Значения совпадают.

Точка пересечения имеет координаты $(-0,5; 0,5)$.

Ответ: $(-0,5; 0,5)$

г)

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y = |x - 4|$ решим уравнение $|x| = |x - 4|$.

Это уравнение эквивалентно двум случаям:

1) $x = x - 4$

$0 = -4$

Равенство неверное, решений нет.

2) $x = -(x - 4)$

$x = -x + 4$

$2x = 4$

$x = 2$

Найдем соответствующую ординату, подставив $x = 2$ в функцию $y = |x|$:

$y = |2| = 2$

Проверим со второй функцией: $y = |2 - 4| = |-2| = 2$. Значения совпадают.

Координаты точки пересечения — $(2; 2)$.

Ответ: $(2; 2)$

21.5 График какой функции получится, если:

а) параболу $y = 3x^2$ перенести на 4 единицы влево вдоль оси $Ox$;

б) гиперболу $y = -\frac{7}{x}$ перенести на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$;

в) график функции $y = \sqrt{x}$ перенести на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$;

г) график функции $y = |x|$ перенести на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$?

а) Чтобы перенести график функции $y = f(x)$ на $c$ единиц влево вдоль оси Ox, нужно в ее уравнении заменить $x$ на выражение $(x+c)$. В данном случае исходная функция — это парабола $y = 3x^2$, а сдвиг осуществляется на 4 единицы влево ($c=4$). Следовательно, мы заменяем $x$ на $(x+4)$ и получаем уравнение новой функции: $y = 3(x+4)^2$.
Ответ: $y = 3(x+4)^2$.

б) Правило сдвига графика функции $y=f(x)$ на $c$ единиц вправо вдоль оси Ox заключается в замене $x$ на $(x-c)$. В нашем случае исходная функция — это гипербола $y = -\frac{7}{x}$, и мы переносим ее на 3 единицы вправо ($c=3$). Заменяя $x$ на $(x-3)$, мы получаем уравнение искомой функции: $y = -\frac{7}{x-3}$.
Ответ: $y = -\frac{7}{x-3}$.

в) Аналогично предыдущему пункту, для переноса графика функции на $c$ единиц вправо вдоль оси Ox, мы заменяем $x$ на $(x-c)$. Для функции $y = \sqrt{x}$ и сдвига на 2 единицы вправо ($c=2$), мы выполняем замену $x$ на $(x-2)$. В результате получаем график функции $y = \sqrt{x-2}$.
Ответ: $y = \sqrt{x-2}$.

г) Сдвиг графика функции на $c$ единиц влево вдоль оси Ox соответствует замене аргумента $x$ на $(x+c)$. Для функции $y = |x|$ и переноса на 1 единицу влево ($c=1$), мы заменяем $x$ на $(x+1)$. Уравнение функции после преобразования будет $y = |x+1|$.
Ответ: $y = |x+1|$.

21.6 График какой функции получится, если:

а) параболу $y = -\frac{1}{3}x^2$ перенести на 0,5 единицы вправо вдоль оси $Ox$;

б) гиперболу $y = \frac{2}{x}$ перенести на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$;

в) график функции $y = -|x|$ перенести на 4 единицы вправо вдоль оси $Ox$;

г) график функции $y = -\sqrt{x}$ перенести на 1,5 единицы влево вдоль оси $Ox$?

а) Общее правило для сдвига графика функции $y=f(x)$ вдоль оси $Ox$: чтобы сдвинуть график на $a$ единиц вправо, нужно заменить аргумент $x$ на $(x-a)$. Чтобы сдвинуть на $a$ единиц влево, нужно заменить $x$ на $(x+a)$.
В данном случае нам нужно перенести параболу $y = -\frac{1}{3}x^2$ на 0,5 единицы вправо. Согласно правилу, мы заменяем $x$ на $(x - 0,5)$.
Получаем уравнение новой функции: $y = -\frac{1}{3}(x - 0,5)^2$.
Ответ: $y = -\frac{1}{3}(x - 0,5)^2$

б) Необходимо перенести гиперболу $y = \frac{2}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$. Для этого нужно в уравнении функции заменить $x$ на $(x+2)$.
Получаем уравнение новой функции: $y = \frac{2}{x+2}$.
Ответ: $y = \frac{2}{x+2}$

в) Необходимо перенести график функции $y = -|x|$ на 4 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Для этого нужно в уравнении функции заменить $x$ на $(x-4)$.
Получаем уравнение новой функции: $y = -|x-4|$.
Ответ: $y = -|x-4|$

г) Необходимо перенести график функции $y = -\sqrt{x}$ на 1,5 единицы влево вдоль оси $Ox$. Для этого нужно в уравнении функции заменить $x$ на $(x+1,5)$.
Получаем уравнение новой функции: $y = -\sqrt{x+1,5}$.
Ответ: $y = -\sqrt{x+1,5}$