Номер 7, страница 43, часть 1 - гдз по физике 8 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 2. Основы термодинамики. Параграф 16. Удельная теплота сгорания топлива - номер 7, страница 43.

Условие.

7. Самолёт массой $M = 5$ т летел горизонтально со скоростью, модуль которой $v_1 = 360$ км/ч. Затем он поднялся на 2 км. При этом модуль его скорости стал равен $v_2 = 400$ км/ч. Считайте, что на работу по подъёму и разгону самолёта пошло $20 \%$ от энергии, выделившейся при сгорании керосина. Определите, какое количество керосина сгорело.

Ответ: ________.

Решение.

Дано:

Масса самолёта $M = 5$ т
Начальная скорость $v_1 = 360$ км/ч
Конечная скорость $v_2 = 400$ км/ч
Высота подъёма $h = 2$ км
Доля энергии, пошедшая на работу, $\eta = 20\%$

Переведём все данные в систему СИ:
$M = 5 \cdot 1000 = 5000$ кг
$v_1 = 360 \frac{км}{ч} = 360 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 100$ м/с
$v_2 = 400 \frac{км}{ч} = 400 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{1000}{9}$ м/с $\approx 111,1$ м/с
$h = 2 \cdot 1000 = 2000$ м
$\eta = 20\% = 0,2$

Для решения задачи также потребуются справочные данные, которые не указаны в условии:
Удельная теплота сгорания керосина $q = 4,4 \cdot 10^7$ Дж/кг.
Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 10$ м/с².

Найти:

Массу сгоревшего керосина $\text{m}$.

Решение:

Работа, пошедшая на подъём и разгон самолёта, является полезной работой $A_{полезн}$. Она равна изменению полной механической энергии самолёта $\Delta E$.
$\Delta E = E_2 - E_1$, где $E_1$ и $E_2$ — начальная и конечная полная механическая энергия.
Полная механическая энергия является суммой кинетической энергии ($E_k = \frac{Mv^2}{2}$) и потенциальной энергии ($E_п = Mgh$). Примем начальную высоту за нулевой уровень ($h_1 = 0$).
Начальная энергия самолёта:
$E_1 = E_{k1} + E_{п1} = \frac{Mv_1^2}{2} + 0$
Конечная энергия самолёта:
$E_2 = E_{k2} + E_{п2} = \frac{Mv_2^2}{2} + Mgh$
Таким образом, полезная работа равна изменению полной механической энергии:
$A_{полезн} = \Delta E = (\frac{Mv_2^2}{2} + Mgh) - \frac{Mv_1^2}{2} = \frac{M(v_2^2 - v_1^2)}{2} + Mgh$
Эта работа, согласно условию, составляет 20% от всей энергии $Q_{полн}$, выделившейся при сгорании керосина. Количество теплоты, выделяемое при сгорании топлива, вычисляется по формуле $Q_{полн} = q \cdot m$, где $\text{m}$ — масса сгоревшего топлива.
Связь между полезной работой и полной энергией выражается через коэффициент полезного действия (в данном случае, долю энергии):
$A_{полезн} = \eta \cdot Q_{полн} = \eta \cdot q \cdot m$
Приравняем два выражения для полезной работы и выразим искомую массу керосина $\text{m}$:
$\frac{M(v_2^2 - v_1^2)}{2} + Mgh = \eta \cdot q \cdot m$
$m = \frac{\frac{M(v_2^2 - v_1^2)}{2} + Mgh}{\eta \cdot q}$
Подставим числовые значения и произведём вычисления.
Рассчитаем изменение кинетической энергии:
$\Delta E_k = \frac{M(v_2^2 - v_1^2)}{2} = \frac{5000 \cdot ((\frac{1000}{9})^2 - 100^2)}{2} = 2500 \cdot (\frac{1000000}{81} - 10000) = 2500 \cdot (\frac{1000000 - 810000}{81}) = 2500 \cdot \frac{190000}{81} \approx 5864198$ Дж
Рассчитаем изменение потенциальной энергии:
$\Delta E_п = Mgh = 5000 \cdot 10 \cdot 2000 = 100000000$ Дж
Суммарная полезная работа:
$A_{полезн} = \Delta E_k + \Delta E_п \approx 5864198 + 100000000 = 105864198$ Дж
Теперь найдём массу керосина:
$m = \frac{A_{полезн}}{\eta \cdot q} = \frac{105864198}{0,2 \cdot 4,4 \cdot 10^7} = \frac{105864198}{8,8 \cdot 10^6} \approx 12,03$ кг

Ответ: 12,03 кг.