Номер 28.47, страница 146 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Оптические явления. 28. Линзы - номер 28.47, страница 146.

Условие.

28.47. При каком условии линза с фокусным расстоянием 10 см может дать прямое увеличенное изображение предмета? Каким будет изображение: действительным или мнимым?

Решение.

Дано:

Фокусное расстояние линзы, $F = 10 \text{ см}$

Изображение прямое

Изображение увеличенное

Перевод в систему СИ:

$F = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

1. Условие, при котором линза дает такое изображение.

2. Каким будет изображение (действительным или мнимым).

Решение:

При каком условии линза с фокусным расстоянием 10 см может дать прямое увеличенное изображение предмета?

Прямое и увеличенное изображение может дать только собирающая линза. Рассеивающая линза всегда дает прямое, но уменьшенное и мнимое изображение. Следовательно, в задаче рассматривается собирающая линза, фокусное расстояние которой по определению положительно: $F = +10 \text{ см}$.

Формула тонкой линзы имеет вид:

$$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $$

где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, а $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения.

Линейное увеличение $\Gamma$ линзы определяется формулой:

$$ \Gamma = -\frac{f}{d} $$

По условию, изображение является прямым, что означает $\Gamma > 0$. Так как $d > 0$, из этого следует, что расстояние до изображения $\text{f}$ должно быть отрицательным ($f < 0$).

Изображение является увеличенным, то есть $|\Gamma| > 1$. Так как $\Gamma > 0$, то $\Gamma > 1$.

Выразим $\text{f}$ из формулы тонкой линзы:

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF} \implies f = \frac{dF}{d - F} $$

Подставим это выражение в условие $f < 0$:

$$ \frac{dF}{d - F} < 0 $$

Поскольку $d > 0$ и $F > 0$, числитель $\text{dF}$ всегда положителен. Чтобы дробь была отрицательной, ее знаменатель должен быть отрицательным:

$$ d - F < 0 \implies d < F $$

Таким образом, условием получения прямого изображения является расположение предмета между фокусом и линзой. Проверим, будет ли оно при этом увеличенным.

$$ \Gamma = -\frac{f}{d} = -\frac{1}{d} \left( \frac{dF}{d - F} \right) = \frac{F}{F - d} $$

Так как $d < F$, знаменатель $F - d$ положителен. Условие $\Gamma > 1$ принимает вид:

$$ \frac{F}{F - d} > 1 $$

$$ F > F - d \implies d > 0 $$

Это условие всегда выполняется. Следовательно, единственным условием для получения прямого увеличенного изображения является $d < F$.

Ответ: Чтобы получить прямое увеличенное изображение, предмет необходимо расположить на расстоянии от линзы, меньшем её фокусного расстояния, то есть $d < 10 \text{ см}$.

Каким будет изображение: действительным или мнимым?

Как было установлено в предыдущем пункте, для того чтобы изображение было прямым ($\Gamma > 0$), расстояние от линзы до изображения $\text{f}$ должно быть отрицательным ($f < 0$).

По определению, изображение называется мнимым, если оно образовано не самими световыми лучами, а их продолжениями. Математическим признаком мнимого изображения является отрицательное значение расстояния $\text{f}$. Поскольку $f < 0$, изображение будет мнимым.

Ответ: Изображение будет мнимым.