Номер 11.32, страница 60 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 11. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона - номер 11.32, страница 60.

Условие.

11.32. Докажите, что если два одинаковых маленьких металлических шарика, имеющие неравные одноименные заряды, привести в соприкосновение и раздвинуть на прежнее расстояние, то сила взаимодействия обязательно увеличится.

Решение.

Дано:

Два одинаковых маленьких металлических шарика.

Начальные заряды шариков: $q_1$ и $q_2$.

Заряды одноименные: $q_1 \cdot q_2 > 0$.

Заряды неравные: $q_1 \neq q_2$.

Расстояние между шариками до и после соприкосновения: $\text{r}$.

Найти:

Доказать, что сила взаимодействия после соприкосновения ($F_2$) больше начальной силы ($F_1$): $F_2 > F_1$.

Решение:

Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона. Начальная сила взаимодействия $F_1$ между шариками до их соприкосновения равна:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Поскольку по условию заряды одноименные, их произведение $q_1 q_2$ положительно, и знак модуля можно опустить:

$F_1 = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$

При соприкосновении двух одинаковых проводящих шариков их суммарный заряд, согласно закону сохранения заряда, перераспределяется между ними поровну. Суммарный заряд равен $q_{сум} = q_1 + q_2$. После соприкосновения заряд каждого шарика станет равен $q'$:

$q' = \frac{q_1 + q_2}{2}$

После того как шарики развели на прежнее расстояние $\text{r}$, сила взаимодействия между ними $F_2$ станет:

$F_2 = k \frac{q' \cdot q'}{r^2} = k \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{r^2} = k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2}$

Теперь необходимо доказать, что $F_2 > F_1$. Составим неравенство:

$k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2} > k \frac{q_1 q_2}{r^2}$

Сократим обе части неравенства на положительный множитель $k/r^2$:

$\frac{(q_1 + q_2)^2}{4} > q_1 q_2$

Умножим обе части на 4:

$(q_1 + q_2)^2 > 4q_1 q_2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$q_1^2 + 2q_1 q_2 + q_2^2 > 4q_1 q_2$

Перенесем все члены в левую часть:

$q_1^2 + 2q_1 q_2 - 4q_1 q_2 + q_2^2 > 0$

$q_1^2 - 2q_1 q_2 + q_2^2 > 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(q_1 - q_2)^2 > 0$

По условию задачи, начальные заряды шариков были неравными, то есть $q_1 \neq q_2$. Это означает, что их разность $q_1 - q_2$ не равна нулю. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда является строго положительной величиной. Следовательно, полученное неравенство $(q_1 - q_2)^2 > 0$ является истинным.

Так как все выполненные преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $F_2 > F_1$ также истинно. Это доказывает, что сила взаимодействия шариков после соприкосновения и возвращения на исходное расстояние обязательно увеличится.

Ответ:

Мы доказали, что конечное неравенство $(q_1 - q_2)^2 > 0$ справедливо, так как по условию $q_1 \neq q_2$. Поскольку все математические преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $F_2 > F_1$ также справедливо. Следовательно, сила взаимодействия действительно увеличится, что и требовалось доказать.