Номер 2.12, страница 11 - гдз по физике 8 класс задачник Артеменков, Ломаченков

II. Изменения агрегатного состояния вещества - номер 2.12, страница 11.

Условие.

2.12 В сосуд, в котором находилась вода объёмом 1 л при температуре 18 °С, вылили 300 г расплавленного олова, имеющего температуру 232 °С. На сколько градусов нагрелась вода?

Решение.

Дано:

Объём воды $V_в = 1$ л = $1 \cdot 10^{-3}$ м³
Начальная температура воды $t_в = 18$ °C
Масса олова $m_о = 300$ г = $0.3$ кг
Начальная температура олова $t_о = 232$ °C
Плотность воды $\rho_в = 1000$ кг/м³
Удельная теплоёмкость воды $c_в = 4200$ Дж/(кг·°C)
Удельная теплоёмкость олова $c_о = 230$ Дж/(кг·°C)
Удельная теплота плавления олова $L_о = 5.9 \cdot 10^4$ Дж/кг
Температура плавления (кристаллизации) олова $t_п = 232$ °C

Найти:

Изменение температуры воды $\Delta t_в$.

Решение:

При смешивании расплавленного олова и воды происходит теплообмен. Горячее олово отдает тепло, а холодная вода его поглощает. В изолированной системе (пренебрегая теплообменом с сосудом и окружающей средой) количество теплоты, отданное оловом ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, полученному водой ($Q_{пол}$). Это выражается уравнением теплового баланса:
$Q_{отд} = Q_{пол}$

Олово находится при температуре плавления, поэтому процесс отдачи тепла будет состоять из двух этапов:
1. Кристаллизация олова при постоянной температуре $t_п = 232$ °C. Выделившееся количество теплоты:
$Q_1 = L_о \cdot m_о$
2. Охлаждение уже твердого олова от температуры кристаллизации $t_п$ до конечной температуры равновесия $t_к$. Выделившееся количество теплоты:
$Q_2 = c_о \cdot m_о \cdot (t_п - t_к)$
Общее количество теплоты, отданное оловом:
$Q_{отд} = Q_1 + Q_2 = L_о \cdot m_о + c_о \cdot m_о \cdot (t_п - t_к)$

Вода, в свою очередь, нагревается от начальной температуры $t_в$ до конечной температуры $t_к$. Количество теплоты, полученное водой:
$Q_{пол} = c_в \cdot m_в \cdot (t_к - t_в)$

Массу воды $m_в$ найдем, зная её объём $V_в$ и плотность $\rho_в$:
$m_в = \rho_в \cdot V_в = 1000 \text{ кг/м³} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ м³} = 1$ кг.

Составим уравнение теплового баланса:
$L_о \cdot m_о + c_о \cdot m_о \cdot (t_п - t_к) = c_в \cdot m_в \cdot (t_к - t_в)$

В задаче требуется найти, на сколько градусов нагрелась вода, то есть величину $\Delta t_в = t_к - t_в$. Выразим конечную температуру $t_к = t_в + \Delta t_в$ и подставим в уравнение:
$L_о \cdot m_о + c_о \cdot m_о \cdot (t_п - (t_в + \Delta t_в)) = c_в \cdot m_в \cdot \Delta t_в$

Раскроем скобки и выразим искомую величину $\Delta t_в$:
$L_о \cdot m_о + c_о \cdot m_о \cdot t_п - c_о \cdot m_о \cdot t_в - c_о \cdot m_о \cdot \Delta t_в = c_в \cdot m_в \cdot \Delta t_в$
$L_о \cdot m_о + c_о \cdot m_о \cdot (t_п - t_в) = c_в \cdot m_в \cdot \Delta t_в + c_о \cdot m_о \cdot \Delta t_в$
$L_о \cdot m_о + c_о \cdot m_о \cdot (t_п - t_в) = \Delta t_в \cdot (c_в \cdot m_в + c_о \cdot m_о)$
$\Delta t_в = \frac{L_о \cdot m_о + c_о \cdot m_о \cdot (t_п - t_в)}{c_в \cdot m_в + c_о \cdot m_о}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:
$\Delta t_в = \frac{5.9 \cdot 10^4 \cdot 0.3 + 230 \cdot 0.3 \cdot (232 - 18)}{4200 \cdot 1 + 230 \cdot 0.3}$
$\Delta t_в = \frac{17700 + 69 \cdot 214}{4200 + 69}$
$\Delta t_в = \frac{17700 + 14766}{4269}$
$\Delta t_в = \frac{32466}{4269} \approx 7.6$ °C

Ответ: вода нагрелась на 7.6 °C.