Номер 9.33, страница 50 - гдз по физике 8 класс задачник Артеменков, Ломаченков

IX. Основы динамики - номер 9.33, страница 50.

Условие.

9.33 На ракете установлены два двигателя с различным топливом. Сначала работает один двигатель, пока не израсходуется всё топливо, потом другой. Скорости струй газа, испускаемого каждым из двигателей, различны. Что выгоднее: сначала включить двигатель с большей скоростью газовой струи, а затем с меньшей или наоборот?

Решение.

Для ответа на этот вопрос необходимо определить, в каком порядке использования двигателей ракета достигнет большей конечной скорости. Для этого воспользуемся формулой Циолковского, которая связывает изменение скорости ракеты ($\Delta v$) с её начальной ($M_i$) и конечной ($M_f$) массами и скоростью истечения газов ($\text{u}$):

$ \Delta v = u \cdot \ln\left(\frac{M_i}{M_f}\right) $

Решение

Введём следующие обозначения:
$m_p$ — масса полезной нагрузки и конструкции ракеты (т.е. сухая масса);
$m_1$ — масса топлива для двигателя с большей скоростью истечения газов;
$m_2$ — масса топлива для двигателя с меньшей скоростью истечения газов;
$u_1$ — большая скорость истечения газов;
$u_2$ — меньшая скорость истечения газов ($u_1 > u_2$).

Начальная масса ракеты в обоих случаях одинакова и равна $M_0 = m_p + m_1 + m_2$.

Рассмотрим два сценария, чтобы сравнить итоговое приращение скорости.

Сценарий 1: Сначала включается двигатель с большей скоростью истечения газов ($u_1$), затем — с меньшей ($u_2$).

1. На первом этапе сгорает топливо $m_1$. Приращение скорости $\Delta v_{1A}$ составит:

$ \Delta v_{1A} = u_1 \cdot \ln\left(\frac{m_p + m_1 + m_2}{m_p + m_2}\right) $

2. На втором этапе сгорает топливо $m_2$. Масса ракеты к началу этого этапа равна $m_p + m_2$. Приращение скорости $\Delta v_{2A}$ составит:

$ \Delta v_{2A} = u_2 \cdot \ln\left(\frac{m_p + m_2}{m_p}\right) $

Общее приращение скорости для Сценария 1:

$ \Delta v_A = \Delta v_{1A} + \Delta v_{2A} = u_1 \ln\left(\frac{m_p + m_1 + m_2}{m_p + m_2}\right) + u_2 \ln\left(\frac{m_p + m_2}{m_p}\right) $

Сценарий 2: Сначала включается двигатель с меньшей скоростью истечения газов ($u_2$), затем — с большей ($u_1$).

1. На первом этапе сгорает топливо $m_2$. Приращение скорости $\Delta v_{1B}$ составит:

$ \Delta v_{1B} = u_2 \cdot \ln\left(\frac{m_p + m_1 + m_2}{m_p + m_1}\right) $

2. На втором этапе сгорает топливо $m_1$. Масса ракеты к началу этого этапа равна $m_p + m_1$. Приращение скорости $\Delta v_{2B}$ составит:

$ \Delta v_{2B} = u_1 \cdot \ln\left(\frac{m_p + m_1}{m_p}\right) $

Общее приращение скорости для Сценария 2:

$ \Delta v_B = \Delta v_{1B} + \Delta v_{2B} = u_2 \ln\left(\frac{m_p + m_1 + m_2}{m_p + m_1}\right) + u_1 \ln\left(\frac{m_p + m_1}{m_p}\right) $

Сравнение результатов

Для определения более выгодного сценария сравним $\Delta v_A$ и $\Delta v_B$. Найдем их разность:

$ \Delta v_A - \Delta v_B = \left( u_1 \ln\left(\frac{m_p + m_1 + m_2}{m_p + m_2}\right) + u_2 \ln\left(\frac{m_p + m_2}{m_p}\right) \right) - \left( u_2 \ln\left(\frac{m_p + m_1 + m_2}{m_p + m_1}\right) + u_1 \ln\left(\frac{m_p + m_1}{m_p}\right) \right) $

Сгруппируем слагаемые при $u_1$ и $u_2$ и воспользуемся свойством логарифмов $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$:

$ \Delta v_A - \Delta v_B = u_1 \left( \ln\left(\frac{m_p + m_1 + m_2}{m_p + m_2}\right) - \ln\left(\frac{m_p + m_1}{m_p}\right) \right) - u_2 \left( \ln\left(\frac{m_p + m_1 + m_2}{m_p + m_1}\right) - \ln\left(\frac{m_p + m_2}{m_p}\right) \right) $

$ \Delta v_A - \Delta v_B = u_1 \ln\left(\frac{m_p(m_p + m_1 + m_2)}{(m_p + m_1)(m_p + m_2)}\right) - u_2 \ln\left(\frac{m_p(m_p + m_1 + m_2)}{(m_p + m_1)(m_p + m_2)}\right) $

Вынесем общий множитель за скобки:

$ \Delta v_A - \Delta v_B = (u_1 - u_2) \ln\left(\frac{m_p^2 + m_p m_1 + m_p m_2}{m_p^2 + m_p m_1 + m_p m_2 + m_1 m_2}\right) $

Проанализируем знаки сомножителей:

1. По условию $u_1 > u_2$, следовательно, разность $(u_1 - u_2)$ положительна.

2. Аргумент логарифма представляет собой дробь, где числитель меньше знаменателя (т.к. $m_1 > 0$ и $m_2 > 0$). Значит, эта дробь меньше 1. Натуральный логарифм числа, меньшего 1, отрицателен.

Таким образом, мы перемножаем положительное число на отрицательное, и результат будет отрицательным:

$ \Delta v_A - \Delta v_B < 0 \implies \Delta v_A < \Delta v_B $

Это означает, что итоговая скорость в Сценарии 2 (сначала двигатель с меньшей скоростью истечения, затем с большей) будет выше.

С точки зрения физики, эффективность работы двигателя (приращение скорости на единицу массы сожженного топлива) тем выше, чем меньше текущая масса ракеты. Двигатель с большей скоростью истечения газов ($u_1$) является более эффективным. Чтобы получить от него максимальную отдачу, его нужно использовать тогда, когда ракета стала как можно легче, то есть после сжигания другого топлива. Поэтому сначала следует использовать менее эффективный двигатель ($u_2$) для уменьшения общей массы, а затем — более эффективный ($u_1$) для достижения максимального приращения скорости.

Ответ: Выгоднее сначала включить двигатель с меньшей скоростью газовой струи, а затем — с большей.