Страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

21.16 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = -5(x+4)^2$:

а) на отрезке $[-5; -3]$;
б) на луче $[-4; +\infty)$;
в) на интервале $(-5; -3)$;
г) на луче $(-\infty; 0]$.

Данная функция $y = -5(x+4)^2$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент перед скобкой $a = -5$ отрицательный. Вершина параболы находится в точке, где выражение в скобках равно нулю, то есть при $x = -4$. Координаты вершины: $(-4; y(-4))$.

$y(-4) = -5(-4+4)^2 = -5 \cdot 0^2 = 0$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-4; 0)$. Так как ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция достигает своего глобального максимума, равного 0.

а) на отрезке [-5; -3]

Отрезок $[-5; -3]$ содержит точку вершины параболы $x = -4$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине и равно 0.

$y_{наибольшее} = y(-4) = 0$.

Наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в точке локального минимума, либо на концах отрезка. Так как у данной функции нет локальных минимумов, найдем значения функции на концах отрезка:

$y(-5) = -5(-5 + 4)^2 = -5(-1)^2 = -5 \cdot 1 = -5$.

$y(-3) = -5(-3 + 4)^2 = -5(1)^2 = -5 \cdot 1 = -5$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно -5.

Ответ: наименьшее значение -5, наибольшее значение 0.

б) на луче [-4; +∞)

Луч $[-4; +\infty)$ начинается в точке вершины параболы $x = -4$. В этой точке функция принимает свое наибольшее значение.

$y_{наибольшее} = y(-4) = 0$.

На промежутке $(-4; +\infty)$ функция убывает. По мере увеличения $x$, значение $y$ будет уменьшаться, стремясь к минус бесконечности ($y \to -\infty$ при $x \to +\infty$). Следовательно, наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение 0.

в) на интервале (-5; -3)

Интервал $(-5; -3)$ содержит точку вершины параболы $x = -4$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом интервале достигается в вершине.

$y_{наибольшее} = y(-4) = 0$.

Поскольку интервал открытый, значения на его концах не включаются. При приближении $x$ к концам интервала (к -5 и к -3), значения функции стремятся к -5, но никогда его не достигают. То есть, $y > -5$ для всех $x$ из интервала $(-5; -3)$. Таким образом, наименьшего значения на данном интервале не существует (хотя инфимум, или точная нижняя грань, равен -5).

Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение 0.

г) на луче (-∞; 0]

Луч $(-\infty; 0]$ содержит точку вершины параболы $x = -4$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом луче достигается в вершине.

$y_{наибольшее} = y(-4) = 0$.

На промежутке $(-\infty; -4]$ функция возрастает от $-\infty$ до 0. На промежутке $[-4; 0]$ функция убывает от 0 до $y(0) = -5(0+4)^2 = -80$. Однако, так как при $x \to -\infty$ значение $y \to -\infty$, функция не ограничена снизу на данном луче. Следовательно, наименьшего значения не существует.

Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение 0.

21.17 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{4}{x - 3}$:

а) на отрезке $ [4; 7] $;

б) на луче $ (-\infty; 1] $;

в) на луче $ [4; +\infty) $;

г) на полуинтервале $ (3; 7] $.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{4}{x - 3}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=3$.

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы монотонности: $y' = \left(\frac{4}{x - 3}\right)' = \left(4(x - 3)^{-1}\right)' = 4 \cdot (-1) \cdot (x-3)^{-2} = -\frac{4}{(x-3)^2}$.

Поскольку $(x-3)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' < 0$. Это означает, что функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.

а) на отрезке [4; 7]

Данный отрезок полностью принадлежит промежутку $(3; +\infty)$, на котором функция убывает. Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в левой крайней точке ($x=a$), а наименьшее — в правой ($x=b$).

Наибольшее значение функции на отрезке $[4; 7]$ будет при $x=4$: $y_{наиб} = y(4) = \frac{4}{4 - 3} = \frac{4}{1} = 4$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[4; 7]$ будет при $x=7$: $y_{наим} = y(7) = \frac{4}{7 - 3} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшее значение равно 4.

б) на луче (−∞; 1]

Данный луч полностью принадлежит промежутку $(-\infty; 3)$, на котором функция убывает. На убывающей функции меньшее значение соответствует большему значению аргумента. Правая граница луча — точка $x=1$, поэтому в этой точке функция достигнет своего наименьшего значения на данном промежутке.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = \frac{4}{1 - 3} = \frac{4}{-2} = -2$.

Левая граница луча уходит в $-\infty$. Рассмотрим предел функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \frac{4}{x - 3} = 0$. Функция стремится к 0, но никогда его не достигает (на данном промежутке $x-3 < 0$, поэтому $y < 0$). Следовательно, у функции на этом луче нет наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение равно -2, наибольшего значения не существует.

в) на луче [4; +∞)

Данный луч полностью принадлежит промежутку $(3; +\infty)$, на котором функция убывает. На убывающей функции большее значение соответствует меньшему значению аргумента. Левая граница луча — точка $x=4$, поэтому в этой точке функция достигнет своего наибольшего значения на данном промежутке.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = \frac{4}{4 - 3} = 4$.

Правая граница луча уходит в $+\infty$. Рассмотрим предел функции при $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x - 3} = 0$. Функция стремится к 0, но никогда его не достигает (на данном промежутке $x-3 > 0$, поэтому $y > 0$). Следовательно, у функции на этом луче нет наименьшего значения.

Ответ: наибольшее значение равно 4, наименьшего значения не существует.

г) на полуинтервале (3; 7]

Данный полуинтервал принадлежит промежутку $(3; +\infty)$, на котором функция убывает. Наименьшее значение будет достигаться в правой крайней точке $x=7$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(7) = \frac{4}{7 - 3} = \frac{4}{4} = 1$.

Левая граница интервала — точка $x=3$, которая не включена в интервал. Рассмотрим предел функции при $x$, стремящемся к 3 справа ($x \to 3^+$): $\lim_{x \to 3^+} \frac{4}{x - 3} = +\infty$, так как знаменатель $x-3$ стремится к нулю, оставаясь положительным. Поскольку функция не ограничена сверху на данном полуинтервале, наибольшего значения у нее не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.

21.18 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = - \frac{2}{x + 2}$:

а) на отрезке $[-4; -3]$;

б) на луче $[2; +\infty)$;

в) на полуинтервале $(-2; 0]$;

г) на отрезке $[-1; 0]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\frac{2}{x+2}$ на заданных промежутках, сначала исследуем ее поведение.

Область определения функции: все действительные числа, кроме $x = -2$. То есть, $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы монотонности:
$y' = \left(-\frac{2}{x+2}\right)' = -2 \cdot \left((x+2)^{-1}\right)' = -2 \cdot (-1) \cdot (x+2)^{-2} \cdot (x+2)' = 2(x+2)^{-2} = \frac{2}{(x+2)^2}$.

Поскольку $(x+2)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' = \frac{2}{(x+2)^2}$ всегда положительна ($y' > 0$).
Это означает, что функция $y = -\frac{2}{x+2}$ является строго возрастающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Теперь рассмотрим каждый из заданных промежутков.

а) на отрезке [-4; -3]
Данный отрезок полностью лежит в интервале $(-\infty; -2)$, на котором функция непрерывна и возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка ($x=-4$), а наибольшее — на правом ($x=-3$).
Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(-4) = -\frac{2}{-4 + 2} = -\frac{2}{-2} = 1$.
$y(-3) = -\frac{2}{-3 + 2} = -\frac{2}{-1} = 2$.
Ответ: $y_{наим} = 1$, $y_{наиб} = 2$.

б) на луче [2; +∞)
Данный луч полностью лежит в интервале $(-2; +\infty)$, на котором функция непрерывна и возрастает.
Наименьшее значение функция принимает в начальной точке луча $x=2$:
$y_{наим} = y(2) = -\frac{2}{2 + 2} = -\frac{2}{4} = -0.5$.
Поскольку функция возрастает на этом луче и стремится к своей горизонтальной асимптоте $y=0$ при $x \to +\infty$ ($ \lim_{x \to +\infty} -\frac{2}{x+2} = 0 $), она принимает значения в промежутке $[-0.5; 0)$. Значение 0 никогда не достигается, поэтому наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наименьшее значение равно -0.5, наибольшего значения не существует.

в) на полуинтервале (-2; 0]
Данный полуинтервал лежит в интервале $(-2; +\infty)$, на котором функция непрерывна и возрастает.
Наибольшее значение функция принимает на правом конце полуинтервала $x=0$:
$y_{наиб} = y(0) = -\frac{2}{0 + 2} = -\frac{2}{2} = -1$.
Левый конец $x=-2$ не принадлежит полуинтервалу. При приближении $x$ к -2 справа ($x \to -2^+$), знаменатель $x+2$ стремится к 0, оставаясь положительным, значит вся дробь $\frac{2}{x+2}$ стремится к $+\infty$, а функция $y = -\frac{2}{x+2}$ стремится к $-\infty$.
$ \lim_{x \to -2^+} -\frac{2}{x+2} = -\infty $.
Следовательно, функция не ограничена снизу на данном полуинтервале, и наименьшего значения не существует.
Ответ: наибольшее значение равно -1, наименьшего значения не существует.

г) на отрезке [-1; 0]
Данный отрезок полностью лежит в интервале $(-2; +\infty)$, на котором функция непрерывна и возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка ($x=-1$), а наибольшее — на правом ($x=0$).
Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y_{наим} = y(-1) = -\frac{2}{-1 + 2} = -\frac{2}{1} = -2$.
$y_{наиб} = y(0) = -\frac{2}{0 + 2} = -\frac{2}{2} = -1$.
Ответ: $y_{наим} = -2$, $y_{наиб} = -1$.

21.19 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sqrt{x + 4}$:

а) на отрезке $[-3; 0]$;

б) на луче $[5; +\infty)$.

а) на отрезке [-3; 0]

Дана функция $y = \sqrt{x + 4}$. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке, сначала исследуем её поведение (монотонность).

1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 4 \geq 0$, откуда $x \geq -4$. Область определения функции: $D(y) = [-4; +\infty)$. Заданный отрезок $[-3; 0]$ полностью входит в область определения.

2. Монотонность. Найдем производную функции, чтобы определить интервалы возрастания и убывания.
$y' = (\sqrt{x + 4})' = \frac{1}{2\sqrt{x + 4}} \cdot (x+4)' = \frac{1}{2\sqrt{x + 4}}$.

Поскольку квадратный корень в знаменателе всегда положителен для любого $x$ из интервала $(-4; +\infty)$, производная $y'$ всегда положительна ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = \sqrt{x + 4}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения.

3. Нахождение наименьшего и наибольшего значений. Так как функция монотонно возрастает на отрезке $[-3; 0]$, своё наименьшее значение она принимает в левой точке отрезка ($x = -3$), а наибольшее — в правой ($x = 0$).

Вычислим значения функции в этих точках:
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = \sqrt{-3 + 4} = \sqrt{1} = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке [-3; 0] равно 1, наибольшее значение равно 2.

б) на луче [5; +∞)

1. Монотонность. Как мы уже установили, функция $y = \sqrt{x + 4}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, а значит, и на луче $[5; +\infty)$.

2. Нахождение наименьшего значения. Поскольку функция возрастает, своё наименьшее значение на луче $[5; +\infty)$ она принимает в его начальной точке, то есть при $x = 5$.
$y_{наим} = y(5) = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

3. Нахождение наибольшего значения. Так как функция монотонно возрастает на бесконечном промежутке, её значения не ограничены сверху. При $x \to +\infty$, значение $y = \sqrt{x + 4}$ также стремится к $+\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+4} = +\infty$.
Следовательно, на луче $[5; +\infty)$ функция не достигает своего наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение функции на луче [5; +∞) равно 3, наибольшего значения не существует.