Страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

23.21 Постройте график функции $y = |x - 2| - 3$. С помощью графика найдите:

а) наименьшее значение функции;

б) промежутки возрастания, убывания функции;

в) значения $x$, при которых $y = 0, y > 0, y < 0;$

г) множество значений функции.

Для построения графика функции $y = |x - 2| - 3$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Построим график базовой функции $y = |x|$. Это V-образная кривая (известная как "галочка"), состоящая из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.
2. Сместим график $y = |x|$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получим график функции $y = |x - 2|$. Вершина графика сместится в точку $(2, 0)$.
3. Сместим график $y = |x - 2|$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Получим искомый график функции $y = |x - 2| - 3$. Вершина графика сместится в точку $(2, -3)$.

Итоговый график — это V-образная кривая с вершиной в точке $(2, -3)$, ветви которой направлены вверх.
Аналитически функцию можно задать кусочно:
Если $x \ge 2$, то $y = (x - 2) - 3 = x - 5$.
Если $x < 2$, то $y = -(x - 2) - 3 = -x + 2 - 3 = -x - 1$.

Используя построенный график, ответим на вопросы задачи.

а) наименьшее значение функции;
Наименьшее значение функция достигает в своей вершине. Из построения графика следует, что вершина имеет координаты $(2, -3)$. Следовательно, наименьшее значение функции равно ординате (y-координате) вершины.
Ответ: $-3$.

б) промежутки возрастания, убывания функции;
По графику видно, что функция убывает на луче слева от вершины (где $x < 2$) и возрастает на луче справа от вершины (где $x > 2$). Точка $x=2$ является точкой минимума, поэтому ее включают в оба промежутка.
Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.
Промежуток возрастания: $[2, +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

в) значения x, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;
1. Найдем значения $x$, при которых $y = 0$. Это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox (нули функции).
Решим уравнение: $|x - 2| - 3 = 0 \implies |x - 2| = 3$.
Это уравнение равносильно двум:
$x - 2 = 3 \implies x = 5$.
$x - 2 = -3 \implies x = -1$.

2. Найдем значения $x$, при которых $y > 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным выше оси Ox. Исходя из расположения графика и его нулей ($x=-1$ и $x=5$), это происходит, когда $x < -1$ или $x > 5$.

3. Найдем значения $x$, при которых $y < 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным ниже оси Ox. Это происходит, когда $x$ находится между нулями функции, то есть $-1 < x < 5$.
Ответ: $y=0$ при $x=-1$ и $x=5$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-1, 5)$.

г) множество значений функции.
Множество значений функции (или область значений) — это все значения, которые может принимать переменная $y$. Поскольку наименьшее значение функции равно $-3$ (достигается в вершине), а ветви графика неограниченно уходят вверх, область значений — это все числа, большие или равные $-3$.
Ответ: $[-3, +\infty)$.

23.22 Постройте график функции $y = 5 - |x + 2|$. С помощью графика найдите:

а) наибольшее значение функции;

б) промежутки возрастания, убывания функции;

в) значения $x$, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;

г) множество значений функции.

Для построения графика функции $y = 5 - |x + 2|$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Построим график основной функции $y_1 = |x|$. Это "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$.
2. Сдвинем график $y_1 = |x|$ на 2 единицы влево по оси Ox, чтобы получить график функции $y_2 = |x + 2|$. Вершина сместится в точку $(-2, 0)$.
3. Отразим график $y_2 = |x + 2|$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график функции $y_3 = -|x + 2|$. Это будет перевернутая "галочка" с вершиной в точке $(-2, 0)$.
4. Сдвинем график $y_3 = -|x + 2|$ на 5 единиц вверх по оси Oy, чтобы получить итоговый график функции $y = 5 - |x + 2|$. Вершина графика сместится в точку $(-2, 5)$.

График функции $y = 5 - |x + 2|$ представляет собой перевернутую "галочку" (два луча, выходящих из одной точки и направленных вниз), вершина которой находится в точке $(-2, 5)$.

Для большей точности найдем точки пересечения графика с осями координат:

• Пересечение с осью Oy (x=0): $y = 5 - |0 + 2| = 5 - 2 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Пересечение с осью Ox (y=0): $0 = 5 - |x + 2| \Rightarrow |x + 2| = 5$.
  Это уравнение распадается на два:
  1) $x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3$. Точка $(3, 0)$.
  2) $x + 2 = -5 \Rightarrow x = -7$. Точка $(-7, 0)$.

С помощью построенного графика найдем требуемые значения.

а) наибольшее значение функции;
Так как график функции представляет собой перевернутую "галочку", его наивысшая точка - это вершина. Координаты вершины $(-2, 5)$. Наибольшее значение функции равно ординате вершины.
Ответ: $y_{наиб} = 5$.

б) промежутки возрастания, убывания функции;
Функция возрастает на луче, который находится левее вершины, то есть до $x = -2$. Функция убывает на луче, который находится правее вершины, то есть после $x = -2$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -2]$; функция убывает на промежутке $[-2, +\infty)$.

в) значения х, при которых y = 0, y > 0, y < 0;
Анализируем положение графика относительно оси Ox.

• $y = 0$ в точках пересечения графика с осью Ox. Мы их нашли ранее.
• $y > 0$ на том участке, где график расположен выше оси Ox. Это происходит между точками пересечения.
• $y < 0$ на тех участках, где график расположен ниже оси Ox. Это происходит левее левой точки пересечения и правее правой.

Ответ: $y = 0$ при $x = -7$ и $x = 3$; $y > 0$ при $x \in (-7, 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -7) \cup (3, +\infty)$.

г) множество значений функции.
Множество значений функции (или область значений) — это все значения, которые может принимать $y$. Так как наибольшее значение функции равно 5, а ветви графика уходят вниз в бесконечность, функция принимает все значения от $-\infty$ до 5 включительно.
Ответ: $E(y) = (-\infty, 5]$.

23.23 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -3(x + 2)^2 - 1, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ 4x, & \text{если } -1 < x \le 1. \end{cases}$

Постройте график функции $y = f(x)$ и определите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$:

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней.

Для решения задачи сначала построим график функции $f(x)$, заданной кусочно: $f(x) = \begin{cases} -3(x + 2)^2 - 1, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ 4x, & \text{если } -1 < x \le 1. \end{cases}$

1. На отрезке $[-3, -1]$ функция задана формулой $y = -3(x + 2)^2 - 1$. Графиком является часть параболы. Так как коэффициент при $(x+2)^2$ отрицателен ($-3$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -2$. Ордината вершины: $y_0 = -3(-2 + 2)^2 - 1 = -1$. Точка $(-2, -1)$ является точкой максимума на этом участке. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(-3) = -3(-3 + 2)^2 - 1 = -3(1) - 1 = -4$. $f(-1) = -3(-1 + 2)^2 - 1 = -3(1) - 1 = -4$. Таким образом, на отрезке $[-3, -1]$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-2, -1)$ и концами в точках $(-3, -4)$ и $(-1, -4)$.

2. На полуинтервале $(-1, 1]$ функция задана формулой $y = 4x$. Графиком является отрезок прямой, проходящей через начало координат. Найдем значения функции на концах этого интервала: При $x \to -1$ (справа), $y \to 4(-1) = -4$. Точка $(-1, -4)$ не включена в этот участок графика ("выколотая" точка). При $x = 1$, $y = 4(1) = 4$. Точка $(1, 4)$ включена в график.

Объединив оба участка, мы получаем полный график функции $y = f(x)$. Заметим, что в точке $x = -1$ график непрерывен, так как значение функции от первого участка $f(-1) = -4$ совпадает с предельным значением второго участка при $x \to -1$.

Теперь определим, при каких значениях параметра $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет то или иное количество корней. Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$.

а) имеет один корень. Уравнение имеет один корень, если прямая $y=p$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в одной точке. Анализируя график, видим, что это происходит, когда прямая пересекает только восходящий линейный участок. Это соответствует значениям $p$, которые больше ординаты вершины параболы ($y=-1$) и не превышают максимального значения функции на всем ее отрезке определения ($y=4$). Таким образом, одно решение существует при $-1 < p \le 4$.
Ответ: $p \in (-1, 4]$.

б) имеет два корня. Уравнение имеет два корня, если прямая $y=p$ пересекает график ровно в двух точках. Это происходит в двух случаях: 1. Прямая $y = -1$ проходит через вершину параболы в точке $(-2, -1)$ и пересекает линейный участок в точке, где $4x = -1$, т.е. $x = -1/4$. 2. Прямая $y = -4$ проходит через две точки на параболе: $(-3, -4)$ и $(-1, -4)$.
Ответ: $p = -4; p = -1$.

в) имеет три корня. Уравнение имеет три корня, если прямая $y=p$ пересекает график в трех точках. Это происходит, когда прямая расположена строго между уровнем концов параболы ($y=-4$) и уровнем ее вершины ($y=-1$). В этом случае прямая $y=p$ пересекает параболу в двух точках и линейный участок в одной точке. Это выполняется для всех $p$ из интервала $-4 < p < -1$.
Ответ: $p \in (-4, -1)$.

г) не имеет корней. Уравнение не имеет корней, если прямая $y=p$ не имеет с графиком $y=f(x)$ ни одной общей точки. Это происходит, когда прямая $y=p$ проходит ниже минимального значения функции ($y_{min}=-4$) или выше ее максимального значения ($y_{max}=4$).
Ответ: $p \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

23.24 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x+1} + 2, & \text{если } x < -1; \\ -2x - 2, & \text{если } x \ge -1. \end{cases}$

а) Найдите $f(-2)$; $f(-1)$; $f(0,25)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) С помощью графика функции найдите значения $x$, при которых $f(x) = 1$, $f(x) = 0$, $f(x) = -2$.

а)

Для нахождения значений функции необходимо определить, какому интервалу принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Найдем $f(-2)$. Так как $x = -2 < -1$, используем первую формулу: $f(x) = \frac{2}{x+1} + 2$.
  $f(-2) = \frac{2}{-2+1} + 2 = \frac{2}{-1} + 2 = -2 + 2 = 0$.

• Найдем $f(-1)$. Так как $x = -1 \ge -1$, используем вторую формулу: $f(x) = -2x - 2$.
  $f(-1) = -2(-1) - 2 = 2 - 2 = 0$.

• Найдем $f(0,25)$. Так как $x = 0,25 \ge -1$, используем вторую формулу: $f(x) = -2x - 2$.
  $f(0,25) = -2 \cdot 0,25 - 2 = -0,5 - 2 = -2,5$.

Ответ: $f(-2) = 0$; $f(-1) = 0$; $f(0,25) = -2,5$.

б)

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей.

1. При $x < -1$ функция задается формулой $y = \frac{2}{x+1} + 2$. Это гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{2}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Асимптоты этой гиперболы: вертикальная $x = -1$ и горизонтальная $y = 2$.
   Найдем несколько точек для построения этой части графика:
   При $x = -2$, $y = \frac{2}{-2+1} + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
   При $x = -3$, $y = \frac{2}{-3+1} + 2 = 1$. Точка $(-3, 1)$.
   При $x = -1,5$, $y = \frac{2}{-1,5+1} + 2 = -2$. Точка $(-1,5, -2)$.

2. При $x \ge -1$ функция задается формулой $y = -2x - 2$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек.
   Найдем значение в граничной точке $x = -1$: $y = -2(-1) - 2 = 0$. Точка $(-1, 0)$ является началом луча (точка закрашенная).
   Найдем еще одну точку, например, при $x = 0$: $y = -2(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
   Таким образом, эта часть графика — луч, выходящий из точки $(-1, 0)$ и проходящий через точку $(0, -2)$.

Построим график:

Ответ: График построен.

в)

Найдем значения $x$ с помощью построенного графика. Для этого проведем горизонтальные прямые $y=1$, $y=0$ и $y=-2$ и найдем абсциссы точек их пересечения с графиком функции $f(x)$.

• При $f(x) = 1$:
  Прямая $y=1$ пересекает график в одной точке, которая лежит на ветви гиперболы. Из графика видно, что абсцисса этой точки $x = -3$.
  Проверим аналитически: $\frac{2}{x+1} + 2 = 1 \implies \frac{2}{x+1} = -1 \implies 2 = -x-1 \implies x = -3$. Это значение удовлетворяет условию $x < -1$.

• При $f(x) = 0$:
  Прямая $y=0$ (ось Ox) пересекает график в двух точках. Одна точка лежит на ветви гиперболы, ее абсцисса $x = -2$. Другая точка — начало луча, ее абсцисса $x = -1$.
  Проверим: $f(-2) = 0$ и $f(-1) = 0$, как было вычислено в пункте а).

• При $f(x) = -2$:
  Прямая $y=-2$ пересекает график в двух точках. Одна точка лежит на ветви гиперболы. Найдем ее абсциссу: $\frac{2}{x+1} + 2 = -2 \implies \frac{2}{x+1} = -4 \implies 2 = -4x-4 \implies 4x = -6 \implies x = -1,5$. Это значение удовлетворяет условию $x < -1$.
  Вторая точка лежит на луче. Найдем ее абсциссу: $-2x-2 = -2 \implies -2x = 0 \implies x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge -1$.
  Таким образом, $x = -1,5$ и $x = 0$.

Ответ: $f(x) = 1$ при $x = -3$; $f(x) = 0$ при $x = -2$ и $x = -1$; $f(x) = -2$ при $x = -1,5$ и $x = 0$.

23.25 Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$, где:

a) $f(x) = \begin{cases} (x+2)^2 + 2, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ (x+1)^2 + 1, & \text{если } x > -1; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} - 1, & \text{если } -4 \le x \le 0; \\ -x^2 + 1, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

a) $f(x) = \begin{cases} (x+2)^2 + 2, & \text{если } -3 \le x \le -1 \\ (x+1)^2 + 1, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

Функция является кусочно-заданной. Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. График функции $y = (x+2)^2 + 2$ на промежутке $-3 \le x \le -1$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y=x^2$ путем сдвига на 2 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(-2, 2)$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

• При $x = -3$: $y = (-3+2)^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 3$. Координаты точки: $(-3, 3)$. Точка закрашенная.
• При $x = -1$: $y = (-1+2)^2 + 2 = 1^2 + 2 = 3$. Координаты точки: $(-1, 3)$. Точка закрашенная.

Вершина параболы с абсциссой $x = -2$ принадлежит данному промежутку. Таким образом, на отрезке $[-3, -1]$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-2, 2)$ и концами в точках $(-3, 3)$ и $(-1, 3)$.

2. График функции $y = (x+1)^2 + 1$ на промежутке $x > -1$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y=x^2$ путем сдвига на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(-1, 1)$.

Поскольку промежуток строгий ($x > -1$), точка с абсциссой $x=-1$ не принадлежит графику. Найдем предел функции при $x \to -1^+$:

$y \to (-1+1)^2 + 1 = 1$. Точка $(-1, 1)$ является началом луча параболы и изображается на графике как выколотая (пустой кружок).

Для более точного построения найдем еще одну точку, например, при $x=0$: $y = (0+1)^2 + 1 = 2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит графику.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(f) = [-3, -1] \cup (-1, \infty) = [-3, \infty)$.
• Область значений: На первом участке значения изменяются от 2 до 3, то есть $[2, 3]$. На втором участке значения больше 1, то есть $(1, \infty)$. Объединяя эти множества, получаем $E(f) = (1, \infty)$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $[-3, -2]$; функция возрастает на промежутках $[-2, -1]$ и $(-1, \infty)$.
• Нули функции: нет, так как все значения функции строго больше 1.
• Экстремумы: $x = -2$ является точкой локального минимума, $y_{min} = f(-2) = 2$.
• Непрерывность: функция непрерывна на каждом из промежутков $[-3, -1]$ и $(-1, \infty)$, но в точке $x = -1$ имеет разрыв (скачок), так как $f(-1) = 3$, а предел справа $\lim_{x\to-1^+} f(x) = 1$.
• Четность и нечетность: функция общего вида, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.

Ответ: График функции построен. Свойства функции: область определения $D(f) = [-3, \infty)$; область значений $E(f) = (1, \infty)$; функция убывает на $[-3, -2]$ и возрастает на $[-2, -1]$ и $(-1, \infty)$; нулей нет; точка локального минимума $x=-2$.

б) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} - 1, & \text{если } -4 \le x \le 0 \\ -x^2 + 1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Функция является кусочно-заданной. Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. График функции $y = \sqrt{x+4} - 1$ на промежутке $-4 \le x \le 0$.

Это график функции $y=\sqrt{x}$, смещенный на 4 единицы влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. График представляет собой возрастающую дугу.

Найдем значения функции на концах отрезка:

• При $x = -4$: $y = \sqrt{-4+4} - 1 = 0 - 1 = -1$. Координаты точки: $(-4, -1)$. Точка закрашенная.
• При $x = 0$: $y = \sqrt{0+4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Координаты точки: $(0, 1)$. Точка закрашенная.

2. График функции $y = -x^2 + 1$ на промежутке $x > 0$.

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Она получена из графика $y=-x^2$ путем сдвига на 1 единицу вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.

Поскольку промежуток строгий ($x > 0$), точка с абсциссой $x=0$ не принадлежит этому участку графика. Найдем предел функции при $x \to 0^+$:

$y \to -0^2 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$ является началом луча параболы и изображается как выколотая.

Поскольку значение первого участка в точке $x=0$ равно 1, и предел второго участка в этой же точке равен 1, функция является непрерывной в точке $x=0$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(f) = [-4, 0] \cup (0, \infty) = [-4, \infty)$.
• Область значений: На первом участке значения изменяются от -1 до 1, то есть $[-1, 1]$. На втором участке значения меньше 1, то есть $(-\infty, 1)$. Объединяя эти множества, получаем $E(f) = (-\infty, 1]$.
• Нули функции:
  • На первом участке: $\sqrt{x+4} - 1 = 0 \implies \sqrt{x+4} = 1 \implies x+4=1 \implies x=-3$.
  • На втором участке: $-x^2 + 1 = 0 \implies x^2=1$. Учитывая, что $x>0$, получаем $x=1$.
  Нули функции: $x=-3$ и $x=1$.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $[-4, 0]$; функция убывает на промежутке $[0, \infty)$.
• Экстремумы: $x = -4$ — точка глобального минимума, $y_{min} = f(-4) = -1$. $x = 0$ — точка глобального максимума, $y_{max} = f(0) = 1$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $D(f)=[-4, \infty)$.
• Четность и нечетность: функция общего вида, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.
• Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-3, 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4, -3) \cup (1, \infty)$.

Ответ: График функции построен. Свойства функции: область определения $D(f) = [-4, \infty)$; область значений $E(f) = (-\infty, 1]$; функция возрастает на $[-4, 0]$ и убывает на $[0, \infty)$; нули функции $x=-3, x=1$; $y_{max} = 1$ при $x=0$; $y_{min} = -1$ при $x=-4$.