Страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

24.29 a) Найдите значение коэффициента $a$, если известно, что график функции $y = ax^2 + 4x + 5$ пересекает ось абсцисс в точке $M(-10; 0)$.

б) Найдите значение коэффициента $a$, если известно, что график функции $y = ax^2 + 4x - 8$ пересекает ось абсцисс в точке $N(4; 0)$.

а)

По условию, график функции $y = ax^2 + 4x + 5$ пересекает ось абсцисс в точке $M(-10; 0)$. Это означает, что координаты данной точки удовлетворяют уравнению функции. Для нахождения коэффициента $a$ подставим значения $x = -10$ и $y = 0$ в уравнение:

$0 = a \cdot (-10)^2 + 4 \cdot (-10) + 5$

Теперь выполним вычисления и решим полученное уравнение:

$0 = a \cdot 100 - 40 + 5$
$0 = 100a - 35$

Перенесем слагаемое с $a$ в левую часть уравнения:

$100a = 35$

Найдем $a$:

$a = \frac{35}{100} = 0,35$

Ответ: $a = 0,35$.

б)

По условию, график функции $y = ax^2 + 4x - 8$ пересекает ось абсцисс в точке $N(4; 0)$. Это означает, что координаты данной точки удовлетворяют уравнению функции. Для нахождения коэффициента $a$ подставим значения $x = 4$ и $y = 0$ в уравнение:

$0 = a \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 - 8$

Теперь выполним вычисления и решим полученное уравнение:

$0 = a \cdot 16 + 16 - 8$
$0 = 16a + 8$

Перенесем слагаемое с $a$ в левую часть уравнения:

$16a = -8$

Найдем $a$:

$a = \frac{-8}{16} = -0,5$

Ответ: $a = -0,5$.

24.30 а) Найдите значение коэффициента $b$, если известно, что осью симметрии графика функции $y = x^2 + bx + 4$ является прямая $x = 1$.

б) Найдите значение коэффициента $b$, если известно, что осью симметрии графика функции $y = 2x^2 + bx - 3$ является прямая $x = -4$.

а)

График квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ — это парабола. Ось симметрии параболы представляет собой вертикальную прямую, проходящую через ее вершину. Уравнение оси симметрии, которое совпадает с абсциссой вершины параболы ($x_0$), находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В данном случае дана функция $y = x^2 + bx + 4$. Для этой функции коэффициенты равны: $a = 1$, $b$ — искомый коэффициент, $c = 4$.

По условию, осью симметрии является прямая $x = 1$. Следовательно, абсцисса вершины $x_0 = 1$.

Подставим известные значения $a=1$ и $x_0=1$ в формулу:

$1 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$

$1 = -\frac{b}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $b$. Для этого умножим обе части на -2:

$b = 1 \cdot (-2)$

$b = -2$

Ответ: $b = -2$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся формулой для оси симметрии параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для функции $y = 2x^2 + bx - 3$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b$ — искомый коэффициент, $c = -3$.

По условию, осью симметрии является прямая $x = -4$. Следовательно, $x_0 = -4$.

Подставим известные значения $a=2$ и $x_0=-4$ в формулу:

$-4 = -\frac{b}{2 \cdot 2}$

$-4 = -\frac{b}{4}$

Чтобы найти $b$, умножим обе части уравнения на -4:

$b = -4 \cdot (-4)$

$b = 16$

Ответ: $b = 16$.

24.31 Докажите, что функция $y = x^2 - 4x + 5$ является возрастающей на промежутке $(3; 12)$.

Для доказательства того, что функция $y = x^2 - 4x + 5$ является возрастающей на промежутке $(3; 12)$, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Функция $y = x^2 - 4x + 5$ является квадратичной, и её график — это парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

У параболы с ветвями вверх есть точка минимума — вершина. До вершины функция убывает, после — возрастает. Найдём абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; \infty)$.

Интервал $(3; 12)$, указанный в задаче, полностью находится внутри промежутка возрастания $[2; \infty)$, так как для любой точки $x \in (3; 12)$ выполняется неравенство $x > 2$. Следовательно, на всём промежутке $(3; 12)$ функция является возрастающей.

Функция является возрастающей на интервале, если её производная на этом интервале положительна ($y' > 0$).

Найдём производную функции $y = x^2 - 4x + 5$:

$y' = (x^2 - 4x + 5)' = 2x - 4$

Определим, при каких значениях $x$ производная положительна:

$2x - 4 > 0$

$2x > 4$

$x > 2$

Производная функции положительна при $x > 2$, что означает, что функция возрастает на промежутке $(2; \infty)$.

Поскольку промежуток $(3; 12)$ является подмножеством промежутка $(2; \infty)$, функция возрастает на промежутке $(3; 12)$.

Оба способа доказывают исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Вершина параболы находится в точке $x=2$, а производная $y' = 2x-4$ положительна при $x>2$. Так как промежуток $(3; 12)$ лежит правее точки $x=2$, функция на этом промежутке является возрастающей.

24.32 Докажите, что функция $y = x^2 + 6x - 7$ является убывающей на промежутке $(-8; -5)$.

Чтобы доказать, что функция $y = x^2 + 6x - 7$ является убывающей на промежутке $(-8; -5)$, можно воспользоваться одним из следующих способов.

Способ 1: Использование свойств квадратичной функции

Данная функция $y = x^2 + 6x - 7$ является квадратичной ($y = ax^2 + bx + c$), где $a=1$, $b=6$, $c=-7$. Её график — парабола. Поскольку старший коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция убывает на промежутке левее вершины и возрастает правее неё. Абсцисса вершины параболы ($x_в$) вычисляется по формуле:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

Следовательно, функция убывает на всём промежутке $(-\infty; -3)$. Промежуток $(-8; -5)$, указанный в условии, полностью входит в промежуток убывания $(-\infty; -3)$, так как для любой точки $x$ из $(-8; -5)$ выполняется неравенство $x < -3$. Таким образом, функция $y = x^2 + 6x - 7$ является убывающей на промежутке $(-8; -5)$.

Способ 2: Использование определения убывающей функции

Функция $y(x)$ называется убывающей на промежутке, если для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Возьмём произвольные $x_1, x_2 \in (-8; -5)$, для которых $x_1 < x_2$. Докажем, что $y(x_1) > y(x_2)$:

$x_1^2 + 6x_1 - 7 > x_2^2 + 6x_2 - 7$

$x_1^2 - x_2^2 + 6x_1 - 6x_2 > 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + 6(x_1 - x_2) > 0$

$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 6) > 0$

Оценим знаки получившихся множителей.
1. Так как по определению $x_1 < x_2$, то разность $(x_1 - x_2)$ является отрицательным числом.
2. Так как $-8 < x_1 < -5$ и $-8 < x_2 < -5$, то их сумма находится в пределах $-16 < x_1 + x_2 < -10$. Тогда выражение $x_1 + x_2 + 6$ находится в пределах $-16+6 < x_1 + x_2 + 6 < -10+6$, то есть $-10 < x_1 + x_2 + 6 < -4$. Следовательно, второй множитель $(x_1 + x_2 + 6)$ также является отрицательным числом.
Произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, неравенство $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 6) > 0$ является верным. Это доказывает, что функция убывает на заданном промежутке.

Способ 3: С помощью производной

Функция является убывающей на интервале, если её первая производная отрицательна на всём этом интервале. Найдём производную функции $y = x^2 + 6x - 7$:

$y'(x) = (x^2 + 6x - 7)' = 2x + 6$

Теперь определим, при каких значениях $x$ производная отрицательна:

$y' < 0 \implies 2x + 6 < 0 \implies 2x < -6 \implies x < -3$

Производная отрицательна при $x \in (-\infty; -3)$. Промежуток $(-8; -5)$ является подмножеством этого интервала, поэтому на всём промежутке $(-8; -5)$ производная отрицательна, а значит, функция убывает.

Ответ: Утверждение доказано. Функция $y = x^2 + 6x - 7$ является убывающей на промежутке $(-8; -5)$.

24.33 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Сравните:

a) $f(2)$ и $f(2,0137)$;

б) $f(\frac{65}{63})$ и $f(\frac{63}{65})$;

в) $f(1,999)$ и $f(2)$;

г) $f(49,7)$ и $f(49,69)$.

Для решения задачи проанализируем заданную функцию $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем абсциссу вершины параболы, которая является точкой экстремума функции. Абсцисса вершины $x_в$ вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.

Для данной функции $a = 1$ и $b = -4$.

$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке $x = 2$ функция достигает своего наименьшего значения (минимума). Отсюда следуют свойства монотонности функции:

• На промежутке $(-\infty; 2]$ функция является убывающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
• На промежутке $[2; +\infty)$ функция является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Используем эти свойства для сравнения значений функции в каждом пункте.

а) Сравнить $f(2)$ и $f(2,0137)$.

Аргументы для сравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 2,0137$.

Сравнивая аргументы, получаем: $2 < 2,0137$.

Оба аргумента принадлежат промежутку возрастания функции $[2; +\infty)$.

Поскольку функция на этом промежутке возрастает, то из неравенства $2 < 2,0137$ следует, что $f(2) < f(2,0137)$.

Ответ: $f(2) < f(2,0137)$.

б) Сравнить $f(\frac{65}{63})$ и $f(\frac{63}{65})$.

Аргументы для сравнения: $x_1 = \frac{65}{63}$ и $x_2 = \frac{63}{65}$.

Сравнивая аргументы, заметим, что $\frac{65}{63}$ — неправильная дробь, то есть $\frac{65}{63} > 1$. Дробь $\frac{63}{65}$ — правильная, то есть $\frac{63}{65} < 1$. Следовательно, $\frac{63}{65} < \frac{65}{63}$.

Оба аргумента меньше, чем абсцисса вершины $x_в = 2$ (так как $1\frac{2}{63} < 2$). Значит, оба значения принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; 2]$.

Поскольку функция на этом промежутке убывает, то из неравенства $\frac{63}{65} < \frac{65}{63}$ следует, что $f(\frac{63}{65}) > f(\frac{65}{63})$.

Ответ: $f(\frac{65}{63}) < f(\frac{63}{65})$.

в) Сравнить $f(1,999)$ и $f(2)$.

Аргументы для сравнения: $x_1 = 1,999$ и $x_2 = 2$.

Сравнивая аргументы, получаем: $1,999 < 2$.

Оба аргумента принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; 2]$.

Поскольку функция на этом промежутке убывает, то из неравенства $1,999 < 2$ следует, что $f(1,999) > f(2)$.

Также можно рассуждать, что $x=2$ является точкой минимума, поэтому значение функции в этой точке является наименьшим. Для любого $x \ne 2$, $f(x) > f(2)$.

Ответ: $f(1,999) > f(2)$.

г) Сравнить $f(49,7)$ и $f(49,69)$.

Аргументы для сравнения: $x_1 = 49,7$ и $x_2 = 49,69$.

Сравнивая аргументы, получаем: $49,69 < 49,7$.

Оба аргумента больше, чем абсцисса вершины $x_в = 2$. Значит, оба значения принадлежат промежутку возрастания функции $[2; +\infty)$.

Поскольку функция на этом промежутке возрастает, то из неравенства $49,69 < 49,7$ следует, что $f(49,69) < f(49,7)$.

Ответ: $f(49,7) > f(49,69)$.

24.34 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^2 - 6x + 7$. Сравните:

a) $f(-2.43)$ и $f(-3)$;

б) $f(-59.9)$ и $f(-60)$;

в) $f(-\frac{25}{7})$ и $f(-3)$;

г) $f(-0.99)$ и $f(1.1)$.

Для сравнения значений функции $f(x) = -x^2 - 6x + 7$ исследуем ее свойства. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, в своей вершине функция достигает максимального значения.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-6}{-2} = -3$.

Таким образом, в точке $x = -3$ функция $f(x)$ достигает своего наибольшего значения. Это означает, что для любого $x \neq -3$ выполняется неравенство $f(x) < f(-3)$.

Также определим промежутки монотонности функции:

• функция возрастает на промежутке $(-\infty, -3]$;
• функция убывает на промежутке $[-3, \infty)$.

Теперь сравним заданные значения.

а) $f(-2,43)$ и $f(-3)$
Точка $x = -3$ является точкой максимума функции. Поскольку $-2,43 \neq -3$, значение функции в точке $x = -2,43$ будет меньше, чем в точке максимума.
Следовательно, $f(-2,43) < f(-3)$.
Ответ: $f(-2,43) < f(-3)$.

б) $f(-59,9)$ и $f(-60)$
Оба аргумента, $-59,9$ и $-60$, принадлежат промежутку возрастания функции $(-\infty, -3]$. На этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Сравним аргументы: $-60 < -59,9$.
Следовательно, $f(-60) < f(-59,9)$.
Ответ: $f(-59,9) > f(-60)$.

в) $f(-\frac{25}{7})$ и $f(-3)$
Точка $x = -3$ является точкой максимума функции. Сравним аргумент $-\frac{25}{7}$ с числом $-3$.
$-\frac{25}{7} = -3\frac{4}{7}$. Очевидно, что $-3\frac{4}{7} \neq -3$.
Так как значение функции в любой точке, отличной от точки максимума, меньше максимального значения, то $f(-\frac{25}{7}) < f(-3)$.
Ответ: $f(-\frac{25}{7}) < f(-3)$.

г) $f(-0,99)$ и $f(1,1)$
Оба аргумента, $-0,99$ и $1,1$, принадлежат промежутку убывания функции $[-3, \infty)$. На этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сравним аргументы: $-0,99 < 1,1$.
Следовательно, $f(-0,99) > f(1,1)$.
Ответ: $f(-0,99) > f(1,1)$.

24.35 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2 + 4x - 1$. Сравните:

a) $f(\sqrt{2})$ и $f(-1);$

б) $f(-12.473)$ и $f(-12.472);$

в) $f(-1)$ и $f(-\sqrt{5});$

г) $f(\sqrt{2})$ и $f(\sqrt{3}).$

Дана функция $f(x) = 2x^2 + 4x - 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Найдем координату вершины параболы по оси Ox, которая является точкой минимума функции: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$. В точке $x = -1$ функция достигает своего минимального значения. Исходя из свойств параболы с ветвями вверх, функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$. Используем эти свойства для сравнения значений функции в заданных точках.

а) $f(\sqrt{2})$ и $f(-1)$

Точка $x = -1$ является точкой минимума функции. Это означает, что для любого $x \neq -1$, значение $f(x)$ будет больше, чем $f(-1)$. Поскольку $\sqrt{2} \neq -1$, то $f(\sqrt{2}) > f(-1)$. Для проверки можно выполнить прямое вычисление: $f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3$. $f(\sqrt{2}) = 2(\sqrt{2})^2 + 4\sqrt{2} - 1 = 2 \cdot 2 + 4\sqrt{2} - 1 = 4 + 4\sqrt{2} - 1 = 3 + 4\sqrt{2}$. Так как $4\sqrt{2} > 0$, то $3 + 4\sqrt{2} > 3$, а $-3 < 0$. Очевидно, что $3 + 4\sqrt{2} > -3$. Следовательно, $f(\sqrt{2}) > f(-1)$.
Ответ: $f(\sqrt{2}) > f(-1)$.

б) $f(-12,473)$ и $f(-12,472)$

Сравним значения аргументов: $-12,473$ и $-12,472$. Очевидно, что $-12,473 < -12,472$. Обе точки $(-12,473$ и $-12,472)$ принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; -1]$, так как оба числа меньше $-1$. На промежутке убывания, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$. Поскольку $-12,473 < -12,472$, то $f(-12,473) > f(-12,472)$.
Ответ: $f(-12,473) > f(-12,472)$.

в) $f(-1)$ и $f(-\sqrt{5})$

Как было установлено, $x = -1$ — точка минимума функции. Сравним аргументы: $-1$ и $-\sqrt{5}$. Так как $5 > 1$, то $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$, и $-\sqrt{5} < -1$. Поскольку $-\sqrt{5} \neq -1$, значение функции в точке $x = -\sqrt{5}$ будет больше, чем в точке минимума $x = -1$. Следовательно, $f(-\sqrt{5}) > f(-1)$. Проверим вычислением: $f(-1) = -3$. $f(-\sqrt{5}) = 2(-\sqrt{5})^2 + 4(-\sqrt{5}) - 1 = 2 \cdot 5 - 4\sqrt{5} - 1 = 10 - 4\sqrt{5} - 1 = 9 - 4\sqrt{5}$. Сравним $9 - 4\sqrt{5}$ и $-3$. Это эквивалентно сравнению $12$ и $4\sqrt{5}$, или $3$ и $\sqrt{5}$. Так как $3^2=9$ и $(\sqrt{5})^2=5$, то $9>5$, значит $3 > \sqrt{5}$. Следовательно, $12 > 4\sqrt{5}$ и $9 - 4\sqrt{5} > -3$. Таким образом, $f(-\sqrt{5}) > f(-1)$.
Ответ: $f(-1) < f(-\sqrt{5})$.

г) $f(\sqrt{2})$ и $f(\sqrt{3})$

Сравним значения аргументов: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Так как $2 < 3$, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$. Обе точки ($\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$) принадлежат промежутку возрастания функции $[-1; +\infty)$, так как оба числа больше $-1$. На промежутке возрастания, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Поскольку $\sqrt{2} < \sqrt{3}$, то $f(\sqrt{2}) < f(\sqrt{3})$.
Ответ: $f(\sqrt{2}) < f(\sqrt{3})$.

24.36 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 5x^2 + 3x - 2$. Найдите:

а) $f(2x)$;

б) $f(x - 1)$;

в) $f(x^3)$;

г) $2f(3x)$.

Дана функция $f(x) = 5x^2 + 3x - 2$. Для нахождения значений выражений необходимо подставить соответствующий аргумент вместо $x$ в формулу функции и выполнить преобразования.

а) f(2x)
Чтобы найти $f(2x)$, нужно в исходное выражение для функции $f(x)$ подставить $2x$ вместо каждой переменной $x$.
$f(2x) = 5(2x)^2 + 3(2x) - 2$
Возводим в квадрат и выполняем умножение:
$f(2x) = 5(4x^2) + 6x - 2$
$f(2x) = 20x^2 + 6x - 2$
Ответ: $20x^2 + 6x - 2$.

б) f(x - 1)
Чтобы найти $f(x - 1)$, подставим в выражение для $f(x)$ вместо $x$ выражение $(x-1)$.
$f(x-1) = 5(x-1)^2 + 3(x-1) - 2$
Раскроем скобки. Сначала воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$f(x-1) = 5(x^2 - 2x + 1) + 3(x-1) - 2$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$f(x-1) = 5x^2 - 10x + 5 + 3x - 3 - 2$
Приведем подобные слагаемые:
$f(x-1) = 5x^2 + (-10x + 3x) + (5 - 3 - 2)$
$f(x-1) = 5x^2 - 7x$
Ответ: $5x^2 - 7x$.

в) f(x³)
Чтобы найти $f(x^3)$, подставим в выражение для $f(x)$ вместо $x$ выражение $x^3$.
$f(x^3) = 5(x^3)^2 + 3(x^3) - 2$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$f(x^3) = 5x^{3 \cdot 2} + 3x^3 - 2$
$f(x^3) = 5x^6 + 3x^3 - 2$
Ответ: $5x^6 + 3x^3 - 2$.

г) 2f(3x)
Чтобы найти $2f(3x)$, сначала найдем $f(3x)$, а затем умножим полученное выражение на 2.
Шаг 1: Находим $f(3x)$, подставляя $3x$ вместо $x$.
$f(3x) = 5(3x)^2 + 3(3x) - 2$
$f(3x) = 5(9x^2) + 9x - 2$
$f(3x) = 45x^2 + 9x - 2$
Шаг 2: Умножаем результат на 2.
$2f(3x) = 2(45x^2 + 9x - 2)$
Раскрываем скобки:
$2f(3x) = 2 \cdot 45x^2 + 2 \cdot 9x - 2 \cdot 2$
$2f(3x) = 90x^2 + 18x - 4$
Ответ: $90x^2 + 18x - 4$.