Страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

26.4 В уравнении параболы $y = -x^2 + c$ коэффициент $c$ с случайным образом выбирают из чисел $-1, 1, 2, 3, 4$. Какова вероятность того, что эта парабола:

а) не пересечёт четвёртую координатную четверть;

б) будет расположена ниже прямой $y = \sqrt{10}$;

в) пересечёт ось абсцисс в двух точках;

г) будет иметь хотя бы одну общую точку с прямой $y = 2?

В задаче рассматривается парабола, заданная уравнением $y = -x^2 + c$. Коэффициент $c$ — это случайная величина, которая может принимать одно из значений из множества $\{-1, 1, 2, 3, 4\}$. Всего возможно 5 различных парабол, поэтому общее число равновероятных исходов $n=5$. Для каждого из подпунктов мы определим количество благоприятных исходов $m$ и вычислим вероятность по классической формуле $P = \frac{m}{n}$.

а) не пересечёт четвёртую координатную четверть

Четвёртая координатная четверть характеризуется условиями $x > 0$ и $y < 0$. Парабола $y = -x^2 + c$ имеет ветви, направленные вниз. Её вершина находится в точке $(0, c)$. Чтобы парабола не пересекала четвёртую четверть, необходимо, чтобы для всех $x > 0$ выполнялось условие $y \ge 0$. Это означает, что неравенство $-x^2 + c \ge 0$ должно быть верным для всех $x > 0$. Отсюда следует, что $c \ge x^2$ для всех $x > 0$. Однако, при $x > 0$ выражение $x^2$ может принимать сколь угодно большие значения (например, если $x=10$, $x^2=100$; если $x=100$, $x^2=10000$). Не существует такого конечного числа $c$, которое было бы больше или равно всем этим значениям. Следовательно, для любого значения $c$ из заданного множества парабола обязательно пересечёт четвёртую координатную четверть. Таким образом, число благоприятных исходов $m=0$. Вероятность этого события равна $P = \frac{0}{5} = 0$.

Ответ: $0$.

б) будет расположена ниже прямой $y = \sqrt{10}$

Условие, что парабола $y = -x^2 + c$ расположена ниже прямой $y = \sqrt{10}$, означает, что для любого действительного числа $x$ должно выполняться неравенство: $-x^2 + c < \sqrt{10}$. Функция $y = -x^2 + c$ достигает своего максимального значения в вершине параболы, при $x=0$. Это максимальное значение равно $c$. Чтобы вся парабола была ниже прямой, её максимальное значение должно быть меньше $\sqrt{10}$. То есть, должно выполняться условие $c < \sqrt{10}$. Сравним $\sqrt{10}$ с целыми числами: $3^2 = 9$, $4^2 = 16$. Значит, $3 < \sqrt{10} < 4$. Теперь проверим, какие из возможных значений $c \in \{-1, 1, 2, 3, 4\}$ удовлетворяют условию $c < \sqrt{10}$: Значения $c = -1, 1, 2, 3$ удовлетворяют этому условию. Значение $c = 4$ не удовлетворяет, так как $4 > \sqrt{10}$ (поскольку $16 > 10$). Таким образом, благоприятными являются 4 исхода. Число благоприятных исходов $m=4$. Вероятность этого события равна $P = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

в) пересечёт ось абсцисс в двух точках

Парабола пересекает ось абсцисс (ось $Ox$) в точках, где $y=0$. Нам нужно найти условия, при которых уравнение $-x^2 + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Перепишем уравнение в виде $x^2 = c$. Это уравнение имеет два различных действительных корня ($x = \sqrt{c}$ и $x = -\sqrt{c}$) тогда и только тогда, когда правая часть уравнения строго положительна, то есть $c > 0$. Проверим, какие из значений $c$ из множества $\{-1, 1, 2, 3, 4\}$ удовлетворяют этому условию. Условию $c > 0$ удовлетворяют значения $1, 2, 3, 4$. Значение $c=-1$ не удовлетворяет. Таким образом, имеется 4 благоприятных исхода. Число благоприятных исходов $m=4$. Вероятность этого события равна $P = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

г) будет иметь хотя бы одну общую точку с прямой $y = 2$

Общие точки параболы $y = -x^2 + c$ и прямой $y=2$ находятся из уравнения, где их $y$-координаты равны: $-x^2 + c = 2$. Условие "иметь хотя бы одну общую точку" означает, что это уравнение должно иметь хотя бы одно действительное решение для $x$. Преобразуем уравнение к виду $x^2 = c - 2$. Уравнение вида $x^2 = A$ имеет хотя бы одно действительное решение (одно при $A=0$, два при $A>0$) тогда и только тогда, когда $A \ge 0$. В нашем случае это означает $c - 2 \ge 0$, или $c \ge 2$. Проверим, какие из значений $c$ из множества $\{-1, 1, 2, 3, 4\}$ удовлетворяют этому условию. Условию $c \ge 2$ удовлетворяют значения $2, 3, 4$. Таким образом, имеется 3 благоприятных исхода. Число благоприятных исходов $m=3$. Вероятность этого события равна $P = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

26.5 Коэффициент $k$ случайным образом выбирают из чисел $-2, -1, 1, 2, 3$. Какова вероятность того, что график функции $y = \frac{k}{x}$:

а) пересекает и первую, и вторую координатную четверть;

б) симметричен относительно начала координат;

в) проходит через точку $(-1, -2)$;

г) содержит ровно две точки с целочисленными координатами?

Коэффициент $k$ выбирается случайным образом из 5 чисел: $\{-2, -1, 1, 2, 3\}$. Следовательно, общее число равновероятных исходов $N=5$. Вероятность события A вычисляется по классической формуле $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ - число благоприятных исходов.

а) пересекает и первую, и вторую координатную четверть;

График функции $y = \frac{k}{x}$ — это гипербола. Расположение ее ветвей зависит от знака коэффициента $k$:
• Если $k > 0$ (значения $1, 2, 3$), ветви расположены в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$ (значения $-2, -1$), ветви расположены в II и IV координатных четвертях.
Таким образом, ни при каком значении $k$ из заданного множества график не может одновременно пересекать I и II четверти. Число благоприятных исходов $m=0$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{0}{5} = 0$.
Ответ: $0$.

б) симметричен относительно начала координат;

График функции является симметричным относительно начала координат, если функция является нечетной, то есть для любого $x$ из области определения удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$.
Проверим это для функции $f(x) = \frac{k}{x}$:
$f(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -f(x)$.
Данное равенство справедливо для любого ненулевого значения $k$. Все 5 предложенных значений $k$ не равны нулю, поэтому все они являются благоприятными исходами. Число благоприятных исходов $m=5$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{5}{5} = 1$.
Ответ: $1$.

в) проходит через точку (–1, –2);

Для того чтобы график функции $y = \frac{k}{x}$ проходил через точку с координатами $(-1, -2)$, эти координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x=-1$ и $y=-2$ в уравнение:
$-2 = \frac{k}{-1}$
Отсюда находим $k$:
$k = (-2) \cdot (-1) = 2$.
Значение $k=2$ присутствует в исходном множестве $\{-2, -1, 1, 2, 3\}$. Это единственный благоприятный исход. Число благоприятных исходов $m=1$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

г) содержит ровно две точки с целочисленными координатами?

Точки с целочисленными координатами $(x, y)$ на графике функции $y = \frac{k}{x}$ должны удовлетворять равенству $x \cdot y = k$. Это означает, что их координаты $x$ и $y$ должны быть целыми числами, а значит, $x$ должен быть целым делителем числа $k$. Каждому такому делителю $x$ соответствует целочисленное значение $y$. Следовательно, количество точек с целочисленными координатами на графике равно количеству целых делителей числа $k$.
Нам нужно найти те значения $k$, которые имеют ровно два целых делителя. Единственные целые числа, имеющие ровно два целых делителя, — это $1$ и $-1$ (их делители: $\pm 1$).
Рассмотрим все возможные значения $k$ из заданного множества:
• При $k=-2$ целые делители: $\{-2, -1, 1, 2\}$ — 4 делителя, 4 точки.
• При $k=-1$ целые делители: $\{-1, 1\}$ — 2 делителя, 2 точки. Это благоприятный исход.
• При $k=1$ целые делители: $\{-1, 1\}$ — 2 делителя, 2 точки. Это благоприятный исход.
• При $k=2$ целые делители: $\{-2, -1, 1, 2\}$ — 4 делителя, 4 точки.
• При $k=3$ целые делители: $\{-3, -1, 1, 3\}$ — 4 делителя, 4 точки.
Таким образом, благоприятными являются два исхода: $k=1$ и $k=-1$. Число благоприятных исходов $m=2$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

26.6 Случайным образом выбирают точку с целочисленными координатами так, чтобы она лежала выше графика функции $y = 2x^2$ и ниже графика прямой $y = 9$. Какова вероятность того, что эта точка лежит:

а) выше оси абсцисс;

б) на оси ординат;

в) левее оси ординат;

г) выше прямой $y = 7$?

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов, то есть найдем все точки с целочисленными координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют заданным условиям. Условия таковы:

1. Точка лежит выше графика функции $y = 2x^2$, что означает $y > 2x^2$.

2. Точка лежит ниже прямой $y = 9$, что означает $y < 9$.

Поскольку координаты $(x, y)$ целочисленные, мы ищем целые решения системы неравенств:$\begin{cases}y > 2x^2 \\y < 9\end{cases}$

Из второго неравенства $y < 9$ и целочисленности $y$ следует, что максимальное значение ординаты равно 8. Из первого неравенства $y > 2x^2$ и того факта, что $2x^2 \ge 0$, следует, что $y$ всегда положителен. Таким образом, возможные значения для $y$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Найдем возможные значения для абсциссы $x$. Из системы неравенств имеем $2x^2 < y < 9$, что влечет за собой $2x^2 < 9$, или $x^2 < 4.5$. Так как $x$ — целое число, то его возможные значения: $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

Теперь посчитаем количество точек для каждого возможного значения $x$:

- При $x = 0$: неравенство $y > 2 \cdot 0^2$ дает $y > 0$. Учитывая, что $y < 9$, получаем $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Это 8 точек.
- При $x = 1$ и $x = -1$: неравенство $y > 2 \cdot (\pm1)^2$ дает $y > 2$. Учитывая, что $y < 9$, получаем $y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Это 6 точек для $x=1$ и 6 точек для $x=-1$, всего 12 точек.
- При $x = 2$ и $x = -2$: неравенство $y > 2 \cdot (\pm2)^2$ дает $y > 8$. Учитывая, что $y < 9$, получаем $8 < y < 9$. В этом интервале нет целых значений $y$, поэтому здесь 0 точек.

Общее число возможных точек (исходов) $N$ равно сумме всех найденных точек: $N = 8 + 12 + 0 = 20$.Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) выше оси абсцисс;
Точка лежит выше оси абсцисс (оси $Ox$), если ее ордината $y > 0$. Как мы установили ранее, для всех возможных точек $y$ принимает только положительные значения ($y \ge 1$). Следовательно, все 20 точек лежат выше оси абсцисс. Число благоприятных исходов $m = 20$.
Вероятность: $P = \frac{20}{20} = 1$.
Ответ: 1.

б) на оси ординат;
Точка лежит на оси ординат (оси $Oy$), если ее абсцисса $x = 0$. Мы уже посчитали, что при $x=0$ существует 8 подходящих точек. Число благоприятных исходов $m = 8$.
Вероятность: $P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

в) левее оси ординат;
Точка лежит левее оси ординат, если ее абсцисса $x < 0$. Из возможных целочисленных значений $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ этому условию удовлетворяют $x=-1$ и $x=-2$. Для $x=-2$ нет подходящих точек, а для $x=-1$ мы нашли 6 точек. Число благоприятных исходов $m = 6$.
Вероятность: $P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

г) выше прямой y = 7?
Точка лежит выше прямой $y=7$, если ее ордината $y > 7$. Так как $y$ — целое число и $y < 9$, единственное возможное значение $y$ — это 8. Найдем количество точек с ординатой $y=8$:
- При $x=0$: точка $(0, 8)$ удовлетворяет условиям ($8 > 2 \cdot 0^2$ и $8 < 9$).
- При $x=1$: точка $(1, 8)$ удовлетворяет условиям ($8 > 2 \cdot 1^2$ и $8 < 9$).
- При $x=-1$: точка $(-1, 8)$ удовлетворяет условиям ($8 > 2 \cdot (-1)^2$ и $8 < 9$).
Всего таких точек 3. Число благоприятных исходов $m = 3$.
Вероятность: $P = \frac{3}{20}$.
Ответ: $\frac{3}{20}$.

26.7 В прямоугольнике ACKM (рис. 69) надо пройти по отмеченным линиям из вершины A в вершину K, двигаясь только вверх или вправо. Сколько всего путей:

а) проходит через вершину M;

б) проходит через точку H;

в) проходит через точку B;

г) можно проложить из вершины A в вершину K?

Рис. 69

Для решения задачи представим прямоугольник в виде сетки на координатной плоскости. Поместим вершину А в начало координат (0,0). Поскольку двигаться можно только вверх и вправо, то для того чтобы попасть из А в К, нужно сделать 3 шага вправо и 2 шага вверх. Таким образом, вершина К будет иметь координаты (3,2).

Любой путь из точки $(x_1, y_1)$ в точку $(x_2, y_2)$ при движении только вправо и вверх состоит из $dx = x_2-x_1$ шагов вправо и $dy = y_2-y_1$ шагов вверх. Общее количество путей равно числу способов выбрать, какие из $n = dx + dy$ шагов будут сделаны в одном из направлений. Это число вычисляется с помощью формулы для числа сочетаний: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число шагов, а $k$ — число шагов в одном из направлений.

Вершина М имеет координаты (3,0). Чтобы путь из А(0,0) в К(3,2) проходил через М, он должен состоять из двух последовательных частей: от А до М и от М до К. Количество таких путей равно произведению числа путей на каждом из этих участков.

1. Путь из А(0,0) в М(3,0). Необходимо сделать 3 шага вправо и 0 шагов вверх. Существует только один такой путь (три шага вправо подряд). Расчет по формуле: $N_{А \to М} = C_{3+0}^{3} = C_{3}^{3} = \frac{3!}{3!0!} = 1$.

2. Путь из М(3,0) в К(3,2). Необходимо сделать $3-3=0$ шагов вправо и $2-0=2$ шага вверх. Существует только один такой путь (два шага вверх подряд). Расчет по формуле: $N_{М \to К} = C_{0+2}^{2} = C_{2}^{2} = \frac{2!}{2!0!} = 1$.

Общее число путей через М равно: $N = N_{А \to М} \times N_{М \to К} = 1 \times 1 = 1$.

Ответ: 1.

Точка Н имеет координаты (1,0). Путь из А(0,0) в К(3,2) через Н состоит из двух частей: от А до Н и от Н до К.

1. Путь из А(0,0) в Н(1,0). Необходимо сделать 1 шаг вправо и 0 шагов вверх. Есть только один такой путь. $N_{А \to Н} = C_{1+0}^{1} = C_{1}^{1} = 1$.

2. Путь из Н(1,0) в К(3,2). Необходимо сделать $3-1=2$ шага вправо и $2-0=2$ шага вверх. Общее число шагов $2+2=4$. Количество путей равно $N_{Н \to К} = C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$.

Общее число путей через Н равно: $N = N_{А \to Н} \times N_{Н \to К} = 1 \times 6 = 6$.

Ответ: 6.

Точка В имеет координаты (0,1). Путь из А(0,0) в К(3,2) через В состоит из двух частей: от А до В и от В до К.

1. Путь из А(0,0) в В(0,1). Необходимо сделать 0 шагов вправо и 1 шаг вверх. Есть только один такой путь. $N_{А \to В} = C_{1+0}^{1} = C_{1}^{1} = 1$.

2. Путь из В(0,1) в К(3,2). Необходимо сделать $3-0=3$ шага вправо и $2-1=1$ шаг вверх. Общее число шагов $3+1=4$. Количество путей равно $N_{В \to К} = C_{4}^{3} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{24}{6} = 4$.

Общее число путей через В равно: $N = N_{А \to В} \times N_{В \to К} = 1 \times 4 = 4$.

Ответ: 4.

Чтобы найти общее количество путей из вершины А(0,0) в вершину К(3,2), нужно посчитать, сколькими способами можно совершить 3 шага вправо и 2 шага вверх.

Общее количество шагов равно $3+2=5$. Нужно выбрать, на каких из 5 шагов будет сделано движение вправо (остальные будут вверх). Количество таких способов равно числу сочетаний из 5 по 3.

$N_{общ} = C_{5}^{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Таким образом, существует 10 различных путей из А в К.

Ответ: 10.

1 Постройте в одной системе координат графики функций $y = 2x^2$ и $y = -2x^2$; сделайте вывод о взаимном расположении построенных графиков.

Построение графиков функций $y = 2x^2$ и $y = -2x^2$

Обе функции, $y = 2x^2$ и $y = -2x^2$, являются квадратичными. Их графики — это параболы. Для построения графиков в одной системе координат найдем координаты нескольких точек для каждой функции, составив таблицы значений.

1. График функции $y = 2x^2$

Это парабола, вершина которой находится в точке $(0, 0)$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Ось симметрии — ось OY.

Составим таблицу значений:

Отметим на координатной плоскости точки $(-2, 8), (-1, 2), (0, 0), (1, 2), (2, 8)$ и соединим их плавной линией.

2. График функции $y = -2x^2$

Это также парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-2 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Ось симметрии — ось OY.

Составим таблицу значений:

В той же системе координат отметим точки $(-2, -8), (-1, -2), (0, 0), (1, -2), (2, -8)$ и соединим их плавной линией.

Вывод о взаимном расположении построенных графиков

Сравнивая построенные графики, можно сделать следующие выводы:

• Оба графика являются параболами с общей вершиной в начале координат (в точке $(0, 0)$) и общей осью симметрии — осью OY.
• График функции $y = 2x^2$ расположен в верхней полуплоскости (I и II координатные четверти), а график функции $y = -2x^2$ — в нижней полуплоскости (III и IV координатные четверти).
• Для любого значения аргумента $x$, кроме $x=0$, соответствующие значения функций противоположны по знаку: $2x^2 = -(-2x^2)$. Это означает, что для любой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = 2x^2$, точка $(x_0, -y_0)$ будет лежать на графике $y = -2x^2$.
• Следовательно, графики этих двух функций симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси OX).

Ответ: Графики функций $y = 2x^2$ и $y = -2x^2$ — это две параболы, которые имеют общую вершину в начале координат и симметричны друг другу относительно оси абсцисс (OX).

2 Приведите примеры функций: ограниченных сверху; ограниченных снизу.

ограниченных сверху

Функция $f(x)$ называется ограниченной сверху на своей области определения, если существует такое число $M$, что для любого значения $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \le M$. Это означает, что значения функции не могут превышать некоторое число $M$, которое называется верхней границей функции. Графически это выглядит так, что весь график функции лежит ниже или на горизонтальной прямой $y = M$.

Примеры функций, ограниченных сверху:

1. Квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициентом: $y = -x^2$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. Максимальное значение функции равно 0. Для любого $x$ выполняется неравенство $-x^2 \le 0$. Таким образом, функция ограничена сверху числом $M=0$. Аналогично, функция $y = -x^2 + 4$ ограничена сверху числом $M=4$.

2. Тригонометрическая функция: $y = \cos(x)$. Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство $\cos(x) \le 1$. Функция ограничена сверху числом $M=1$.

3. Функция с отрицательным модулем: $y = -|x|$. Так как $|x| \ge 0$ для всех $x$, то $-|x| \le 0$. Максимальное значение функции равно 0, и она ограничена сверху этим числом.

Ответ: Примерами функций, ограниченных сверху, являются $y = -x^2 + 4$ (ограничена сверху числом 4), $y = \cos(x)$ (ограничена сверху числом 1), $y = -|x|$ (ограничена сверху числом 0).

ограниченных снизу

Функция $f(x)$ называется ограниченной снизу на своей области определения, если существует такое число $m$, что для любого значения $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Это означает, что значения функции не могут быть меньше некоторого числа $m$, которое называется нижней границей функции. Графически это выглядит так, что весь график функции лежит выше или на горизонтальной прямой $y = m$.

Примеры функций, ограниченных снизу:

1. Квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом: $y = x^2$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. Минимальное значение функции равно 0. Для любого $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$. Таким образом, функция ограничена снизу числом $m=0$. Аналогично, функция $y = x^2 + 3$ ограничена снизу числом $m=3$.

2. Функция модуля: $y = |x|$. По определению, модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для всех $x$. Следовательно, функция ограничена снизу числом $m=0$.

3. Показательная функция: $y = a^x$ (при $a > 0, a \ne 1$). Например, $y = 2^x$. Значения этой функции всегда положительны, то есть $2^x > 0$ для любого действительного $x$. График функции расположен выше оси абсцисс. Таким образом, функция ограничена снизу числом $m=0$.

Ответ: Примерами функций, ограниченных снизу, являются $y = x^2 + 3$ (ограничена снизу числом 3), $y = |x|$ (ограничена снизу числом 0), $y = 2^x$ (ограничена снизу числом 0).