Страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

24.46 $y = \begin{cases} -\frac{2}{x}, \text{ если } x < -1; \\ 4 - 3x^2, \text{ если } -1 \leq x \leq 1; \\ |x - 2|, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Поскольку в задании дана только функция, стандартной задачей для такого типа упражнений является построение графика и исследование свойств функции, например, нахождение числа решений уравнения $y=m$. Выполним эти два пункта.

1. Построение графика функции

Для построения графика заданной кусочной функции $y = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < -1 \\ 4 - 3x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ |x - 2|, & \text{если } x > 1 \end{cases}$ рассмотрим каждый ее участок отдельно.

На промежутке $x < -1$ функция задана формулой $y = -\frac{2}{x}$.
Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. График асимптотически приближается к оси абсцисс ($y=0$) при $x \to -\infty$. Найдем значение на границе интервала, чтобы определить, куда "подходит" кривая. При $x \to -1^-$, значение $y \to -\frac{2}{-1} = 2$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1; 2)$ на графике будет выколотой (пустой). Для построения возьмем еще одну контрольную точку, например, $x=-2$, тогда $y = -\frac{2}{-2} = 1$.

На отрезке $-1 \le x \le 1$ функция задана формулой $y = 4 - 3x^2$.
Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$. Ордината вершины $y_v = 4 - 3 \cdot 0^2 = 4$. Таким образом, вершина параболы — точка $(0; 4)$. Найдем значения функции на концах отрезка:
при $x = -1$, $y = 4 - 3(-1)^2 = 4 - 3 = 1$. Точка $(-1; 1)$ принадлежит графику.
при $x = 1$, $y = 4 - 3(1)^2 = 4 - 3 = 1$. Точка $(1; 1)$ также принадлежит графику.
На данном участке график представляет собой дугу параболы с вершиной в $(0; 4)$ и концами в точках $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.

На промежутке $x > 1$ функция задана формулой $y = |x - 2|$.
График этой функции имеет V-образную форму («уголок») с вершиной в точке, где выражение под модулем равно нулю: $x-2=0 \implies x=2$. Вершина находится в точке $(2; |2-2|) = (2; 0)$.
На границе промежутка при $x \to 1^+$, имеем $y \to |1 - 2| = |-1| = 1$. Точка $(1; 1)$ является начальной для этого участка, но она выколота. Однако, так как на предыдущем участке в точке $(1; 1)$ была закрашенная точка, функция является непрерывной в точке $x=1$.
Для $x>1$ график состоит из двух лучей:
- луч прямой $y = -(x-2) = 2-x$ на интервале $(1; 2]$, идущий из точки $(1; 1)$ в точку $(2; 0)$.
- луч прямой $y = x-2$ на интервале $[2; +\infty)$, идущий из точки $(2; 0)$ вверх, например, через точку $(3; 1)$.

Итоги построения.
Объединив все части, получаем график функции.
В точке $x=-1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как предел слева $\lim_{x\to-1^-} y(x) = 2$, а значение функции в точке $y(-1)=1$.
В точке $x=1$ функция непрерывна, так как значение функции и пределы слева и справа равны 1.

Ответ: График функции построен. Он состоит из ветви гиперболы на $(-\infty; -1)$, участка параболы на $[-1; 1]$ и двух лучей, образующих график модуля, на $(1; \infty)$. Функция имеет разрыв в точке $x=-1$ и непрерывна во всех остальных точках области определения.

2. Определение значений $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки

Проанализируем количество точек пересечения горизонтальной прямой $y=m$ с построенным графиком, мысленно перемещая эту прямую вдоль оси ординат снизу вверх.
- При $m < 0$: прямая не пересекает график. 0 точек.
- При $m = 0$: прямая касается графика в вершине модуля в точке $(2; 0)$. 1 точка пересечения.
- При $0 < m < 1$: прямая пересекает ветвь гиперболы (1 точка) и "уголок" модуля (2 точки). Всего $1+2=3$ точки.
- При $m = 1$: прямая пересекает гиперболу ($x=-2$), параболу в двух точках ($x=\pm 1$) и график модуля ($x=3$). Всего 4 точки.
- При $1 < m < 2$: прямая пересекает гиперболу (1 точка), параболу (2 точки) и график модуля (1 точка). Всего $1+2+1=4$ точки.
- При $m = 2$: прямая проходит через выколотую точку $(-1; 2)$, поэтому пересечения с гиперболой нет. Пересекает параболу в двух точках ($x = \pm\sqrt{2/3}$) и график модуля в одной точке ($x=4$). Всего $0+2+1=3$ точки.
- При $2 < m < 4$: прямая не пересекает гиперболу, но пересекает параболу (2 точки) и график модуля (1 точка). Всего $0+2+1=3$ точки.
- При $m = 4$: прямая касается вершины параболы в точке $(0; 4)$ и пересекает график модуля в точке $(6; 4)$. Всего $1+1=2$ точки.
- При $m > 4$: прямая пересекает только график модуля в одной точке. 1 точка.
Из проведенного анализа следует, что прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки только при одном значении $m$.

Ответ: $m = 4$.

24.47 а) Используя графики функций $y = x^2 - 2x - 1$ и $y = -\frac{2}{x}$, определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $x^2 - 2x - 1 < -\frac{2}{x}$.

б) Используя графики функций $y = -x^2 + 6x - 3$ и $y = \frac{6}{x - 2}$, определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $-x^2 + 6x - 3 > \frac{6}{x - 2}$.

а)

Для решения неравенства $x^2 - 2x - 1 < -\frac{2}{x}$ графическим методом необходимо построить графики функций $y_1 = x^2 - 2x - 1$ и $y_2 = -\frac{2}{x}$ в одной системе координат и определить, на каких интервалах график $y_1$ лежит ниже графика $y_2$.

1. Построение графика функции $y_1 = x^2 - 2x - 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_в = (1)^2 - 2(1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$.
Найдем несколько дополнительных точек:
При $x=-1$, $y = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 2$.
При $x=0$, $y = -1$.
При $x=2$, $y = 2^2 - 2(2) - 1 = -1$.

2. Построение графика функции $y_2 = -\frac{2}{x}$.
Это гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях. Ее асимптоты — оси координат ($x=0$ и $y=0$).
Найдем несколько точек:
При $x=-1$, $y = -\frac{2}{-1} = 2$.
При $x=1$, $y = -\frac{2}{1} = -2$.
При $x=2$, $y = -\frac{2}{2} = -1$.
При $x=-2$, $y = -\frac{2}{-2} = 1$.

3. Анализ графиков.
Построив графики, мы можем найти их точки пересечения. Из вычисленных точек видно, что графики пересекаются в точках с абсциссами $x=-1$, $x=1$ и $x=2$.
Неравенство $y_1 < y_2$ выполняется на тех интервалах оси $x$, где график параболы расположен ниже графика гиперболы.
Рассматривая интервалы, ограниченные точками пересечения и асимптотой $x=0$, получаем:

• На интервале $(-\infty, -1)$ парабола выше гиперболы ($y_1 > y_2$).
• На интервале $(-1, 0)$ парабола ниже гиперболы ($y_1 < y_2$).
• На интервале $(0, 1)$ парабола выше гиперболы ($y_1 > y_2$).
• На интервале $(1, 2)$ парабола ниже гиперболы ($y_1 < y_2$).
• На интервале $(2, +\infty)$ парабола выше гиперболы ($y_1 > y_2$).

Следовательно, неравенство выполняется при $x \in (-1, 0) \cup (1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, 2)$.

б)

Для решения неравенства $-x^2 + 6x - 3 > \frac{6}{x-2}$ графическим методом необходимо построить графики функций $y_1 = -x^2 + 6x - 3$ и $y_2 = \frac{6}{x-2}$ в одной системе координат и определить, на каких интервалах график $y_1$ лежит выше графика $y_2$.

1. Построение графика функции $y_1 = -x^2 + 6x - 3$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.
$y_в = -(3)^2 + 6(3) - 3 = -9 + 18 - 3 = 6$.
Вершина параболы находится в точке $(3, 6)$.
Найдем несколько дополнительных точек:
При $x=0$, $y = -3$.
При $x=2$, $y = -(2)^2 + 6(2) - 3 = 5$.
При $x=5$, $y = -(5)^2 + 6(5) - 3 = 2$.

2. Построение графика функции $y_2 = \frac{6}{x-2}$.
Это гипербола, смещенная на 2 единицы вправо относительно графика $y=\frac{6}{x}$. Ее асимптоты: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=0$.
Найдем несколько точек:
При $x=0$, $y = \frac{6}{0-2} = -3$.
При $x=3$, $y = \frac{6}{3-2} = 6$.
При $x=5$, $y = \frac{6}{5-2} = 2$.
При $x=8$, $y = \frac{6}{8-2} = 1$.

3. Анализ графиков.
Из вычисленных точек видно, что графики пересекаются в точках с абсциссами $x=0$, $x=3$ и $x=5$.
Неравенство $y_1 > y_2$ выполняется на тех интервалах оси $x$, где график параболы расположен выше графика гиперболы.
Рассматривая интервалы, ограниченные точками пересечения и асимптотой $x=2$, получаем:

• На интервале $(-\infty, 0)$ парабола ниже гиперболы ($y_1 < y_2$).
• На интервале $(0, 2)$ парабола выше гиперболы ($y_1 > y_2$).
• На интервале $(2, 3)$ парабола ниже гиперболы ($y_1 < y_2$).
• На интервале $(3, 5)$ парабола выше гиперболы ($y_1 > y_2$).
• На интервале $(5, +\infty)$ парабола ниже гиперболы ($y_1 < y_2$).

Следовательно, неравенство выполняется при $x \in (0, 2) \cup (3, 5)$.

Ответ: $x \in (0, 2) \cup (3, 5)$.

24.48 Найдите значение коэффициента $a$, если известно, что прямая $x = 2$ является осью симметрии графика функции $y = ax^2 - (a + 6)x + 9$.

Заданная функция $y = ax^2 - (a+6)x + 9$ является квадратичной. Графиком квадратичной функции является парабола.

Ось симметрии параболы, заданной в виде $y = Ax^2 + Bx + C$, определяется уравнением $x = x_0$, где $x_0$ — абсцисса вершины параболы. Формула для нахождения абсциссы вершины:

$x_0 = -\frac{B}{2A}$

В нашем случае коэффициенты равны:

$A = a$

$B = -(a+6)$

По условию задачи известно, что осью симметрии является прямая $x=2$. Это означает, что абсцисса вершины параболы $x_0 = 2$.

Подставим значения $x_0$, $A$ и $B$ в формулу для абсциссы вершины:

$2 = -\frac{-(a+6)}{2a}$

Упростим полученное уравнение. Отметим, что для того, чтобы функция была квадратичной, коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

$2 = \frac{a+6}{2a}$

Теперь решим это уравнение относительно $a$. Умножим обе части уравнения на $2a$:

$2 \cdot (2a) = a+6$

$4a = a+6$

Перенесем все слагаемые с $a$ в одну сторону:

$4a - a = 6$

$3a = 6$

Найдем $a$, разделив обе части на 3:

$a = \frac{6}{3}$

$a = 2$

Полученное значение $a=2$ удовлетворяет условию $a \neq 0$.

Ответ: 2

24.49 При каком значении коэффициента $c$ вершина параболы $y = x^2 + 6x + c$ находится на расстоянии 5 от начала координат?

Уравнение параболы дано в виде $y = x^2 + 6x + c$. Это квадратичная функция общего вида $y = ax^2 + bx + c$, где в нашем случае коэффициенты равны $a=1$ и $b=6$.

Для начала найдем координаты вершины параболы, которые обозначим как $(x_v, y_v)$. Абсцисса (координата x) вершины вычисляется по формуле:

$x_v = - \frac{b}{2a}$

Подставим значения коэффициентов $a=1$ и $b=6$ в эту формулу:

$x_v = - \frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

Теперь найдем ординату (координату y) вершины, подставив найденное значение $x_v = -3$ в исходное уравнение параболы:

$y_v = (-3)^2 + 6(-3) + c = 9 - 18 + c = c - 9$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $V(-3, c - 9)$.

Согласно условию задачи, расстояние от этой вершины до начала координат, точки $O(0, 0)$, должно быть равно 5. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Подставим координаты вершины $V(-3, c-9)$ и начала координат $O(0, 0)$, а также заданное расстояние $d=5$:

$5 = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (c - 9 - 0)^2}$

$5 = \sqrt{(-3)^2 + (c - 9)^2}$

$5 = \sqrt{9 + (c - 9)^2}$

Для того чтобы избавиться от квадратного корня и решить уравнение относительно $c$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$5^2 = (\sqrt{9 + (c - 9)^2})^2$

$25 = 9 + (c - 9)^2$

Теперь выразим скобку с неизвестной:

$(c - 9)^2 = 25 - 9$

$(c - 9)^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем два возможных варианта:

1) $c - 9 = \sqrt{16} \implies c - 9 = 4 \implies c = 13$

2) $c - 9 = -\sqrt{16} \implies c - 9 = -4 \implies c = 5$

Следовательно, мы нашли два значения коэффициента $c$, при которых выполняется условие задачи.

Ответ: 5 или 13.

24.50 При каких значениях коэффициентов $b$ и $c$ точка $A(1; -2)$ является вершиной параболы $y = x^2 + bx + c$?

Уравнение параболы дано в общем виде $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае, $y = x^2 + bx + c$, следовательно, коэффициент $a = 1$.

Координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$ связаны с коэффициентами уравнения. Абсцисса (координата x) вершины вычисляется по формуле:

$x_в = -\frac{b}{2a}$

По условию задачи, вершиной параболы является точка $A(1; -2)$. Это означает, что $x_в = 1$ и $y_в = -2$.

Подставим известные значения $x_в = 1$ и $a = 1$ в формулу для абсциссы вершины, чтобы найти коэффициент $b$:

$1 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$

$1 = -\frac{b}{2}$

Умножим обе части уравнения на -2:

$b = -2$

Теперь мы знаем значение коэффициента $b$. Уравнение параболы принимает вид $y = x^2 - 2x + c$.

Так как точка $A(1; -2)$ является вершиной параболы, она лежит на этой параболе. Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим значения $x = 1$ и $y = -2$ в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент $c$:

$-2 = (1)^2 - 2(1) + c$

Выполним вычисления:

$-2 = 1 - 2 + c$

$-2 = -1 + c$

Перенесем -1 в левую часть уравнения:

$c = -2 + 1$

$c = -1$

Таким образом, мы определили значения обоих коэффициентов.

Ответ: $b = -2, c = -1$.

24.51 Найдите значения коэффициентов $a, b$ и $c$, если известно, что точка A(1; -2) является вершиной параболы $y = ax^2 + bx + c$ и что парабола пересекает ось ординат в точке B(0, 2).

Уравнение параболы в общем виде задается формулой $y = ax^2 + bx + c$. Для решения задачи воспользуемся также формой записи уравнения параболы через координаты её вершины $(h; k)$: $y = a(x - h)^2 + k$.

По условию, вершина параболы находится в точке $A(1; -2)$. Это означает, что $h=1$ и $k=-2$. Подставим эти значения в вершинную форму уравнения:

$y = a(x - 1)^2 - 2$

Нам также известно, что парабола пересекает ось ординат в точке $B(0; 2)$. Это значит, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы. Подставим $x=0$ и $y=2$ в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент $a$:

$2 = a(0 - 1)^2 - 2$

$2 = a(-1)^2 - 2$

$2 = a \cdot 1 - 2$

$2 = a - 2$

Отсюда находим $a$:

$a = 4$

Теперь, зная коэффициент $a$, мы можем записать полное уравнение параболы в вершинной форме: $y = 4(x - 1)^2 - 2$.

Чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$, необходимо преобразовать это уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = 4(x^2 - 2x + 1) - 2$

$y = 4x^2 - 8x + 4 - 2$

$y = 4x^2 - 8x + 2$

Сравнивая полученное уравнение со стандартной формой $y = ax^2 + bx + c$, мы можем определить значения искомых коэффициентов:

• $a = 4$
• $b = -8$
• $c = 2$

Ответ: $a = 4, b = -8, c = 2$.

24.52 Найдите значения коэффициентов $b$ и $c$, если известно, что график функции $y = x^2 + bx + c$ проходит через точки $(0; 8)$ и $(3; -1)$.

По условию, график функции $y = x^2 + bx + c$ проходит через две заданные точки. Это означает, что координаты каждой из этих точек должны удовлетворять уравнению функции. Мы можем составить систему уравнений, подставив координаты точек в уравнение, и найти неизвестные коэффициенты $b$ и $c$.

1. Подстановка координат точки (0; 8)

Подставим значения $x=0$ и $y=8$ в уравнение функции:

$8 = (0)^2 + b \cdot 0 + c$

$8 = 0 + 0 + c$

Из этого уравнения мы сразу находим значение коэффициента $c$:

$c = 8$

2. Подстановка координат точки (3; -1)

Теперь мы знаем, что $c=8$, и уравнение функции выглядит как $y = x^2 + bx + 8$. Подставим в это уравнение координаты второй точки $(3; -1)$, где $x=3$ и $y=-1$:

$-1 = (3)^2 + b \cdot 3 + 8$

$-1 = 9 + 3b + 8$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $b$:

$-1 = 17 + 3b$

Вычтем 17 из обеих частей уравнения:

$3b = -1 - 17$

$3b = -18$

Разделим обе части на 3:

$b = \frac{-18}{3}$

$b = -6$

Таким образом, мы нашли значения обоих коэффициентов.

Ответ: $b = -6, c = 8$.

24.53 Найдите значения коэффициентов $b$ и $c$, если известно, что график функции $y = x^2 + bx + c$ проходит через точки $(1; 6)$ и $(-1; -2)$.

Условие, что график функции $y = x^2 + bx + c$ проходит через определенную точку, означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Мы можем использовать это, чтобы составить систему уравнений для нахождения коэффициентов $b$ и $c$.

1. Подставим координаты первой точки $(1; 6)$ в уравнение функции $y = x^2 + bx + c$. Здесь $x=1$ и $y=6$:
$6 = 1^2 + b \cdot 1 + c$
$6 = 1 + b + c$
Перенесем 1 в левую часть:
$b + c = 5$

2. Подставим координаты второй точки $(-1; -2)$ в то же уравнение функции. Здесь $x=-1$ и $y=-2$:
$-2 = (-1)^2 + b \cdot (-1) + c$
$-2 = 1 - b + c$
Перенесем 1 в левую часть:
$-b + c = -3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} b + c = 5 \\ -b + c = -3 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(b + c) + (-b + c) = 5 + (-3)$
$2c = 2$
$c = 1$

Теперь, зная значение $c$, подставим его в любое из уравнений системы, например, в первое ($b + c = 5$):
$b + 1 = 5$
$b = 5 - 1$
$b = 4$

Мы нашли искомые значения коэффициентов: $b=4$ и $c=1$.
Ответ: $b=4, c=1$.

24.54 График какой квадратичной функции проходит через точки $K(-2; 3)$, $L(-1; 0)$, $M(0; -9)$?

Общий вид квадратичной функции: $y = ax^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$, необходимо подставить координаты данных точек K(-2; 3), L(-1; 0) и M(0; -9) в уравнение функции и решить получившуюся систему уравнений.

1. Подставим координаты точки M(0; -9):
$-9 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$
$-9 = c$
Таким образом, мы сразу находим значение коэффициента $c = -9$.

2. Подставим координаты точки L(-1; 0) и найденное значение $c = -9$:
$0 = a(-1)^2 + b(-1) + (-9)$
$0 = a - b - 9$
$a - b = 9$ (Уравнение 1)

3. Подставим координаты точки K(-2; 3) и найденное значение $c = -9$:
$3 = a(-2)^2 + b(-2) + (-9)$
$3 = 4a - 2b - 9$
$12 = 4a - 2b$
Разделим обе части уравнения на 2:
$6 = 2a - b$ (Уравнение 2)

4. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:
$\begin{cases}a - b = 9 \\2a - b = 6\end{cases}$

Чтобы решить систему, вычтем первое уравнение из второго:
$(2a - b) - (a - b) = 6 - 9$
$2a - b - a + b = -3$
$a = -3$

5. Подставим найденное значение $a = -3$ в Уравнение 1 ($a - b = 9$):
$-3 - b = 9$
$-b = 9 + 3$
$-b = 12$
$b = -12$

Мы нашли все коэффициенты: $a = -3$, $b = -12$, $c = -9$. Следовательно, искомая квадратичная функция имеет вид: $y = -3x^2 - 12x - 9$.

Ответ: $y = -3x^2 - 12x - 9$.

24.55 График какой квадратичной функции проходит через точки A$(2; 3)$, B$(0; 1)$, C$(3; 2)$?

Искомая квадратичная функция имеет общий вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — это коэффициенты, которые необходимо найти. Поскольку график функции проходит через заданные точки, их координаты должны удовлетворять этому уравнению.

Подставим координаты каждой из точек A(2; 3), B(0; 1) и C(3; 2) в уравнение функции, чтобы составить систему уравнений.

1. Для точки A(2; 3):
$3 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c$
$4a + 2b + c = 3$

2. Для точки B(0; 1):
$1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$
$c = 1$

3. Для точки C(3; 2):
$2 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c$
$9a + 3b + c = 2$

В результате мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} 4a + 2b + c = 3 \\ c = 1 \\ 9a + 3b + c = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения системы мы сразу находим значение коэффициента $c = 1$. Подставим это значение в первое и третье уравнения:

$4a + 2b + 1 = 3 \implies 4a + 2b = 2 \implies 2a + b = 1$
$9a + 3b + 1 = 2 \implies 9a + 3b = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:
$\begin{cases} 2a + b = 1 \\ 9a + 3b = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:
$b = 1 - 2a$

Подставим полученное выражение для $b$ во второе уравнение системы:
$9a + 3(1 - 2a) = 1$
$9a + 3 - 6a = 1$
$3a = 1 - 3$
$3a = -2$
$a = -\frac{2}{3}$

Теперь найдем значение $b$, подставив найденное значение $a$ в выражение $b = 1 - 2a$:
$b = 1 - 2(-\frac{2}{3}) = 1 + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$

Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $a = -\frac{2}{3}$, $b = \frac{7}{3}$, $c = 1$. Подставим эти значения в общее уравнение квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

Ответ: $y = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{7}{3}x + 1$