Страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Постройте в одной системе координат графики функций:

22.1 а) $y = x^2$ и $y = x^2 + 2$;

б) $y = x^2$ и $y = x^2 - 1$;

в) $y = x^2$ и $y = x^2 + 5$;

г) $y = x^2$ и $y = x^2 - 3$.

а) $y = x^2$ и $y = x^2 + 2$

Для построения графиков данных функций в одной системе координат, мы сначала построим график базовой функции $y = x^2$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в начале координат (0, 0). Для точности построения найдем несколько точек, принадлежащих этому графику.

Составим таблицу значений для $y = x^2$:

Далее, рассмотрим функцию $y = x^2 + 2$. Ее график получается из графика функции $y = x^2$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вверх. Вершина этой параболы будет находиться в точке (0, 2). Каждая точка параболы $y = x^2$ смещается на 2 единицы вверх.

Составим таблицу значений для $y = x^2 + 2$:

При построении в одной системе координат мы получим две одинаковые по форме параболы, одна из которых ($y=x^2+2$) сдвинута относительно другой ($y=x^2$) вверх на 2 единицы.

Ответ: Графиком функции $y=x^2$ является парабола с вершиной в точке (0,0). Графиком функции $y=x^2+2$ является такая же парабола, но сдвинутая на 2 единицы вверх вдоль оси Oy, с вершиной в точке (0,2).

б) $y = x^2$ и $y = x^2 - 1$

Аналогично предыдущему пункту, построим сначала график базовой параболы $y = x^2$ с вершиной в точке (0,0).

Таблица значений для $y = x^2$:

График функции $y = x^2 - 1$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом вдоль оси Oy на 1 единицу вниз. Вершина этой параболы будет находиться в точке (0, -1).

Таблица значений для $y = x^2 - 1$:

Ответ: Графиком функции $y=x^2$ является парабола с вершиной в точке (0,0). Графиком функции $y=x^2-1$ является такая же парабола, но сдвинутая на 1 единицу вниз вдоль оси Oy, с вершиной в точке (0,-1).

в) $y = x^2$ и $y = x^2 + 5$

Снова начинаем с построения графика параболы $y = x^2$, используя таблицу ключевых точек.

Таблица значений для $y = x^2$:

График функции $y = x^2 + 5$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом вдоль оси Oy на 5 единиц вверх. Вершина этой параболы будет находиться в точке (0, 5).

Таблица значений для $y = x^2 + 5$:

Ответ: Графиком функции $y=x^2$ является парабола с вершиной в точке (0,0). Графиком функции $y=x^2+5$ является такая же парабола, но сдвинутая на 5 единиц вверх вдоль оси Oy, с вершиной в точке (0,5).

г) $y = x^2$ и $y = x^2 - 3$

Построим график параболы $y = x^2$ как основу для дальнейших построений.

Таблица значений для $y = x^2$:

График функции $y = x^2 - 3$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом вдоль оси Oy на 3 единицы вниз. Вершина этой параболы будет находиться в точке (0, -3).

Таблица значений для $y = x^2 - 3$:

Ответ: Графиком функции $y=x^2$ является парабола с вершиной в точке (0,0). Графиком функции $y=x^2-3$ является такая же парабола, но сдвинутая на 3 единицы вниз вдоль оси Oy, с вершиной в точке (0,-3).

22.2 a) $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x} + 2$;

б) $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x} - 3$;

в) $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x} - 4$;

г) $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x} + 1$.

а) В данном случае требуется описать, как получить график функции $y = \frac{1}{x} + 2$ из графика функции $y = \frac{1}{x}$. Второй график получается из первого путем преобразования вида $y = f(x) + c$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $c = 2$. Такое преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика функции $f(x)$ вдоль оси ординат (оси OY). Поскольку постоянная $c=2$ положительна, сдвиг происходит вверх на 2 единицы.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{x} + 2$ получается из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

б) Здесь рассматриваются функции $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x} - 3$. График второй функции можно получить из графика первой с помощью преобразования $y = f(x) + c$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $c = -3$. Это преобразование является параллельным переносом графика вдоль оси ординат. Так как постоянная $c=-3$ отрицательна, сдвиг происходит вниз на $|-3| = 3$ единицы.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{x} - 3$ получается из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

в) Даны функции $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x} - 4$. График функции $y = \frac{1}{x} - 4$ получается из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем преобразования $y = f(x) + c$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $c = -4$. Это преобразование представляет собой сдвиг графика вдоль оси ординат. Поскольку постоянная $c=-4$ отрицательна, сдвиг происходит вниз на $|-4| = 4$ единицы.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{x} - 4$ получается из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса на 4 единицы вниз вдоль оси OY.

г) Даны функции $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x} + 1$. График функции $y = \frac{1}{x} + 1$ получается из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем преобразования $y = f(x) + c$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $c = 1$. Это преобразование представляет собой сдвиг графика вдоль оси ординат. Так как постоянная $c=1$ положительна, сдвиг происходит вверх на 1 единицу.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{x} + 1$ получается из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси OY.

22.3 а) $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{x} - 2$;

б) $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{x} + 3$;

в) $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{x} - 4$;

г) $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{x} + 1$.

а) График функции $y = \sqrt{x} - 2$ получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем преобразования вида $y = f(x) + c$, где $c = -2$. Данное преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси ординат (OY). Поскольку значение $c$ отрицательно, сдвиг осуществляется вниз на $|-2| = 2$ единицы. Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вниз.

б) График функции $y = \sqrt{x} + 3$ получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем преобразования вида $y = f(x) + c$, где $c = 3$. Данное преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси ординат (OY). Поскольку значение $c$ положительно, сдвиг осуществляется вверх на 3 единицы. Ответ: График функции $y = \sqrt{x} + 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вверх.

в) График функции $y = \sqrt{x - 4}$ получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем преобразования вида $y = f(x - c)$, где $c = 4$. Данное преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси абсцисс (OX). Поскольку значение $c$ положительно, сдвиг осуществляется вправо на 4 единицы. Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 4}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вправо.

г) График функции $y = \sqrt{x + 1}$ получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем преобразования вида $y = f(x - c)$. Функцию можно переписать как $y = \sqrt{x - (-1)}$, следовательно, $c = -1$. Данное преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси абсцисс (OX). Поскольку значение $c$ отрицательно, сдвиг осуществляется влево на $|-1| = 1$ единицу. Ответ: График функции $y = \sqrt{x + 1}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево.

22.4 а) $y = |x|$ и $y = |x| + 1$;

б) $y = |x|$ и $y = |x| - 3$;

в) $y = |x|$ и $y = |x| - 2$;

г) $y = |x|$ и $y = |x| + 2$.

В этой задаче требуется описать, как получить график второй функции из графика первой функции $y=|x|$ с помощью геометрических преобразований. Общее правило для преобразования вида $y = f(x) + c$ гласит, что график функции $y = f(x)$ сдвигается параллельно оси $Oy$ (вертикально):

• на $c$ единиц вверх, если $c > 0$;
• на $|c|$ единиц вниз, если $c < 0$.

График базовой функции $y=|x|$ представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат $(0,0)$, состоящую из двух лучей: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$.

а) $y = |x|$ и $y = |x| + 1$

В данном случае вторая функция имеет вид $y = |x| + 1$. Это соответствует преобразованию $y = f(x) + c$, где $f(x) = |x|$ и $c = 1$. Поскольку $c = 1 > 0$, для получения графика функции $y = |x| + 1$ необходимо сдвинуть график функции $y = |x|$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Вершина нового графика будет находиться в точке $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y=|x|+1$ получается из графика функции $y=|x|$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

б) $y = |x|$ и $y = |x| - 3$

Вторая функция имеет вид $y = |x| - 3$. Это соответствует преобразованию $y = f(x) + c$, где $f(x) = |x|$ и $c = -3$. Поскольку $c = -3 < 0$, для получения графика функции $y = |x| - 3$ необходимо сдвинуть график функции $y = |x|$ на $|-3|=3$ единицы вниз вдоль оси ординат. Вершина нового графика будет находиться в точке $(0, -3)$.

Ответ: График функции $y=|x|-3$ получается из графика функции $y=|x|$ путем параллельного переноса на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

в) $y = |x|$ и $y = |x| - 2$

Вторая функция имеет вид $y = |x| - 2$. Это соответствует преобразованию $y = f(x) + c$, где $f(x) = |x|$ и $c = -2$. Поскольку $c = -2 < 0$, для получения графика функции $y = |x| - 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = |x|$ на $|-2|=2$ единицы вниз вдоль оси ординат. Вершина нового графика будет находиться в точке $(0, -2)$.

Ответ: График функции $y=|x|-2$ получается из графика функции $y=|x|$ путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

г) $y = |x|$ и $y = |x| + 2$

Вторая функция имеет вид $y = |x| + 2$. Это соответствует преобразованию $y = f(x) + c$, где $f(x) = |x|$ и $c = 2$. Поскольку $c = 2 > 0$, для получения графика функции $y = |x| + 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = |x|$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Вершина нового графика будет находиться в точке $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y=|x|+2$ получается из графика функции $y=|x|$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

22.5 График какой функции получится, если:

а) параболу $y = 2x^2$ перенести на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$;

б) гиперболу $y = \frac{9}{x}$ перенести на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$;

в) график функции $y = \sqrt{x}$ перенести на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$;

г) график функции $y = |x|$ перенести на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$?

Общее правило для преобразования графика функции $y=f(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (Oy) заключается в следующем:
- для переноса графика на $c$ единиц вверх, уравнение новой функции будет $y = f(x) + c$;
- для переноса графика на $c$ единиц вниз, уравнение новой функции будет $y = f(x) - c$.

а)

Исходный график — парабола $y = 2x^2$. Требуется перенести его на 3 единицы вверх. Это соответствует случаю переноса вверх, где $c = 3$.
Применяя правило, прибавляем 3 к исходной функции: $y = 2x^2 + 3$.
Ответ: $y = 2x^2 + 3$.

б)

Исходный график — гипербола $y = \frac{9}{x}$. Требуется перенести его на 1 единицу вниз. Это соответствует случаю переноса вниз, где $c = 1$.
Применяя правило, вычитаем 1 из исходной функции: $y = \frac{9}{x} - 1$.
Ответ: $y = \frac{9}{x} - 1$.

в)

Исходный график — $y = \sqrt{x}$. Требуется перенести его на 2 единицы вниз. Это соответствует случаю переноса вниз, где $c = 2$.
Применяя правило, вычитаем 2 из исходной функции: $y = \sqrt{x} - 2$.
Ответ: $y = \sqrt{x} - 2$.

г)

Исходный график — $y = |x|$. Требуется перенести его на 4 единицы вверх. Это соответствует случаю переноса вверх, где $c = 4$.
Применяя правило, прибавляем 4 к исходной функции: $y = |x| + 4$.
Ответ: $y = |x| + 4$.

22.6 График какой функции получится, если:

а) параболу $y = -0.5x^2$ перенести на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$;

б) гиперболу $y = -\frac{8}{x}$ перенести на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$;

в) график функции $y = -\sqrt{x}$ перенести на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$;

г) график функции $y = -|x|$ перенести на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$?

а) Для того чтобы осуществить параллельный перенос графика функции $y = f(x)$ на $m$ единиц вниз вдоль оси ординат ($Oy$), необходимо из функции вычесть это число $m$. Исходная функция — парабола $y = -0,5x^2$. Перенос осуществляется на 1 единицу вниз. Таким образом, уравнение новой функции будет $y = -0,5x^2 - 1$.
Ответ: $y = -0,5x^2 - 1$.

б) Для того чтобы осуществить параллельный перенос графика функции $y = f(x)$ на $m$ единиц вверх вдоль оси ординат ($Oy$), необходимо к функции прибавить это число $m$. Исходная функция — гипербола $y = -\frac{8}{x}$. Перенос осуществляется на 4 единицы вверх. Следовательно, уравнение новой функции будет $y = -\frac{8}{x} + 4$.
Ответ: $y = -\frac{8}{x} + 4$.

в) Правило для переноса графика функции $y = f(x)$ на $m$ единиц вверх вдоль оси $Oy$ заключается в прибавлении $m$ к функции, получая $y = f(x) + m$. В данном случае исходный график задан функцией $y = -\sqrt{x}$, и его нужно перенести на 3 единицы вверх. Применяя правило, получаем новую функцию: $y = -\sqrt{x} + 3$.
Ответ: $y = -\sqrt{x} + 3$.

г) Правило для переноса графика функции $y = f(x)$ на $m$ единиц вниз вдоль оси $Oy$ заключается в вычитании $m$ из функции, получая $y = f(x) - m$. Исходный график задан функцией $y = -|x|$, и его нужно перенести на 2 единицы вниз. Применяя правило, получаем искомую функцию: $y = -|x| - 2$.
Ответ: $y = -|x| - 2$.