Страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

25.23 Найдите обыкновенную дробь, если известно, что её числитель на 2 меньше знаменателя, а произведение числителя и знаменателя равно 15.

Пусть числитель искомой обыкновенной дроби равен $x$, а знаменатель равен $y$. Таким образом, дробь можно записать в виде $\frac{x}{y}$.

Согласно условию задачи, числитель на 2 меньше знаменателя. Это можно выразить уравнением:
$x = y - 2$

Также по условию, произведение числителя и знаменателя равно 15. Это дает нам второе уравнение:
$x \cdot y = 15$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x = y - 2 \\ x \cdot y = 15 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$(y - 2) \cdot y = 15$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$:
$y^2 - 2y = 15$
$y^2 - 2y - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Теперь найдем корни уравнения для $y$:
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2}$
Получаем два возможных значения для знаменателя:
$y_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Рассмотрим оба случая:
1. Если знаменатель $y = 5$, то найдем соответствующий числитель $x$:
$x = y - 2 = 5 - 2 = 3$
Получаем дробь $\frac{3}{5}$. Проверим: числитель (3) на 2 меньше знаменателя (5), и их произведение $3 \cdot 5 = 15$. Условия выполняются.
2. Если знаменатель $y = -3$, то числитель $x$:
$x = y - 2 = -3 - 2 = -5$
Получаем дробь $\frac{-5}{-3}$, что равно $\frac{5}{3}$. Это решение также удовлетворяет системе уравнений, однако в задачах про "обыкновенные дроби" обычно подразумеваются натуральные числитель и знаменатель.

Таким образом, искомая обыкновенная дробь — это $\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

25.24 Пешеход прошёл 2 км по лесной тропе, а затем 3 км по шоссе, увеличив при этом скорость на 2 км/ч. Найдите скорость пешехода на каждом участке пути, если на весь путь он затратил 1 ч.

Пусть $x$ км/ч — это скорость пешехода по лесной тропе. Согласно условию, на шоссе он увеличил скорость на 2 км/ч, значит, его скорость по шоссе составила $(x + 2)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по лесной тропе, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$. В данном случае время на первом участке равно $t_1 = \frac{2}{x}$ часа.

Время, затраченное на путь по шоссе, составляет $t_2 = \frac{3}{x+2}$ часа.

Общее время в пути равно сумме времени на каждом участке и по условию составляет 1 час. Составим и решим уравнение:

$\frac{2}{x} + \frac{3}{x+2} = 1$

Определим область допустимых значений. Поскольку $x$ обозначает скорость, $x$ должен быть больше нуля ($x > 0$). Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{2(x+2) + 3x}{x(x+2)} = 1$

Умножим обе части уравнения на $x(x+2)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$2(x+2) + 3x = x(x+2)$

Раскроем скобки:

$2x + 4 + 3x = x^2 + 2x$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$5x + 4 = x^2 + 2x$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3+5}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3-5}{2} = -1$

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи ($x>0$), так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость пешехода по лесной тропе равна 4 км/ч.

Найдем скорость пешехода по шоссе:

$x + 2 = 4 + 2 = 6$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода по лесной тропе 4 км/ч, а по шоссе 6 км/ч.

26.1 Нарисуйте график функции $y = 0,5x^2$ на отрезке $[0; 4]$. Сколько точек с целыми координатами:

а) принадлежит этому графику;

б) лежит ниже графика и выше оси абсцисс;

в) лежит выше графика и ниже прямой $y = 5$;

г) лежит ниже графика и выше прямой $y = 0,5x$?

Задача состоит в том, чтобы найти количество точек с целыми координатами $(x, y)$, удовлетворяющих определенным условиям. Рассматривается функция $y = 0,5x^2$ на отрезке $[0; 4]$, поэтому для абсциссы $x$ мы будем рассматривать только целые значения из этого отрезка: $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

а) принадлежит этому графику;

Нам нужно найти количество точек с целыми координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $y = 0,5x^2$. Для того чтобы $y$ был целым, $x^2$ должно быть четным числом. Проверим все возможные целые значения $x$ из отрезка $[0; 4]$:

• Если $x=0$, то $y = 0,5 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0) имеет целые координаты.
• Если $x=1$, то $y = 0,5 \cdot 1^2 = 0,5$. Координата $y$ не является целым числом.
• Если $x=2$, то $y = 0,5 \cdot 2^2 = 2$. Точка (2, 2) имеет целые координаты.
• Если $x=3$, то $y = 0,5 \cdot 3^2 = 4,5$. Координата $y$ не является целым числом.
• Если $x=4$, то $y = 0,5 \cdot 4^2 = 8$. Точка (4, 8) имеет целые координаты.

Таким образом, на графике лежат 3 точки с целыми координатами: (0, 0), (2, 2), (4, 8).

Ответ: 3.

б) лежит ниже графика и выше оси абсцисс;

Ищем количество точек с целыми координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют двойному неравенству $0 < y < 0,5x^2$ для целых $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

• При $x=0$: $0 < y < 0$. Нет целых $y$.
• При $x=1$: $0 < y < 0,5$. Нет целых $y$.
• При $x=2$: $0 < y < 2$. Есть одно целое значение $y=1$. Это 1 точка (2, 1).
• При $x=3$: $0 < y < 4,5$. Есть четыре целых значения $y \in \{1, 2, 3, 4\}$. Это 4 точки.
• При $x=4$: $0 < y < 8$. Есть семь целых значений $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Это 7 точек.

Общее число точек: $1 + 4 + 7 = 12$.

Ответ: 12.

в) лежит выше графика и ниже прямой $y = 5$;

Ищем количество точек с целыми координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют двойному неравенству $0,5x^2 < y < 5$ для целых $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

• При $x=0$: $0 < y < 5$. Целые значения $y \in \{1, 2, 3, 4\}$. Это 4 точки.
• При $x=1$: $0,5 < y < 5$. Целые значения $y \in \{1, 2, 3, 4\}$. Это 4 точки.
• При $x=2$: $2 < y < 5$. Целые значения $y \in \{3, 4\}$. Это 2 точки.
• При $x=3$: $4,5 < y < 5$. Нет целых $y$.
• При $x=4$: $8 < y < 5$. Неравенство неверно, решений нет.

Общее число точек: $4 + 4 + 2 = 10$.

Ответ: 10.

г) лежит ниже графика и выше прямой $y = 0,5x$?

Ищем количество точек с целыми координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют двойному неравенству $0,5x < y < 0,5x^2$ для целых $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

• При $x=0$: $0 < y < 0$. Нет целых $y$.
• При $x=1$: $0,5 < y < 0,5$. Нет целых $y$.
• При $x=2$: $1 < y < 2$. Нет целых $y$.
• При $x=3$: $1,5 < y < 4,5$. Целые значения $y \in \{2, 3, 4\}$. Это 3 точки.
• При $x=4$: $2 < y < 8$. Целые значения $y \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$. Это 5 точек.

Общее число точек: $3 + 5 = 8$.

Ответ: 8.

26.2 Сколько точек, координаты которых — натуральные числа, лежит на графике функции:

а) $y = \frac{1}{x}$;

б) $y = \frac{5}{x}$;

в) $y = \frac{6}{x}$;

г) $y = \frac{12}{x}$?

Чтобы найти количество точек с натуральными координатами $(x, y)$ на графике функции вида $y = \frac{k}{x}$, необходимо найти количество натуральных делителей числа $k$. Каждому такому делителю $x$ будет соответствовать натуральное число $y = \frac{k}{x}$, и пара $(x, y)$ будет искомой точкой.

а) Для функции $y = \frac{1}{x}$, мы ищем точки, где $x$ и $y$ — натуральные числа. Это возможно только если $x$ является натуральным делителем числа 1. Единственный натуральный делитель числа 1 — это 1.
Если $x = 1$, то $y = \frac{1}{1} = 1$.
Получаем одну точку с натуральными координатами: $(1, 1)$.
Ответ: 1.

б) Для функции $y = \frac{5}{x}$, координата $x$ должна быть натуральным делителем числа 5. Число 5 является простым, поэтому у него всего два натуральных делителя: 1 и 5.
1. При $x = 1$, $y = \frac{5}{1} = 5$. Точка $(1, 5)$.
2. При $x = 5$, $y = \frac{5}{5} = 1$. Точка $(5, 1)$.
Всего существует две такие точки.
Ответ: 2.

в) Для функции $y = \frac{6}{x}$, координата $x$ должна быть натуральным делителем числа 6. Натуральные делители числа 6: 1, 2, 3, 6.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого делителя:
- при $x = 1$, $y = \frac{6}{1} = 6$. Точка $(1, 6)$.
- при $x = 2$, $y = \frac{6}{2} = 3$. Точка $(2, 3)$.
- при $x = 3$, $y = \frac{6}{3} = 2$. Точка $(3, 2)$.
- при $x = 6$, $y = \frac{6}{6} = 1$. Точка $(6, 1)$.
Всего получается 4 точки с натуральными координатами.
Ответ: 4.

г) Для функции $y = \frac{12}{x}$, координата $x$ должна быть натуральным делителем числа 12. Натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Найдем соответствующие значения $y$:
- при $x = 1$, $y = \frac{12}{1} = 12$. Точка $(1, 12)$.
- при $x = 2$, $y = \frac{12}{2} = 6$. Точка $(2, 6)$.
- при $x = 3$, $y = \frac{12}{3} = 4$. Точка $(3, 4)$.
- при $x = 4$, $y = \frac{12}{4} = 3$. Точка $(4, 3)$.
- при $x = 6$, $y = \frac{12}{6} = 2$. Точка $(6, 2)$.
- при $x = 12$, $y = \frac{12}{12} = 1$. Точка $(12, 1)$.
Всего существует 6 точек с натуральными координатами.
Ответ: 6.

26.3 Сколько точек с целочисленными координатами лежит:

а) ниже графика функции $y = \frac{4}{x}$ в первой координатной четверти*;

б) выше графика функции $y = \frac{5}{x}$ в третьей координатной четверти*;

в) ниже графика функции $y = -\frac{3}{x}$ во второй координатной четверти*;

г) между графиками функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$ (не включая точки на координатных осях)?

а) Мы ищем количество точек с целочисленными координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют следующим условиям: они находятся в первой координатной четверти ($x > 0, y > 0$) и лежат ниже графика функции $y = \frac{4}{x}$ (то есть $y < \frac{4}{x}$). Поскольку координаты целочисленные, мы ищем пары целых чисел $(x, y)$ такие, что $x \ge 1$, $y \ge 1$ и $y < \frac{4}{x}$. Давайте переберем возможные целые значения $x \ge 1$:
- Если $x = 1$, то $y < \frac{4}{1} = 4$. Учитывая, что $y \ge 1$, подходящие целые значения $y$ это 1, 2, 3. Получаем 3 точки.
- Если $x = 2$, то $y < \frac{4}{2} = 2$. Учитывая, что $y \ge 1$, подходящее целое значение $y$ это 1. Получаем 1 точку.
- Если $x = 3$, то $y < \frac{4}{3} \approx 1.33$. Учитывая, что $y \ge 1$, подходящее целое значение $y$ это 1. Получаем 1 точку.
- Если $x = 4$, то $y < \frac{4}{4} = 1$. Учитывая, что $y \ge 1$, решений нет.
- Если $x > 4$, то $\frac{4}{x} < 1$, и решений для $y \ge 1$ тем более нет.
Общее количество точек: $3 + 1 + 1 = 5$.
Ответ: 5

б) Мы ищем количество точек с целочисленными координатами $(x, y)$, которые находятся в третьей координатной четверти ($x < 0, y < 0$) и лежат выше графика функции $y = \frac{5}{x}$ (то есть $y > \frac{5}{x}$). Поскольку координаты целочисленные, мы ищем пары целых чисел $(x, y)$ такие, что $x \le -1$, $y \le -1$ и $y > \frac{5}{x}$. Переберем возможные целые значения $x \le -1$:
- Если $x = -1$, то $y > \frac{5}{-1} = -5$. Учитывая, что $y \le -1$, подходящие целые значения $y$ это -4, -3, -2, -1. Получаем 4 точки.
- Если $x = -2$, то $y > \frac{5}{-2} = -2.5$. Учитывая, что $y \le -1$, подходящие целые значения $y$ это -2, -1. Получаем 2 точки.
- Если $x = -3$, то $y > \frac{5}{-3} \approx -1.67$. Учитывая, что $y \le -1$, подходящее целое значение $y$ это -1. Получаем 1 точку.
- Если $x = -4$, то $y > \frac{5}{-4} = -1.25$. Учитывая, что $y \le -1$, подходящее целое значение $y$ это -1. Получаем 1 точку.
- Если $x = -5$, то $y > \frac{5}{-5} = -1$. Учитывая, что $y \le -1$, решений нет.
- Если $x < -5$, то $-1 < \frac{5}{x} < 0$. Неравенство $y > \frac{5}{x}$ не имеет решений при условии $y \le -1$.
Общее количество точек: $4 + 2 + 1 + 1 = 8$.
Ответ: 8

в) Мы ищем количество точек с целочисленными координатами $(x, y)$, которые находятся во второй координатной четверти ($x < 0, y > 0$) и лежат ниже графика функции $y = -\frac{3}{x}$ (то есть $y < -\frac{3}{x}$). Поскольку координаты целочисленные, мы ищем пары целых чисел $(x, y)$ такие, что $x \le -1$, $y \ge 1$ и $y < -\frac{3}{x}$. Переберем возможные целые значения $x \le -1$:
- Если $x = -1$, то $y < -\frac{3}{-1} = 3$. Учитывая, что $y \ge 1$, подходящие целые значения $y$ это 1, 2. Получаем 2 точки.
- Если $x = -2$, то $y < -\frac{3}{-2} = 1.5$. Учитывая, что $y \ge 1$, подходящее целое значение $y$ это 1. Получаем 1 точку.
- Если $x \le -3$, то $y < -\frac{3}{-3} = 1$ (для $x=-3$) или $y < -\frac{3}{x} < 1$ (для $x<-3$). Учитывая, что $y \ge 1$, решений нет.
Общее количество точек: $2 + 1 = 3$.
Ответ: 3

г) Мы ищем количество точек с целочисленными координатами $(x, y)$, которые лежат между графиками функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$. Условие "не включая точки на координатных осях" означает, что $x \ne 0$ и $y \ne 0$. Область определяется двойным неравенством, вид которого зависит от знака $x$.
Случай 1: $x > 0$ (первая и четвертая четверти)
Неравенство имеет вид $-\frac{2}{x} < y < \frac{2}{x}$. Мы ищем целые $x \ge 1$ и целые $y \ne 0$.
- Если $x = 1$, то $-\frac{2}{1} < y < \frac{2}{1}$, то есть $-2 < y < 2$. Целые $y$ в этом интервале: -1, 0, 1. Исключая $y=0$, получаем $y \in \{-1, 1\}$. Это 2 точки: (1, -1) и (1, 1).
- Если $x \ge 2$, то $-1 \le -\frac{2}{x} < y < \frac{2}{x} \le 1$. Единственное возможное целое значение для $y$ в этом диапазоне — это 0, которое исключено. Решений нет.
В этом случае найдено 2 точки.
Случай 2: $x < 0$ (вторая и третья четверти)
Для отрицательных $x$ значение $\frac{2}{x}$ отрицательно, а $-\frac{2}{x}$ положительно. Неравенство "между" означает $\frac{2}{x} < y < -\frac{2}{x}$. Мы ищем целые $x \le -1$ и целые $y \ne 0$.
- Если $x = -1$, то $\frac{2}{-1} < y < -\frac{2}{-1}$, то есть $-2 < y < 2$. Целые $y$ в этом интервале: -1, 0, 1. Исключая $y=0$, получаем $y \in \{-1, 1\}$. Это 2 точки: (-1, -1) и (-1, 1).
- Если $x \le -2$, то $-1 \le \frac{2}{x} < y < -\frac{2}{x} \le 1$. Единственное возможное целое значение для $y$ — это 0, которое исключено. Решений нет.
В этом случае найдено еще 2 точки.
Общее количество точек: $2 + 2 = 4$.
Ответ: 4