Номер 12, страница 21 - гдз по физике 8 класс учебник Изергин

Глава I. Тепловые явления. Параграф 3. Количество теплоты - номер 12, страница 21.

Условие.

12. Смешали воду массой 2 кг при температуре 100 o С и воду массой 4 кг при температуре 20 o С. Какая установилась температура?

Решение.

Дано:

Масса горячей воды, $m_1 = 2 \text{ кг}$

Температура горячей воды, $t_1 = 100 \text{ °C}$

Масса холодной воды, $m_2 = 4 \text{ кг}$

Температура холодной воды, $t_2 = 20 \text{ °C}$

Удельная теплоемкость воды, $c \approx 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Перевод в систему СИ:

Массы уже даны в единицах СИ.

Температуру для решения данной задачи переводить в Кельвины не обязательно, так как в уравнении теплового баланса используются разности температур. Однако, абсолютные значения температур в СИ (Кельвинах) будут следующими:

$T_1 = t_1 + 273.15 = 100 + 273.15 = 373.15 \text{ К}$

$T_2 = t_2 + 273.15 = 20 + 273.15 = 293.15 \text{ К}$

Найти:

Установившаяся температура смеси, $\text{t}$

Решение:

При смешивании горячей и холодной воды происходит теплообмен. Предполагая, что система является замкнутой (то есть теплообмена с окружающей средой нет), количество теплоты, отданное горячей водой при остывании ($Q_{отд}$), будет равно количеству теплоты, полученному холодной водой при нагревании ($Q_{пол}$). Это следует из закона сохранения энергии и называется уравнением теплового баланса.

$Q_{отд} = Q_{пол}$

Количество теплоты, которое отдает горячая вода, остывая от начальной температуры $t_1$ до конечной температуры $\text{t}$, вычисляется по формуле:

$Q_{отд} = c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t)$

Количество теплоты, которое получает холодная вода, нагреваясь от начальной температуры $t_2$ до конечной температуры $\text{t}$, вычисляется по формуле:

$Q_{пол} = c \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Приравняем правые части уравнений:

$c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t) = c \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Так как вещество в обоих случаях — вода, удельная теплоемкость $\text{c}$ одинакова, и ее можно сократить:

$m_1 \cdot (t_1 - t) = m_2 \cdot (t - t_2)$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно конечной температуры $\text{t}$. Раскроем скобки:

$m_1 t_1 - m_1 t = m_2 t - m_2 t_2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\text{t}$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$m_1 t_1 + m_2 t_2 = m_1 t + m_2 t$

Вынесем $\text{t}$ за скобки:

$m_1 t_1 + m_2 t_2 = t \cdot (m_1 + m_2)$

Отсюда выражаем искомую температуру $\text{t}$:

$t = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$t = \frac{2 \text{ кг} \cdot 100 \text{ °C} + 4 \text{ кг} \cdot 20 \text{ °C}}{2 \text{ кг} + 4 \text{ кг}} = \frac{200 \text{ кг} \cdot \text{°C} + 80 \text{ кг} \cdot \text{°C}}{6 \text{ кг}} = \frac{280 \text{ кг} \cdot \text{°C}}{6 \text{ кг}}$

$t = \frac{140}{3} \text{ °C} \approx 46.67 \text{ °C}$

Ответ: установившаяся температура воды после смешивания будет приблизительно равна $46.7 \text{ °C}$.