Страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Графическое решение уравнений.

Графический метод решения уравнений — это способ нахождения корней уравнения с помощью построения графиков функций. Этот метод особенно полезен для определения количества корней и их приблизительных значений, когда аналитическое решение затруднительно.

Суть метода

Идея метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение, которое можно представить в виде $f(x) = g(x)$. Корнями (или решениями) этого уравнения являются такие значения $x$, при которых значения функций $f(x)$ и $g(x)$ равны.

Если построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат, то в точках их пересечения ординаты (значения $y$) будут одинаковы. Это означает, что для абсциссы $x_0$ точки пересечения выполняется равенство $f(x_0) = g(x_0)$. Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков и являются корнями исходного уравнения.

Частным случаем является решение уравнения вида $F(x) = 0$. В этом случае строится график функции $y = F(x)$, и корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этого графика с осью $Ox$ (так как на оси $Ox$ ордината $y$ равна нулю).

Ответ: Суть графического метода заключается в том, чтобы представить уравнение в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$, построить их графики $y = f(x)$ и $y = g(x)$ и найти абсциссы точек пересечения этих графиков, которые и будут являться решениями уравнения.

Алгоритм решения

Для решения уравнения графическим методом необходимо выполнить следующие шаги:

1. Представить исходное уравнение в виде $f(x) = g(x)$. Функции $f(x)$ и $g(x)$ следует выбирать так, чтобы их графики было относительно просто построить (например, прямая, парабола, гипербола, корень и т.д.).
2. Построить в одной системе координат графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
3. Найти точки пересечения построенных графиков.
4. Определить абсциссы (координаты $x$) найденных точек пересечения. Эти значения и будут корнями уравнения. Если графики не пересекаются, уравнение не имеет действительных корней. Если они касаются, уравнение имеет один корень (или корень четной кратности).

Ответ: Алгоритм включает преобразование уравнения к виду $f(x) = g(x)$, построение графиков $y = f(x)$ и $y = g(x)$, нахождение их точек пересечения и определение абсцисс этих точек.

Пример 1: Решить уравнение $\sqrt{x} = 6 - x$

1. Уравнение уже представлено в виде $f(x) = g(x)$. Введем две функции: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 6 - x$.

2. Построим графики этих функций в одной системе координат.

• $y_1 = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$. График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).
• $y_2 = 6 - x$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, (0, 6) и (6, 0).

3. Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке.

4. Из графика видно, что абсцисса точки пересечения равна 4. Проверим это значение, подставив в исходное уравнение:
$\sqrt{4} = 6 - 4$
$2 = 2$
Равенство верное, значит $x = 4$ является корнем уравнения.

Ответ: $x = 4$.

Пример 2: Определить количество корней уравнения $x^3 - x - 1 = 0$

1. Преобразуем уравнение к виду $f(x) = g(x)$. Перенесем члены $x$ и $1$ в правую часть:
$x^3 = x + 1$
Введем функции: $y_1 = x^3$ и $y_2 = x + 1$.

2. Построим графики этих функций.

• $y_1 = x^3$ — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 8), (-1, -1), (-2, -8).
• $y_2 = x + 1$ — прямая, проходящая через точки (0, 1) и (-1, 0).

3. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются только в одной точке. Эта точка находится в первой четверти, ее абсцисса примерно равна $1.3$.

4. Так как графики имеют одну точку пересечения, исходное уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: Уравнение имеет один корень.

2. Преобразование графиков функций.

Преобразование графиков функций позволяет строить графики сложных функций, отталкиваясь от графиков более простых, базовых функций. Пусть исходная функция задана уравнением $y=f(x)$. Рассмотрим основные виды преобразований.

1. Вертикальный сдвиг

График функции $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем его сдвига вдоль оси OY.

• Если $c > 0$, то сдвиг выполняется вверх на $c$ единиц.
• Если $c < 0$, то сдвиг выполняется вниз на $|c|$ единиц.

Например, чтобы построить график параболы $y = x^2 + 2$, нужно сдвинуть график $y=x^2$ на 2 единицы вверх. Чтобы построить $y = x^2 - 3$, нужно сдвинуть график $y=x^2$ на 3 единицы вниз.

Ответ: Преобразование $y = f(x) + c$ сдвигает график функции $y=f(x)$ на $c$ единиц вдоль оси OY.

2. Горизонтальный сдвиг

График функции $y = f(x - c)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем его сдвига вдоль оси OX.

• Если $c > 0$, то сдвиг выполняется вправо на $c$ единиц. Например, $y = (x-4)^2$.
• Если $c < 0$, то сдвиг выполняется влево на $|c|$ единиц. Например, $y = (x+4)^2 = (x - (-4))^2$.

Например, чтобы построить график $y = \sqrt{x-2}$, нужно сдвинуть график $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо. Чтобы построить $y = \sqrt{x+1}$, нужно сдвинуть график $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево.

Ответ: Преобразование $y = f(x-c)$ сдвигает график функции $y=f(x)$ на $c$ единиц вдоль оси OX.

3. Вертикальное растяжение и сжатие

График функции $y = a \cdot f(x)$ (при $a > 0$) получается из графика функции $y = f(x)$ путем его растяжения или сжатия вдоль оси OY.

• Если $a > 1$, то происходит растяжение графика от оси OX в $a$ раз.
• Если $0 < a < 1$, то происходит сжатие графика к оси OX в $1/a$ раз.

При этом каждая ордината (координата $y$) точки графика умножается на коэффициент $a$. Например, график $y=2\sin(x)$ получается растяжением графика $y=\sin(x)$ в 2 раза вдоль оси OY. График $y=0.5x^2$ получается сжатием параболы $y=x^2$ в 2 раза к оси OX.

Ответ: Преобразование $y = a \cdot f(x)$ при $a>0$ растягивает (если $a>1$) или сжимает (если $0<a<1$) график функции $y=f(x)$ вдоль оси OY.

4. Горизонтальное растяжение и сжатие

График функции $y = f(bx)$ (при $b > 0$) получается из графика функции $y = f(x)$ путем его растяжения или сжатия вдоль оси OX.

• Если $b > 1$, то происходит сжатие графика к оси OY в $b$ раз.
• Если $0 < b < 1$, то происходит растяжение графика от оси OY в $1/b$ раз.

При этом каждая абсцисса (координата $x$) точки графика делится на коэффициент $b$. Например, график $y=\cos(2x)$ получается сжатием графика $y=\cos(x)$ в 2 раза к оси OY (период функции уменьшается в 2 раза). График $y=\cos(x/3)$ получается растяжением графика $y=\cos(x)$ в 3 раза от оси OY.

Ответ: Преобразование $y = f(bx)$ при $b>0$ сжимает (если $b>1$) или растягивает (если $0<b<1$) график функции $y=f(x)$ вдоль оси OX.

5. Отражение относительно осей координат

Отражения являются частными случаями растяжения с отрицательным коэффициентом.

• Функция $y = -f(x)$ получается из $y = f(x)$ симметричным отражением относительно оси OX.
• Функция $y = f(-x)$ получается из $y = f(x)$ симметричным отражением относительно оси OY.

Например, график $y = -x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, полученная отражением $y=x^2$ относительно оси OX. График $y = \sqrt{-x}$ (определенный для $x \le 0$) получается отражением графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси OY.

Ответ: Преобразование $y = -f(x)$ отражает график $y=f(x)$ относительно оси OX, а преобразование $y = f(-x)$ — относительно оси OY.

6. Преобразования, связанные с модулем

Существует два основных типа преобразований с модулем.

• Для построения графика функции $y = |f(x)|$, часть графика $y = f(x)$, лежащая над осью OX или на ней, остается без изменений, а часть, лежащая под осью OX, симметрично отражается относительно оси OX.
• Для построения графика функции $y = f(|x|)$, часть графика $y=f(x)$, лежащая в правой полуплоскости (где $x \ge 0$), остается без изменений и симметрично отражается относительно оси OY в левую полуплоскость. Часть исходного графика для $x < 0$ при этом отбрасывается.

Например, для построения $y=|x^2-4|$, мы строим параболу $y=x^2-4$ и часть графика ниже оси OX (между $x=-2$ и $x=2$) отражаем вверх. Для построения $y=\ln(|x|)$, мы строим график $y=\ln(x)$ для $x>0$ и отражаем его относительно оси OY.

Ответ: Для $y=|f(x)|$ часть графика ниже оси OX отражается вверх. Для $y=f(|x|)$ часть графика для $x \ge 0$ отражается влево относительно оси OY.

7. Комбинация преобразований

При построении графика функции вида $y = a \cdot f(b(x-c)) + d$ из графика $y=f(x)$ важен порядок действий. Рекомендуется следующий порядок:

1. 1. Сначала выполняются растяжения/сжатия и отражения (умножение на $a$ и $b$). То есть переход от $y=f(x)$ к $y=a \cdot f(bx)$.
2. 2. Затем выполняются сдвиги (прибавление $c$ и $d$). То есть переход от $y=a \cdot f(bx)$ к $y=a \cdot f(b(x-c)) + d$.

Например, построим график функции $y = -2\sqrt{-(x-3)} + 1$. Базовая функция $y=\sqrt{x}$.

• 1. $y=\sqrt{x} \rightarrow y=\sqrt{-x}$ (отражение по OY).
• 2. $y=\sqrt{-x} \rightarrow y=2\sqrt{-x}$ (растяжение по OY в 2 раза).
• 3. $y=2\sqrt{-x} \rightarrow y=-2\sqrt{-x}$ (отражение по OX).
• 4. $y=-2\sqrt{-x} \rightarrow y=-2\sqrt{-(x-3)}$ (сдвиг вправо на 3).
• 5. $y=-2\sqrt{-(x-3)} \rightarrow y=-2\sqrt{-(x-3)} + 1$ (сдвиг вверх на 1).

Ответ: При построении графика функции $y = a \cdot f(b(x-c)) + d$ из графика $y=f(x)$ преобразования удобнее выполнять в порядке: отражения и растяжения/сжатия, а затем сдвиги.

3. Дробно-линейная функция.

Определение дробно-линейной функции

Дробно-линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $x$ — независимая переменная, а $a, b, c, d$ — некоторые действительные числа.

При этом на коэффициенты накладываются два важных ограничения:

1. $c \neq 0$. Если $c=0$, функция принимает вид $y = \frac{ax+b}{d} = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d}$, то есть становится линейной, а не дробно-линейной.
2. $ad - bc \neq 0$. Если $ad - bc = 0$, то $ad=bc$. При $c \neq 0$ и $d \neq 0$ это можно записать как $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. Обозначив это отношение как $k$, получим $a=ck$ и $b=dk$. Тогда функция примет вид $y = \frac{ckx+dk}{cx+d} = \frac{k(cx+d)}{cx+d} = k$. То есть, функция становится постоянной (константой) на всей области определения.

Таким образом, дробно-линейная функция — это отношение двух линейных функций, которое не является ни линейной функцией, ни константой.

Ответ: Дробно-линейная функция — это функция вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $x$ — переменная, $a, b, c, d$ — константы, причем $c \neq 0$ и $ad-bc \neq 0$.

Основные свойства и график

Основные свойства дробно-линейной функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$:

• Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $cx+d \neq 0$, откуда $x \neq -\frac{d}{c}$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; -\frac{d}{c}) \cup (-\frac{d}{c}; +\infty)$.
• Область значений: Чтобы найти область значений, можно выразить $x$ через $y$: $y(cx+d) = ax+b \Rightarrow cxy+dy = ax+b \Rightarrow x(cy-a) = b-dy \Rightarrow x = \frac{b-dy}{cy-a}$. Из этого выражения видно, что $cy-a \neq 0$, то есть $y \neq \frac{a}{c}$. Таким образом, область значений $E(y) = (-\infty; \frac{a}{c}) \cup (\frac{a}{c}; +\infty)$.
• Асимптоты: График дробно-линейной функции имеет две асимптоты — прямые, к которым график приближается, но никогда их не пересекает.
  • Вертикальная асимптота: прямая $x = -\frac{d}{c}$. Это значение $x$, при котором функция не определена.
  • Горизонтальная асимптота: прямая $y = \frac{a}{c}$. Это значение $y$, которое функция никогда не принимает.
• График: Графиком дробно-линейной функции является гипербола. Её ветви расположены в квадрантах, образованных пересечением асимптот.
• Преобразование к каноническому виду: Любую дробно-линейную функцию можно представить в виде $y = y_0 + \frac{k}{x-x_0}$ путем выделения целой части из дроби. В этом виде:
  • $(x_0, y_0)$ — координаты точки пересечения асимптот (центр симметрии гиперболы), где $x_0 = -\frac{d}{c}$ и $y_0 = \frac{a}{c}$.
  • $k = \frac{bc-ad}{c^2}$ — коэффициент, определяющий форму и расположение ветвей гиперболы. Если $k>0$, ветви расположены в I и III квадрантах относительно асимптот. Если $k<0$, то во II и IV квадрантах.
• Монотонность: Функция строго монотонна на каждом из интервалов своей области определения.
  • Если $ad-bc > 0$ (или $k<0$ в каноническом виде, т.к. $k=\frac{-(ad-bc)}{c^2}$), функция возрастает на $(-\infty; -d/c)$ и на $(-d/c; +\infty)$.
  • Если $ad-bc < 0$ (или $k>0$), функция убывает на $(-\infty; -d/c)$ и на $(-d/c; +\infty)$.

Ответ: Свойства функции $y=\frac{ax+b}{cx+d}$: область определения $x \neq -d/c$; область значений $y \neq a/c$; вертикальная асимптота $x = -d/c$ и горизонтальная асимптота $y = a/c$. Графиком является гипербола.

Алгоритм построения графика дробно-линейной функции

Для построения графика функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ рекомендуется выполнить следующие шаги:

1. Найти асимптоты. Найти вертикальную асимптоту из условия $cx+d=0 \Rightarrow x = -d/c$. Найти горизонтальную асимптоту $y = a/c$. Начертить их на координатной плоскости пунктирными линиями.
2. Найти точки пересечения с осями координат.
   • С осью $Oy$: подставить $x=0$ в уравнение функции, $y = b/d$. Точка $(0, b/d)$.
   • С осью $Ox$: приравнять $y=0$, $\frac{ax+b}{cx+d} = 0 \Rightarrow ax+b=0 \Rightarrow x = -b/a$. Точка $(-b/a, 0)$.
   Отметить эти точки на графике.
3. Найти несколько дополнительных точек. Выбрать несколько значений $x$ слева и справа от вертикальной асимптоты и вычислить для них соответствующие значения $y$. Это поможет точнее построить ветви гиперболы.
4. Построить график. Соединить полученные точки плавными линиями, образуя две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам.

Ответ: Для построения графика дробно-линейной функции необходимо найти и начертить её асимптоты, определить точки пересечения с осями координат, вычислить несколько дополнительных точек и плавно соединить их, формируя две ветви гиперболы.

Пример построения графика

Построим график функции $y = \frac{2x+8}{x+2}$.

Здесь $a=2, b=8, c=1, d=2$.

1. Находим асимптоты.

• Вертикальная асимптота: $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = \frac{a}{c} = \frac{2}{1} = 2$.

2. Находим точки пересечения с осями.

• С осью $Oy$ ($x=0$): $y = \frac{2 \cdot 0 + 8}{0+2} = \frac{8}{2} = 4$. Точка пересечения $(0, 4)$.
• С осью $Ox$ ($y=0$): $\frac{2x+8}{x+2} = 0 \Rightarrow 2x+8 = 0 \Rightarrow x = -4$. Точка пересечения $(-4, 0)$.

3. Определим расположение ветвей.

Преобразуем функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{2x+8}{x+2} = \frac{2(x+2) - 4 + 8}{x+2} = \frac{2(x+2) + 4}{x+2} = 2 + \frac{4}{x+2}$.

Здесь $k=4$. Так как $k > 0$, ветви гиперболы будут расположены в I и III квадрантах относительно асимптот $x=-2, y=2$.

4. Находим дополнительные точки.

• $x=-3 \Rightarrow y = \frac{2(-3)+8}{-3+2} = \frac{2}{-1} = -2$. Точка $(-3, -2)$.
• $x=-6 \Rightarrow y = \frac{2(-6)+8}{-6+2} = \frac{-4}{-4} = 1$. Точка $(-6, 1)$.
• $x=-1 \Rightarrow y = \frac{2(-1)+8}{-1+2} = \frac{6}{1} = 6$. Точка $(-1, 6)$.
• $x=2 \Rightarrow y = \frac{2(2)+8}{2+2} = \frac{12}{4} = 3$. Точка $(2, 3)$.

5. Строим график.

Наносим на координатную плоскость асимптоты $x=-2$ и $y=2$, отмечаем точки $(0, 4)$, $(-4, 0)$, $(-3, -2)$, $(-6, 1)$, $(-1, 6)$, $(2, 3)$ и строим через них ветви гиперболы.

Ответ: Для функции $y = \frac{2x+8}{x+2}$ вертикальная асимптота $x=-2$, горизонтальная асимптота $y=2$. График — гипербола, проходящая через точки $(0,4)$ и $(-4,0)$ и расположенная в первом и третьем квадрантах относительно своих асимптот.

23.5 График какой функции получится, если:

а) параболу $y = 2,5x^2$ перенести на 3 единицы влево и на 4 единицы вниз;

б) гиперболу $y = -\frac{4}{x}$ перенести на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх;

в) график функции $y = \sqrt{x}$ перенести на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх;

г) график функции $y = |x|$ перенести на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз?

а) Для того чтобы перенести график функции $y=f(x)$ на $a$ единиц влево, необходимо в формуле заменить $x$ на $(x+a)$. Для переноса на $b$ единиц вниз необходимо из значения функции вычесть $b$. В данном случае исходная функция $y = 2,5x^2$. Перенос на 3 единицы влево дает функцию $y = 2,5(x+3)^2$. Последующий перенос на 4 единицы вниз дает итоговую функцию $y = 2,5(x+3)^2 - 4$.

Ответ: $y = 2,5(x+3)^2 - 4$

б) Перенос графика функции $y=f(x)$ на $a$ единиц вправо соответствует замене $x$ на $(x-a)$, а перенос на $b$ единиц вверх — прибавлению $b$ к значению функции. Исходная функция — гипербола $y = -\frac{4}{x}$. Перенос на 2 единицы вправо дает функцию $y = -\frac{4}{x-2}$. Затем, перенос на 1 единицу вверх приводит к итоговой функции $y = -\frac{4}{x-2} + 1$.

Ответ: $y = -\frac{4}{x-2} + 1$

в) Для переноса графика функции $y=f(x)$ на $a$ единиц влево необходимо заменить $x$ на $(x+a)$, а для переноса на $b$ единиц вверх — прибавить $b$ к функции. Исходная функция: $y = \sqrt{x}$. Перенос графика на 1 единицу влево преобразует функцию в $y = \sqrt{x+1}$. Последующий перенос на 2 единицы вверх дает окончательный вид функции: $y = \sqrt{x+1} + 2$.

Ответ: $y = \sqrt{x+1} + 2$

г) Перенос графика функции $y=f(x)$ на $a$ единиц вправо соответствует замене $x$ на $(x-a)$, а перенос на $b$ единиц вниз — вычитанию $b$ из функции. Исходная функция: $y = |x|$. Перенос на 3 единицы вправо дает функцию $y = |x-3|$. Дальнейший перенос на 1 единицу вниз приводит к итоговой функции $y = |x-3| - 1$.

Ответ: $y = |x-3| - 1$

23.6 График какой функции получится, если:

а) параболу $y = -\frac{1}{3}x^2$ перенести на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх;

б) гиперболу $y = \frac{3}{x}$ перенести на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз;

в) график функции $y = -\sqrt{x}$ перенести на 4 единицы влево и на 2 единицы вниз;

г) график функции $y = -|x|$ перенести на 6 единиц вправо и на 3 единицы вверх?

Для решения этой задачи воспользуемся общими правилами преобразования графиков функций. График функции $y = f(x-a) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса на $a$ единиц по горизонтали и на $b$ единиц по вертикали.

• Если $a > 0$, сдвиг происходит вправо. Если $a < 0$, сдвиг происходит влево на $|a|$ единиц.
• Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх. Если $b < 0$, сдвиг происходит вниз на $|b|$ единиц.

а) Исходная функция — парабола $y = -\frac{1}{3}x^2$. Требуется перенести ее график на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх.
Перенос на 2 единицы вправо означает, что мы заменяем $x$ на $(x-2)$.
Перенос на 3 единицы вверх означает, что мы прибавляем 3 ко всей функции.
Таким образом, новое уравнение будет иметь вид:
$y = -\frac{1}{3}(x-2)^2 + 3$
Ответ: $y = -\frac{1}{3}(x-2)^2 + 3$

б) Исходная функция — гипербола $y = \frac{3}{x}$. Требуется перенести ее график на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз.
Перенос на 1 единицу влево означает, что мы заменяем $x$ на $(x+1)$.
Перенос на 2 единицы вниз означает, что мы вычитаем 2 из всей функции.
Новое уравнение:
$y = \frac{3}{x+1} - 2$
Ответ: $y = \frac{3}{x+1} - 2$

в) Исходная функция — $y = -\sqrt{x}$. Требуется перенести ее график на 4 единицы влево и на 2 единицы вниз.
Перенос на 4 единицы влево означает замену $x$ на $(x+4)$.
Перенос на 2 единицы вниз означает вычитание 2 из всей функции.
Новое уравнение:
$y = -\sqrt{x+4} - 2$
Ответ: $y = -\sqrt{x+4} - 2$

г) Исходная функция — $y = -|x|$. Требуется перенести ее график на 6 единиц вправо и на 3 единицы вверх.
Перенос на 6 единиц вправо означает замену $x$ на $(x-6)$.
Перенос на 3 единицы вверх означает прибавление 3 ко всей функции.
Новое уравнение:
$y = -|x-6| + 3$
Ответ: $y = -|x-6| + 3$

Постройте график функции:

23.7 а) $y = (x + 1)^2 - 2;$

б) $y = -(x + 3)^2 + 1;$

в) $y = -(x - 4)^2 + 3;$

г) $y = (x - 2)^2 - 5.$

a)

Для построения графика функции $y = (x + 1)^2 - 2$ используется метод геометрических преобразований графика базовой функции $y = x^2$.
Уравнение функции представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины параболы. В данном случае $a = 1$, $h = -1$, $k = -2$.

1. Вершина параболы. Координаты вершины находятся в точке $(h, k) = (-1, -2)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $a = 1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Ось симметрии. Вертикальная прямая, проходящая через вершину, $x = h$, то есть $x = -1$.

4. Ключевые точки для построения.
- Найдем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x = 0$: $y = (0 + 1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- Найдем точки пересечения с осью $Ox$, подставив $y = 0$: $0 = (x + 1)^2 - 2 \Rightarrow (x + 1)^2 = 2 \Rightarrow x + 1 = \pm\sqrt{2} \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{2}$. Точки $(-1 - \sqrt{2}, 0)$ и $(-1 + \sqrt{2}, 0)$.
- Для более точного построения найдем еще одну пару симметричных точек. Возьмем $x=1$: $y = (1+1)^2-2 = 4-2=2$. Точка $(1, 2)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=-1$ имеет абсциссу $x=-3$ и ту же ординату, то есть $(-3, 2)$.

Построение графика заключается в том, чтобы нанести на координатную плоскость вершину и найденные точки, а затем соединить их плавной кривой.

Ответ: График функции — это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу влево по оси абсцисс и на 2 единицы вниз по оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(-1, -2)$, ветви направлены вверх.

б)

График функции $y = -(x + 3)^2 + 1$ — это парабола. Уравнение представлено в форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -1$, $h = -3$, $k = 1$.

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(h, k) = (-3, 1)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Ось симметрии. Прямая $x = h$, то есть $x = -3$.

4. Ключевые точки для построения.
- Пересечение с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = -(0 + 3)^2 + 1 = -9 + 1 = -8$. Точка $(0, -8)$.
- Пересечение с осью $Ox$ ($y = 0$): $0 = -(x + 3)^2 + 1 \Rightarrow (x + 3)^2 = 1 \Rightarrow x + 3 = \pm 1$. Отсюда $x_1 = -3 - 1 = -4$ и $x_2 = -3 + 1 = -2$. Точки $(-4, 0)$ и $(-2, 0)$.

График строится на основе параболы $y = -x^2$ (ветви вниз, вершина в начале координат) путем ее сдвига. Сдвигаем график $y = -x^2$ на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.

Ответ: График функции — это парабола с вершиной в точке $(-3, 1)$ и ветвями, направленными вниз. График получен из параболы $y=-x^2$ сдвигом на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.

в)

График функции $y = -(x - 4)^2 + 3$ — это парабола. Уравнение представлено в форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -1$, $h = 4$, $k = 3$.

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(h, k) = (4, 3)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Ось симметрии. Прямая $x = h$, то есть $x = 4$.

4. Ключевые точки для построения.
- Пересечение с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = -(0 - 4)^2 + 3 = -16 + 3 = -13$. Точка $(0, -13)$.
- Пересечение с осью $Ox$ ($y = 0$): $0 = -(x - 4)^2 + 3 \Rightarrow (x - 4)^2 = 3 \Rightarrow x - 4 = \pm\sqrt{3} \Rightarrow x = 4 \pm \sqrt{3}$. Точки $(4 - \sqrt{3}, 0)$ и $(4 + \sqrt{3}, 0)$.
- Дополнительные точки: при $x=3$, $y=-(3-4)^2+3 = 2$. Точка $(3,2)$. Симметричная ей точка — $(5,2)$.

График получается из параболы $y=-x^2$ сдвигом на 4 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.

Ответ: График функции — это парабола с вершиной в точке $(4, 3)$ и ветвями, направленными вниз. График получен из параболы $y=-x^2$ сдвигом на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх.

г)

График функции $y = (x - 2)^2 - 5$ — это парабола. Уравнение представлено в форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = 1$, $h = 2$, $k = -5$.

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(h, k) = (2, -5)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $a = 1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Ось симметрии. Прямая $x = h$, то есть $x = 2$.

4. Ключевые точки для построения.
- Пересечение с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = (0 - 2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- Пересечение с осью $Ox$ ($y = 0$): $0 = (x - 2)^2 - 5 \Rightarrow (x - 2)^2 = 5 \Rightarrow x - 2 = \pm\sqrt{5} \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{5}$. Точки $(2 - \sqrt{5}, 0)$ и $(2 + \sqrt{5}, 0)$.
- Точка, симметричная $(0, -1)$ относительно оси $x=2$, имеет абсциссу $x=4$ и ту же ординату, то есть $(4, -1)$.

График получается из параболы $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox и на 5 единиц вниз по оси Oy.

Ответ: График функции — это парабола с вершиной в точке $(2, -5)$ и ветвями, направленными вверх. График получен сдвигом параболы $y=x^2$ на 2 единицы вправо и на 5 единиц вниз.

23.8 a) $y = 2(x + 5)^2 - 3;$

б) $y = -3(x - 1)^2 + 4;$

в) $y = -4(x - 2)^2 - 1;$

г) $y = 0,5(x + 4)^2 + 1.$

Для анализа каждой функции, представленной в виде $y = a(x - h)^2 + k$, мы определим координаты вершины параболы $(h, k)$, уравнение оси симметрии $x = h$ и направление ветвей параболы, которое зависит от знака коэффициента $a$.

а) $y = 2(x + 5)^2 - 3$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

Сравнивая с общей формой, запишем уравнение как $y = 2(x - (-5))^2 + (-3)$. Отсюда получаем коэффициенты: $a = 2$, $h = -5$, $k = -3$.

Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-5, -3)$.

Осью симметрии является вертикальная прямая $x = h$, то есть $x = -5$.

Поскольку коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(-5, -3)$, ось симметрии — прямая $x = -5$, ветви направлены вверх.

б) $y = -3(x - 1)^2 + 4$

Это квадратичная функция, записанная в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

Из уравнения $y = -3(x - 1)^2 + 4$ находим коэффициенты: $a = -3$, $h = 1$, $k = 4$.

Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(1, 4)$.

Осью симметрии является прямая $x = h$, то есть $x = 1$.

Так как коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(1, 4)$, ось симметрии — прямая $x = 1$, ветви направлены вниз.

в) $y = -4(x - 2)^2 - 1$

Это квадратичная функция, записанная в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

Сравнивая с общей формой, запишем уравнение как $y = -4(x - 2)^2 + (-1)$. Отсюда получаем коэффициенты: $a = -4$, $h = 2$, $k = -1$.

Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(2, -1)$.

Осью симметрии является прямая $x = h$, то есть $x = 2$.

Поскольку коэффициент $a = -4 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(2, -1)$, ось симметрии — прямая $x = 2$, ветви направлены вниз.

г) $y = 0,5(x + 4)^2 + 1$

Это квадратичная функция, записанная в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

Сравнивая с общей формой, запишем уравнение как $y = 0,5(x - (-4))^2 + 1$. Отсюда получаем коэффициенты: $a = 0,5$, $h = -4$, $k = 1$.

Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-4, 1)$.

Осью симметрии является прямая $x = h$, то есть $x = -4$.

Так как коэффициент $a = 0,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: вершина параболы находится в точке $(-4, 1)$, ось симметрии — прямая $x = -4$, ветви направлены вверх.

23.9 a) $y = \frac{3}{x+5} + 2;$

б) $y = -\frac{1}{x-3} + 4;$

в) $y = \frac{1}{x+4} - 1;$

г) $y = -\frac{1}{x-1} - 1.$

а) $y = \frac{3}{x+5} + 2$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. График можно получить из графика функции $y = \frac{3}{x}$ с помощью параллельных переносов: на 5 единиц влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

1. Область определения функции (D(y)):

   Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x+5 \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$.

   Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

2. Асимптоты графика:

   Вертикальная асимптота — прямая, при приближении $x$ к которой функция стремится к бесконечности. Это происходит, когда знаменатель равен нулю. Уравнение вертикальной асимптоты: $x = -5$.

   Горизонтальная асимптота — прямая, к которой стремится график функции при $x \to \pm\infty$. Когда $x$ стремится к бесконечности, дробь $\frac{3}{x+5}$ стремится к нулю, и тогда $y$ стремится к 2. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 2$.

3. Область значений функции (E(y)):

   Из-за наличия горизонтальной асимптоты $y=2$, функция принимает все значения, кроме 2.

   Таким образом, область значений: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат:

   • С осью ординат (Oy), где $x=0$:

     $y(0) = \frac{3}{0+5} + 2 = \frac{3}{5} + 2 = \frac{13}{5} = 2.6$.

     Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2.6)$.

   • С осью абсцисс (Ox), где $y=0$:

     $0 = \frac{3}{x+5} + 2 \implies \frac{3}{x+5} = -2 \implies 3 = -2(x+5) \implies 3 = -2x - 10 \implies 2x = -13 \implies x = -6.5$.

     Точка пересечения с осью Ox: $(-6.5; 0)$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Асимптоты: вертикальная $x = -5$, горизонтальная $y = 2$.
Пересечение с Oy: $(0; 2.6)$.
Пересечение с Ox: $(-6.5; 0)$.

б) $y = -\frac{1}{x-3} + 4$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. График можно получить из графика функции $y = -\frac{1}{x}$ с помощью параллельных переносов: на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

1. Область определения функции (D(y)):

   Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

   Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Асимптоты графика:

   Вертикальная асимптота: $x = 3$.

   Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, дробь $-\frac{1}{x-3} \to 0$, поэтому $y \to 4$. Уравнение: $y = 4$.

3. Область значений функции (E(y)):

   Функция принимает все значения, кроме значения горизонтальной асимптоты.

   Таким образом, область значений: $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат:

   • С осью Oy ($x=0$):

     $y(0) = -\frac{1}{0-3} + 4 = \frac{1}{3} + 4 = \frac{13}{3}$.

     Точка пересечения с осью Oy: $(0; \frac{13}{3})$.

   • С осью Ox ($y=0$):

     $0 = -\frac{1}{x-3} + 4 \implies \frac{1}{x-3} = 4 \implies 1 = 4(x-3) \implies 1 = 4x - 12 \implies 4x = 13 \implies x = \frac{13}{4} = 3.25$.

     Точка пересечения с осью Ox: $(3.25; 0)$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
Асимптоты: вертикальная $x = 3$, горизонтальная $y = 4$.
Пересечение с Oy: $(0; \frac{13}{3})$.
Пересечение с Ox: $(3.25; 0)$.

в) $y = \frac{1}{x+4} - 1$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. График можно получить из графика функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью параллельных переносов: на 4 единицы влево вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

1. Область определения функции (D(y)):

   Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x+4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.

   Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2. Асимптоты графика:

   Вертикальная асимптота: $x = -4$.

   Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, дробь $\frac{1}{x+4} \to 0$, поэтому $y \to -1$. Уравнение: $y = -1$.

3. Область значений функции (E(y)):

   Функция принимает все значения, кроме значения горизонтальной асимптоты.

   Таким образом, область значений: $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат:

   • С осью Oy ($x=0$):

     $y(0) = \frac{1}{0+4} - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} = -0.75$.

     Точка пересечения с осью Oy: $(0; -0.75)$.

   • С осью Ox ($y=0$):

     $0 = \frac{1}{x+4} - 1 \implies \frac{1}{x+4} = 1 \implies x+4 = 1 \implies x = -3$.

     Точка пересечения с осью Ox: $(-3; 0)$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Асимптоты: вертикальная $x = -4$, горизонтальная $y = -1$.
Пересечение с Oy: $(0; -0.75)$.
Пересечение с Ox: $(-3; 0)$.

г) $y = -\frac{1}{x-1} - 1$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. График можно получить из графика функции $y = -\frac{1}{x}$ с помощью параллельных переносов: на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

1. Область определения функции (D(y)):

   Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

   Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Асимптоты графика:

   Вертикальная асимптота: $x = 1$.

   Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, дробь $-\frac{1}{x-1} \to 0$, поэтому $y \to -1$. Уравнение: $y = -1$.

3. Область значений функции (E(y)):

   Функция принимает все значения, кроме значения горизонтальной асимптоты.

   Таким образом, область значений: $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат:

   • С осью Oy ($x=0$):

     $y(0) = -\frac{1}{0-1} - 1 = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$.

     Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.

   • С осью Ox ($y=0$):

     $0 = -\frac{1}{x-1} - 1 \implies -1 = \frac{1}{x-1} \implies -(x-1) = 1 \implies -x+1=1 \implies x=0$.

     Точка пересечения с осью Ox: $(0; 0)$.

     График проходит через начало координат.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Асимптоты: вертикальная $x = 1$, горизонтальная $y = -1$.
Пересечение с осями координат: в точке $(0; 0)$ (начало координат).

23.10 a) $y = -\frac{3}{x-1} + 2;$

б) $y = \frac{2}{x+3} - 4;$

в) $y = \frac{4}{x-5} - 1;$

г) $y = -\frac{5}{x+3} + 3.$

а) Дана функция $y = -\frac{3}{x-1} + 2$.
Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. График этой функции получается из графика функции $y = -\frac{3}{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо по оси Оx и на 2 единицы вверх по оси Оy.
1. Асимптоты графика.
Вертикальная асимптота определяется из условия, что знаменатель дроби равен нулю:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Горизонтальная асимптота определяется сдвигом по оси Oy:
$y = 2$.
2. Область определения и область значений.
Область определения $D(y)$ — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
$D(y): x \neq 1$, или $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
Область значений $E(y)$ — все действительные числа, кроме значения горизонтальной асимптоты.
$E(y): y \neq 2$, или $y \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
Для нахождения точки пересечения с осью OY подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = -\frac{3}{0-1} + 2 = 3 + 2 = 5$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 5)$.
Для нахождения точки пересечения с осью OX подставим $y=0$ в уравнение функции:
$0 = -\frac{3}{x-1} + 2 \implies \frac{3}{x-1} = 2 \implies 3 = 2(x-1) \implies 3 = 2x - 2 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$.
Точка пересечения с осью OX: $(2.5; 0)$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=1$, горизонтальная асимптота: $y=2$.

б) Дана функция $y = \frac{2}{x+3} - 4$.
График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{2}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Оx и на 4 единицы вниз по оси Оy.
1. Асимптоты графика.
Вертикальная асимптота: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.
Горизонтальная асимптота: $y = -4$.
2. Область определения и область значений.
Область определения $D(y): x \neq -3$, или $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.
Область значений $E(y): y \neq -4$, или $y \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с OY ($x=0$):
$y(0) = \frac{2}{0+3} - 4 = \frac{2}{3} - 4 = \frac{2-12}{3} = -\frac{10}{3}$. Точка: $(0; -10/3)$.
Пересечение с OX ($y=0$):
$0 = \frac{2}{x+3} - 4 \implies 4 = \frac{2}{x+3} \implies 4(x+3) = 2 \implies 4x + 12 = 2 \implies 4x = -10 \implies x = -2.5$.
Точка: $(-2.5; 0)$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=-3$, горизонтальная асимптота: $y=-4$.

в) Дана функция $y = \frac{4}{x-5} - 1$.
График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 5 единиц вправо по оси Оx и на 1 единицу вниз по оси Оy.
1. Асимптоты графика.
Вертикальная асимптота: $x - 5 = 0 \implies x = 5$.
Горизонтальная асимптота: $y = -1$.
2. Область определения и область значений.
Область определения $D(y): x \neq 5$, или $x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.
Область значений $E(y): y \neq -1$, или $y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с OY ($x=0$):
$y(0) = \frac{4}{0-5} - 1 = -\frac{4}{5} - 1 = -\frac{9}{5}$. Точка: $(0; -1.8)$.
Пересечение с OX ($y=0$):
$0 = \frac{4}{x-5} - 1 \implies 1 = \frac{4}{x-5} \implies x-5 = 4 \implies x = 9$.
Точка: $(9; 0)$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=5$, горизонтальная асимптота: $y=-1$.

г) Дана функция $y = -\frac{5}{x+3} + 3$.
График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = -\frac{5}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Оx и на 3 единицы вверх по оси Оy.
1. Асимптоты графика.
Вертикальная асимптота: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.
Горизонтальная асимптота: $y = 3$.
2. Область определения и область значений.
Область определения $D(y): x \neq -3$, или $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.
Область значений $E(y): y \neq 3$, или $y \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с OY ($x=0$):
$y(0) = -\frac{5}{0+3} + 3 = -\frac{5}{3} + 3 = \frac{-5+9}{3} = \frac{4}{3}$. Точка: $(0; 4/3)$.
Пересечение с OX ($y=0$):
$0 = -\frac{5}{x+3} + 3 \implies \frac{5}{x+3} = 3 \implies 5 = 3(x+3) \implies 5 = 3x + 9 \implies 3x = -4 \implies x = -4/3$.
Точка: $(-4/3; 0)$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=-3$, горизонтальная асимптота: $y=3$.

23.11 a) $y = \sqrt{x + 1} + 2$;

б) $y = |x + 3| - 4$;

в) $y = \sqrt{x - 1} - 1$;

г) $y = |x - 2| + 3$.

а) $y = \sqrt{x + 1} + 2$

Чтобы построить график данной функции, необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. График функции $f(x+a)$ получается сдвигом графика $f(x)$ на $|a|$ единиц влево, если $a > 0$, и вправо, если $a < 0$. График функции $f(x)+b$ получается сдвигом графика $f(x)$ на $|b|$ единиц вверх, если $b > 0$, и вниз, если $b < 0$.

1. Базовой функцией является $y = \sqrt{x}$. Её график — ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0; 0)$.

2. Преобразование $x \rightarrow x+1$ соответствует сдвигу графика функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$. Получаем график функции $y = \sqrt{x+1}$. Начальная точка графика смещается в $(-1; 0)$.

3. Прибавление константы 2 к функции, то есть $y = \sqrt{x+1} + 2$, соответствует сдвигу графика $y=\sqrt{x+1}$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Начальная точка графика смещается в $(-1; 2)$.

Ответ: график функции $y = \sqrt{x + 1} + 2$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх.

б) $y = |x + 3| - 4$

Построение графика этой функции выполняется аналогично с помощью преобразований графика базовой функции $y = |x|$.

1. Базовой функцией является $y = |x|$. Её график — две прямые $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в точке $(0; 0)$.

2. Преобразование $x \rightarrow x+3$ соответствует сдвигу графика функции $y = |x|$ на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$. Получаем график функции $y = |x+3|$. Вершина смещается в точку $(-3; 0)$.

3. Вычитание константы 4 из функции, то есть $y = |x+3| - 4$, соответствует сдвигу графика $y=|x+3|$ на 4 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Вершина смещается в точку $(-3; -4)$.

Ответ: график функции $y = |x + 3| - 4$ получается из графика функции $y = |x|$ путем параллельного переноса на 3 единицы влево и на 4 единицы вниз.

в) $y = \sqrt{x - 1} - 1$

Построение графика этой функции выполняется с помощью преобразований графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Базовой функцией является $y = \sqrt{x}$.

2. Преобразование $x \rightarrow x-1$ соответствует сдвигу графика функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$. Получаем график функции $y = \sqrt{x-1}$. Начальная точка графика смещается в $(1; 0)$.

3. Вычитание константы 1 из функции, то есть $y = \sqrt{x-1} - 1$, соответствует сдвигу графика $y=\sqrt{x-1}$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Начальная точка графика смещается в $(1; -1)$.

Ответ: график функции $y = \sqrt{x - 1} - 1$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо и на 1 единицу вниз.

г) $y = |x - 2| + 3$

Построение графика этой функции выполняется с помощью преобразований графика базовой функции $y = |x|$.

1. Базовой функцией является $y = |x|$.

2. Преобразование $x \rightarrow x-2$ соответствует сдвигу графика функции $y = |x|$ на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Получаем график функции $y = |x-2|$. Вершина смещается в точку $(2; 0)$.

3. Прибавление константы 3 к функции, то есть $y = |x-2| + 3$, соответствует сдвигу графика $y=|x-2|$ на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина смещается в точку $(2; 3)$.

Ответ: график функции $y = |x - 2| + 3$ получается из графика функции $y = |x|$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх.