Страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

24.37 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -2x^2 + x - 4$. Найдите:

a) $f(-x)$;

б) $f(x + 5)$;

в) $f(-x^2)$;

г) $3f(2x)$.

Дана функция: $f(x) = -2x^2 + x - 4$.

а)

Для нахождения $f(-x)$ необходимо подставить $-x$ в выражение для функции вместо каждого вхождения $x$:

$f(-x) = -2(-x)^2 + (-x) - 4$

Выполним упрощение, учитывая, что $(-x)^2 = x^2$:

$f(-x) = -2x^2 - x - 4$

Ответ: $f(-x) = -2x^2 - x - 4$.

б)

Для нахождения $f(x + 5)$ необходимо подставить выражение $(x+5)$ в выражение для функции вместо $x$:

$f(x + 5) = -2(x + 5)^2 + (x + 5) - 4$

Раскроем скобки. Сначала используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$

Теперь подставим это в основное выражение и упростим:

$f(x + 5) = -2(x^2 + 10x + 25) + x + 5 - 4$

$f(x + 5) = -2x^2 - 20x - 50 + x + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$f(x + 5) = -2x^2 - 19x - 49$

Ответ: $f(x + 5) = -2x^2 - 19x - 49$.

в)

Для нахождения $f(-x^2)$ необходимо подставить $-x^2$ в выражение для функции вместо $x$:

$f(-x^2) = -2(-x^2)^2 + (-x^2) - 4$

Выполним упрощение, учитывая, что $(-x^2)^2 = x^4$:

$f(-x^2) = -2x^4 - x^2 - 4$

Ответ: $f(-x^2) = -2x^4 - x^2 - 4$.

г)

Для нахождения $3f(2x)$ сначала найдем значение $f(2x)$, подставив $2x$ вместо $x$:

$f(2x) = -2(2x)^2 + (2x) - 4$

Упростим полученное выражение:

$f(2x) = -2(4x^2) + 2x - 4 = -8x^2 + 2x - 4$

Теперь умножим весь результат на 3:

$3f(2x) = 3(-8x^2 + 2x - 4)$

$3f(2x) = -24x^2 + 6x - 12$

Ответ: $3f(2x) = -24x^2 + 6x - 12$.

24.38 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2 - 3x + 12$. При каком значении аргумента выполняется равенство $f(x - 1) = f(x + 1)$?

По условию задачи нам дана функция $f(x) = 2x^2 - 3x + 12$. Требуется найти значение $x$, при котором выполняется равенство $f(x-1) = f(x+1)$.

Для этого мы должны составить выражения для левой и правой частей равенства, подставив в формулу функции соответствующие аргументы.

1. Найдем выражение для $f(x-1)$. Для этого подставим $(x-1)$ вместо $x$ в исходное уравнение функции:

$f(x-1) = 2(x-1)^2 - 3(x-1) + 12$

Раскроем скобки. Для $(x-1)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$f(x-1) = 2(x^2 - 2x + 1) - 3(x-1) + 12$

$f(x-1) = 2x^2 - 4x + 2 - 3x + 3 + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$f(x-1) = 2x^2 - 7x + 17$

2. Теперь найдем выражение для $f(x+1)$. Подставим $(x+1)$ вместо $x$:

$f(x+1) = 2(x+1)^2 - 3(x+1) + 12$

Раскроем скобки. Для $(x+1)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$f(x+1) = 2(x^2 + 2x + 1) - 3(x+1) + 12$

$f(x+1) = 2x^2 + 4x + 2 - 3x - 3 + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$f(x+1) = 2x^2 + x + 11$

3. Теперь, когда у нас есть оба выражения, приравняем их согласно условию $f(x-1) = f(x+1)$ и решим полученное уравнение:

$2x^2 - 7x + 17 = 2x^2 + x + 11$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые коэффициенты — в правую. Член $2x^2$ взаимно уничтожается в обеих частях:

$-7x - x = 11 - 17$

Упростим обе части:

$-8x = -6$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на -8:

$x = \frac{-6}{-8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Таким образом, равенство выполняется при $x = \frac{3}{4}$.

Ответ: $x = \frac{3}{4}$

24.39 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^2 + 4x - 3$. При каком значении аргумента выполняется равенство $f(2x + 3) = 4f(x - 2)$?

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^2 + 4x - 3$. Требуется найти значение аргумента $x$, при котором выполняется равенство $f(2x + 3) = 4f(x - 2)$.

Для решения этой задачи мы последовательно найдем выражения для левой и правой частей равенства.

1. Найдем выражение для левой части $f(2x + 3)$.

Для этого подставим $(2x + 3)$ вместо $x$ в формулу функции $f(x)$:

$f(2x + 3) = -(2x + 3)^2 + 4(2x + 3) - 3$

Раскроем скобки и упростим выражение. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$f(2x + 3) = -( (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 ) + (8x + 12) - 3$

$f(2x + 3) = -(4x^2 + 12x + 9) + 8x + 12 - 3$

$f(2x + 3) = -4x^2 - 12x - 9 + 8x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$f(2x + 3) = -4x^2 + (-12x + 8x) + (-9 + 9)$

$f(2x + 3) = -4x^2 - 4x$

2. Найдем выражение для правой части $4f(x - 2)$.

Сначала найдем $f(x - 2)$, подставив $(x - 2)$ вместо $x$ в формулу функции $f(x)$:

$f(x - 2) = -(x - 2)^2 + 4(x - 2) - 3$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$f(x - 2) = -(x^2 - 4x + 4) + (4x - 8) - 3$

$f(x - 2) = -x^2 + 4x - 4 + 4x - 8 - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$f(x - 2) = -x^2 + (4x + 4x) + (-4 - 8 - 3)$

$f(x - 2) = -x^2 + 8x - 15$

Теперь умножим полученное выражение на 4:

$4f(x - 2) = 4(-x^2 + 8x - 15)$

$4f(x - 2) = -4x^2 + 32x - 60$

3. Приравняем левую и правую части и решим уравнение.

$f(2x + 3) = 4f(x - 2)$

$-4x^2 - 4x = -4x^2 + 32x - 60$

Прибавим $4x^2$ к обеим частям уравнения:

$-4x = 32x - 60$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые значения оставим в правой:

$-4x - 32x = -60$

$-36x = -60$

Найдем $x$, разделив обе части на -36:

$x = \frac{-60}{-36} = \frac{60}{36}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 60 и 36 равен 12:

$x = \frac{60 \div 12}{36 \div 12} = \frac{5}{3}$

Таким образом, равенство выполняется при $x = \frac{5}{3}$.

Ответ: $x = \frac{5}{3}$.

24.40 Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} y = -x^2 + 6x - 4, \\ 2x - y + 3 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 3x^2 - 6x - 4, \\ y - 2x - 4 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -x^2 - 2x + 4, \\ x - 2y = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = 2x^2 + 8x + 6, \\ 3x - 2y + 1 = 0. \end{cases}$

Для определения числа решений каждой системы уравнений используется метод подстановки. Мы выражаем переменную $y$ из линейного уравнения и подставляем ее в квадратное уравнение. В результате получается квадратное уравнение относительно переменной $x$ вида $ax^2 + bx + c = 0$. Количество решений исходной системы совпадает с количеством действительных корней этого квадратного уравнения, которое определяется знаком его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и система имеет два решения.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, и система имеет одно решение.
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и система не имеет решений.

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = -x^2 + 6x - 4, \\ 2x - y + 3 = 0; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$:
$2x - y + 3 = 0 \implies y = 2x + 3$.
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
$2x + 3 = -x^2 + 6x - 4$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - 6x + 3 + 4 = 0$
$x^2 - 4x + 7 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = 7$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.
Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: 0 решений.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = 3x^2 - 6x - 4, \\ y - 2x - 4 = 0; \end{cases} $
Выразим $y$ из второго уравнения:
$y - 2x - 4 = 0 \implies y = 2x + 4$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x + 4 = 3x^2 - 6x - 4$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$3x^2 - 6x - 2x - 4 - 4 = 0$
$3x^2 - 8x - 8 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 3$, $b = -8$, $c = -8$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 64 + 96 = 160$.
Так как $D > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что система уравнений имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = -x^2 - 2x + 4, \\ x - 2y = 0; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$x - 2y = 0 \implies 2y = x \implies y = \frac{x}{2}$.
Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:
$\frac{x}{2} = -x^2 - 2x + 4$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
$x = -2x^2 - 4x + 8$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + x + 4x - 8 = 0$
$2x^2 + 5x - 8 = 0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 2$, $b = 5$, $c = -8$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 25 + 64 = 89$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 + 8x + 6, \\ 3x - 2y + 1 = 0. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$:
$3x - 2y + 1 = 0 \implies 2y = 3x + 1 \implies y = \frac{3x + 1}{2}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{3x + 1}{2} = 2x^2 + 8x + 6$
Умножим обе части на 2:
$3x + 1 = 4x^2 + 16x + 12$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$4x^2 + 16x - 3x + 12 - 1 = 0$
$4x^2 + 13x + 11 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 4$, $b = 13$, $c = 11$:
$D = 13^2 - 4 \cdot 4 \cdot 11 = 169 - 176 = -7$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: 0 решений.

Постройте и прочитайте график функции:

24.41 $y = \begin{cases} 2x^2 + 4x - 1, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ x - 1, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Постройте график функции

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо рассмотреть каждый участок отдельно.

1. На отрезке $x \in [-2, 0]$ функция задается формулой $y = 2x^2 + 4x - 1$. Графиком этой функции является часть параболы.

• Коэффициент при $x^2$ равен $2$, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$. Значение $x_в = -1$ принадлежит отрезку $[-2, 0]$.
• Ордината вершины: $y_в = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -3)$.
• Найдем значения функции на концах отрезка:
  • При $x = -2$: $y = 2(-2)^2 + 4(-2) - 1 = 8 - 8 - 1 = -1$. Точка $(-2, -1)$.
  • При $x = 0$: $y = 2(0)^2 + 4(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.

Итак, первая часть графика — это дуга параболы, соединяющая точки $(-2, -1)$ и $(0, -1)$, с вершиной в точке $(-1, -3)$.

2. На промежутке $x > 0$ функция задается формулой $y = x - 1$. Графиком этой функции является луч.

• Это линейная функция. Для построения луча достаточно найти две точки.
• Найдем начальную точку луча. Так как неравенство $x > 0$ строгое, точка с абсциссой $x=0$ не принадлежит этой части графика (она является "выколотой"). Ее координаты: $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Возьмем любую другую точку из промежутка, например, $x = 2$: $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$.

Следовательно, вторая часть графика — это луч, который начинается в выколотой точке $(0, -1)$ и проходит через точку $(2, 1)$.

3. Совместим обе части на одной координатной плоскости. Конечная точка параболы $(0, -1)$ является закрашенной, а начальная точка луча $(0, -1)$ — выколотой. При наложении они образуют одну сплошную точку. Это означает, что функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: дуги параболы $y = 2x^2 + 4x - 1$ на отрезке $[-2, 0]$, имеющей вершину в точке $(-1, -3)$ и проходящей через точки $(-2, -1)$ и $(0, -1)$, и луча $y = x - 1$, выходящего из точки $(0, -1)$ и проходящего через точку $(2, 1)$ для всех $x > 0$.

Прочитайте график функции

На основании построенного графика перечислим основные свойства функции:

• Область определения: объединение промежутков $[-2, 0]$ и $(0, +\infty)$ дает $D(y) = [-2, +\infty)$.
• Область значений: наименьшее значение функции равно $-3$. Функция не ограничена сверху. Следовательно, $E(y) = [-3, +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $x-1=0$, откуда $x=1$. Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (1, +\infty)$.
  • $y < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in [-2, 1)$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция убывает на промежутке $[-2, -1]$.
  • Функция возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x = -1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума. $x_{min} = -1$, $y_{min} = -3$. Это глобальный (наименьший) минимум функции. В точке $x=-2$ достигается локальный максимум, $y(-2) = -1$.
• Четность/нечетность: область определения $D(y) = [-2, +\infty)$ несимметрична относительно нуля, поэтому функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Свойства функции, определенные по ее графику, подробно изложены в пунктах выше.

24.42 $y = \begin{cases} x + 1, \text{ если } x < 0; \\ -x^2 + 2x + 3, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Поскольку в задании на изображении приведена только формула функции, будем решать наиболее типичную задачу для такого случая: построить график данной функции и определить, при каких значениях параметра $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Построение графика функции

Функция $y$ задана кусочно. Построим её график, рассмотрев два случая, определённых областью задания $x$.

Случай 1: $x < 0$.
Функция задаётся формулой $y = x+1$. Это линейная функция, её график – часть прямой (луч). Для построения луча найдем координаты двух точек.
• При $x = -1$, $y = -1+1=0$. Точка $(-1, 0)$.
• При $x = -2$, $y = -2+1=-1$. Точка $(-2, -1)$.
На границе области ($x=0$) функция не определена, но мы можем найти предельную точку. При $x \to 0^-$, $y \to 1$. Точка $(0, 1)$ является концом луча и изображается на графике выколотым (пустым) кружком.

Случай 2: $x \ge 0$.
Функция задаётся формулой $y = -x^2+2x+3$. Это квадратичная функция. Её график – часть параболы, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$).
Координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_в = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
Вершина параболы – точка $(1, 4)$. Так как $x_в=1 \ge 0$, вершина принадлежит графику.
Найдем еще несколько точек для построения этой части графика:
• При $x=0$, $y = -0^2+2(0)+3 = 3$. Точка $(0, 3)$ принадлежит графику и является его начальной точкой в этой области.
• Точки пересечения с осью $Ox$ ($y=0$): $-x^2+2x+3=0 \implies x^2-2x-3=0$. По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=-1$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x=3$. Следовательно, график пересекает ось абсцисс в точке $(3, 0)$.

Итоговый график состоит из двух частей: луча, идущего из минус бесконечности и заканчивающегося в выколотой точке $(0,1)$, и части параболы, которая начинается в точке $(0,3)$, имеет вершину в $(1,4)$ и уходит вниз, пересекая ось абсцисс в $(3,0)$.

2. Определение значений m

Теперь найдём, при каких значениях параметра $m$ горизонтальная прямая $y=m$ имеет с построенным графиком ровно две общие точки. Проанализируем количество пересечений, мысленно двигая прямую $y=m$ снизу вверх по оси Oy.
• Если прямая проходит ниже $y=1$ ($m < 1$), она пересекает луч $y=x+1$ (в области $x<0$) в одной точке и параболу $y=-x^2+2x+3$ (в области $x>0$) в одной точке. Итого 2 пересечения.
• Если прямая совпадает с $y=1$ ($m = 1$), она проходит через выколотую точку $(0,1)$ (нет пересечения с лучом) и пересекает параболу в одной точке ($x=1+\sqrt{3}$). Итого 1 пересечение.
• Если прямая находится между $y=1$ и $y=3$ ($1 < m < 3$), она пересекает параболу в одной точке (с $x>0$) и не пересекает луч. Итого 1 пересечение.
• Если прямая совпадает с $y=3$ ($m = 3$), она пересекает параболу в двух точках: $(0,3)$ и $(2,3)$. Итого 2 пересечения.
• Если прямая находится между $y=3$ и $y=4$ ($3 < m < 4$), она пересекает параболу в двух точках (обе с $x>0$). Итого 2 пересечения.
• Если прямая совпадает с $y=4$ ($m = 4$), она касается параболы в вершине $(1,4)$. Итого 1 пересечение.
• Если прямая проходит выше $y=4$ ($m > 4$), она не имеет общих точек с графиком. Итого 0 пересечений.

Таким образом, график функции имеет ровно две общие точки с прямой $y=m$ при $m < 1$ и при $3 \le m < 4$.

Ответ: $m \in (-\infty; 1) \cup [3; 4)$.

24.43 $y = \begin{cases} 2x^2 + 4x + 1, \text{ если } x \le 1; \\ -3(x - 2)^2, \text{ если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

Для построения графика заданной кусочной функции необходимо проанализировать каждую ее часть на заданном промежутке.

1. Рассмотрим функцию $y = 2x^2 + 4x + 1$ на промежутке $x \le 1$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля ($a=2 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
Поскольку $x_v = -1$ удовлетворяет условию $x \le 1$, вершина параболы является частью графика функции.
Найдем ординату вершины, подставив $x_v = -1$ в уравнение функции:
$y_v = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$.
Координаты вершины: $(-1, -1)$. Это точка минимума для данной параболы.
Найдем значение функции на границе промежутка, то есть при $x = 1$:
$y(1) = 2(1)^2 + 4(1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7$.
Таким образом, точка $(1, 7)$ является конечной точкой этого участка графика (точка закрашенная).
Для более точного построения найдем еще несколько контрольных точек:
При $x=0$: $y(0) = 2(0)^2 + 4(0) + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
При $x=-2$: $y(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$. Точка $(-2, 1)$.

2. Рассмотрим функцию $y = -3(x - 2)^2$ на промежутке $1 < x \le 3$.

Графиком этой функции также является парабола. Коэффициент $a=-3$ меньше нуля, поэтому ее ветви направлены вниз.
Уравнение представлено в виде $y=a(x-x_v)^2 + y_v$, из которого сразу видны координаты вершины: $(2, 0)$.
Поскольку $x_v = 2$ удовлетворяет условию $1 < x \le 3$, вершина параболы является частью графика функции.
Координаты вершины: $(2, 0)$. Это точка максимума для данной параболы.
Найдем значения функции на границах промежутка.
На правой границе, при $x=3$ (включительно):
$y(3) = -3(3 - 2)^2 = -3(1)^2 = -3$.
Точка $(3, -3)$ является конечной точкой этого участка графика (точка закрашенная).
На левой границе, в точке $x=1$ (не включительно):
$y(1) = -3(1 - 2)^2 = -3(-1)^2 = -3$.
Поскольку $x>1$, точка $(1, -3)$ не принадлежит графику, она изображается как выколотая (пустой кружок).

Итоговый график:

Объединяя результаты, получаем график, состоящий из двух частей:
1. Часть параболы $y = 2x^2 + 4x + 1$ с вершиной в точке $(-1, -1)$, которая определена для всех $x \le 1$ и заканчивается в точке $(1, 7)$.
2. Часть параболы $y = -3(x - 2)^2$ с вершиной в точке $(2, 0)$, которая определена для $1 < x \le 3$, начинается в выколотой точке $(1, -3)$ и заканчивается в точке $(3, -3)$.
В точке $x=1$ функция терпит разрыв.

Ответ: Решением является построение графика функции, состоящего из двух сегментов парабол. Первый сегмент — это часть параболы $y = 2x^2 + 4x + 1$ для $x \le 1$, с вершиной в точке $(-1, -1)$ и конечной точкой $(1, 7)$. Второй сегмент — это часть параболы $y = -3(x-2)^2$ для $1 < x \le 3$, с вершиной в точке $(2, 0)$, выколотой начальной точкой $(1, -3)$ и конечной точкой $(3, -3)$.

24.44 $y = \begin{cases} -3x^2 + 6x + 4, & \text{если } 0 \le x \le 2; \\ \frac{4}{x}, & \text{если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения её графика необходимо рассмотреть каждый участок отдельно.

Анализ функции $y = -3x^2 + 6x + 4$ на отрезке $0 \le x \le 2$

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-3$).

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = 1$.

Значение $x_v = 1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$, поэтому на этом отрезке функция достигает своего максимума в вершине.

Найдем ординату вершины, подставив $x_v = 1$ в уравнение функции:

$y_v = -3(1)^2 + 6(1) + 4 = -3 + 6 + 4 = 7$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 7)$.

Теперь найдем значения функции на концах отрезка $[0, 2]$:

При $x = 0$: $y(0) = -3(0)^2 + 6(0) + 4 = 4$. Получаем точку $(0, 4)$.

При $x = 2$: $y(2) = -3(2)^2 + 6(2) + 4 = -3 \cdot 4 + 12 + 4 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.

Следовательно, на отрезке $[0, 2]$ мы строим часть параболы с вершиной в $(1, 7)$ и концами в точках $(0, 4)$ и $(2, 4)$. Эти точки включаются в график.

Анализ функции $y = \frac{4}{x}$ на полуинтервале $2 < x \le 4$

Графиком этой функции является гипербола. Так как на заданном промежутке $x > 0$, мы рассматриваем ветвь в первой координатной четверти. Эта функция является убывающей.

Найдем значения функции на концах интервала $(2, 4]$:

При $x \to 2^+$ (точка не включается в график, "выколотая" точка): $y \to \frac{4}{2} = 2$. Получаем точку $(2, 2)$.

При $x = 4$ (точка включается в график): $y(4) = \frac{4}{4} = 1$. Получаем точку $(4, 1)$.

На полуинтервале $(2, 4]$ мы строим часть гиперболы, которая начинается из выколотой точки $(2, 2)$ и заканчивается в точке $(4, 1)$.

Построение графика и свойства функции

Совместим оба графика на одной координатной плоскости. График состоит из дуги параболы и ветви гиперболы. В точке $x=2$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x \to 2^-} y(x) = 4$, а $\lim_{x \to 2^+} y(x) = 2$. Значение функции в этой точке определено первым выражением: $y(2)=4$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = [0, 4]$.
• Область значений: $E(y) = [1, 2) \cup [4, 7]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0, 1]$.
• Функция убывает на промежутках $[1, 2]$ и $(2, 4]$.
• Наибольшее значение функции: $y_{max} = 7$ (достигается при $x=1$).
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = 1$ (достигается при $x=4$).
• Нулей у функции нет ($y > 0$ на всей области определения).

Ответ: Был проведен детальный анализ и дано описание построения графика кусочно-заданной функции. График состоит из участка параболы $y=-3x^2+6x+4$ на отрезке $[0, 2]$ (дуга с вершиной в $(1, 7)$ и концами в $(0, 4)$ и $(2, 4)$) и участка гиперболы $y=4/x$ на полуинтервале $(2, 4]$ (от выколотой точки $(2, 2)$ до точки $(4, 1)$). В точке $x=2$ функция имеет разрыв. Основные свойства функции (область определения, область значений, монотонность, экстремумы) найдены.

24.45 $y = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & \text{если } x \le -1; \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ |x + 2|, & \text{если } 1 < x \le 5. \end{cases}$

Для построения графика кусочно-заданной функции проанализируем каждый ее участок отдельно.

1. Участок $y = -\frac{1}{x}$ при $x \le -1$

На этом промежутке график функции является частью гиперболы $y = -\frac{1}{x}$.

Найдем значение на правой границе промежутка, в точке $x = -1$:

$y(-1) = -\frac{1}{-1} = 1$.

Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику и является его конечной точкой с правой стороны. Так как неравенство нестрогое ($x \le -1$), точка будет закрашенной.

При $x \to -\infty$, значение $y = -\frac{1}{x} \to 0$. Следовательно, ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для этой части графика слева. Все значения $y$ на этом интервале положительны и лежат в промежутке $(0, 1]$.

2. Участок $y = x^2$ при $-1 < x \le 1$

На этом промежутке график функции является частью параболы $y = x^2$. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, которая входит в данный интервал.

Найдем значения на границах промежутка:

• При $x \to -1$ (справа), $y \to (-1)^2 = 1$. Так как неравенство строгое ($x > -1$), точка $(-1, 1)$ на этой части графика будет выколотой.
• При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 1$), точка $(1, 1)$ будет закрашенной.

На данном промежутке функция убывает на $(-1, 0]$ и возрастает на $[0, 1]$. Область значений на этом участке: $[0, 1]$.

3. Участок $y = |x+2|$ при $1 < x \le 5$

На этом промежутке $x > 1$, следовательно, выражение под знаком модуля $x+2$ всегда будет положительным ($x+2 > 1+2 = 3 > 0$). Таким образом, модуль можно раскрыть, и функция принимает вид $y = x+2$.

Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его концов:

• При $x \to 1$ (справа), $y \to 1+2 = 3$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), точка $(1, 3)$ будет выколотой.
• При $x=5$, $y = 5+2 = 7$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 5$), точка $(5, 7)$ будет закрашенной.

На данном промежутке функция линейно возрастает. Область значений на этом участке: $(3, 7]$.

Исследование непрерывности

Проверим поведение функции в точках "стыка" промежутков.

• В точке $x = -1$:
  Значение функции, определенное первым правилом: $y(-1) = 1$.
  Предел справа (по второму правилу): $\lim_{x \to -1^+} x^2 = (-1)^2 = 1$.
  Поскольку значение функции в точке совпадает с пределом справа, а точка $(-1,1)$ является конечной для первого участка, функция непрерывна в точке $x = -1$.
• В точке $x = 1$:
  Значение функции, определенное вторым правилом: $y(1) = 1^2 = 1$.
  Предел справа (по третьему правилу): $\lim_{x \to 1^+} (x+2) = 1+2=3$.
  Поскольку значение функции в точке ($1$) не равно пределу справа ($3$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x = 1$.

Область определения функции

Область определения $D(y)$ является объединением всех промежутков, на которых задана функция:

$D(y) = (-\infty, -1] \cup (-1, 1] \cup (1, 5] = (-\infty, 5]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 5]$.

Область значений функции

Область значений $E(y)$ является объединением всех значений, которые функция принимает на своей области определения.

• На $(-\infty, -1]$: $y \in (0, 1]$.
• На $(-1, 1]$: $y \in [0, 1]$.
• На $(1, 5]$: $y \in (3, 7]$.

Объединяя эти множества, получаем: $E(y) = ([0, 1] \cup (0, 1]) \cup (3, 7] = [0, 1] \cup (3, 7]$.

Ответ: $E(y) = [0, 1] \cup (3, 7]$.

Описание итогового графика

Итоговый график состоит из трех частей.
1. Ветвь гиперболы из точки $(-1, 1)$, которая идет влево и вверх, асимптотически приближаясь к оси $Ox$.
2. Участок параболы от точки $(-1, 1)$ до точки $(1, 1)$ с вершиной в $(0, 0)$.
3. Отрезок прямой от точки $(1, 3)$ до точки $(5, 7)$.
В точке $x=-1$ график непрерывен. В точке $x=1$ происходит скачок: график заканчивается в точке $(1, 1)$ и продолжается с выколотой точки $(1, 3)$.