Номер 5, страница 231 - гдз по физике 8 класс учебник Изергин

5*. На дне реки на глубине 60 см мальчик видит щуку. Он хочет попасть в неё палкой, перемещая палку под углом $30^\circ$ к поверхности воды. На сколько сантиметров дальше от рыбы палка коснётся дна реки?

Дано:

Глубина реки, $H = 60$ см

Угол, под которым перемещают палку к поверхности воды, $\alpha = 30°$

Показатель преломления воды, $n_1 \approx 1.333 = 4/3$

Показатель преломления воздуха, $n_2 = 1$

$H = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$\Delta x$ — на сколько сантиметров дальше от рыбы палка коснется дна.

Решение:

Из-за преломления света на границе вода-воздух мальчик видит щуку не там, где она находится на самом деле, а ее мнимое изображение. Он целится палкой в это мнимое изображение. Это означает, что палка в воздухе направлена вдоль луча зрения, который является продолжением преломленного светового луча, идущего от щуки к глазу мальчика.

Угол, под которым палка движется к поверхности воды, составляет $\alpha = 30°$. Следовательно, угол между палкой и нормалью (перпендикуляром) к поверхности воды будет $\gamma = 90° - \alpha = 90° - 30° = 60°$.

Поскольку мальчик целится вдоль луча зрения, этот угол $\gamma$ является углом преломления света при выходе из воды в воздух. Обозначим его $\theta_2$. Таким образом, $\theta_2 = \gamma = 60°$.

Чтобы найти, где на самом деле находится щука, воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):

$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$

Здесь $\theta_1$ — угол падения света в воде (угол между лучом от щуки и нормалью).

Выразим синус угла $\theta_1$:

$\sin\theta_1 = \frac{n_2}{n_1} \sin\theta_2 = \frac{1}{4/3} \sin 60° = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Теперь рассмотрим геометрию задачи. Пусть точка входа палки в воду находится в начале координат. Щука находится на глубине $\text{H}$ и на некотором горизонтальном расстоянии $x_{щуки}$ от точки входа палки. Это расстояние можно найти из прямоугольного треугольника, где катетами являются глубина $\text{H}$ и $x_{щуки}$, а гипотенузой — путь светового луча в воде. Угол при вершине на поверхности воды равен $\theta_1$.

$x_{щуки} = H \cdot \tan\theta_1$

Палка, войдя в воду, не преломляется и продолжает двигаться по прямой под углом $\gamma$ к нормали. Она коснется дна на глубине $\text{H}$ на горизонтальном расстоянии $x_{палки}$ от точки входа.

$x_{палки} = H \cdot \tan\gamma$

Искомое расстояние — это разница между этими горизонтальными смещениями:

$\Delta x = x_{палки} - x_{щуки} = H(\tan\gamma - \tan\theta_1)$

Нам известны $\gamma = 60°$ и $\sin\theta_1 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$. Найдем $\tan\theta_1$ через $\sin\theta_1$:

$\cos\theta_1 = \sqrt{1 - \sin^2\theta_1} = \sqrt{1 - \left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{27}{64}} = \sqrt{\frac{37}{64}} = \frac{\sqrt{37}}{8}$

$\tan\theta_1 = \frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1} = \frac{3\sqrt{3}/8}{\sqrt{37}/8} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$

Также нам известен $\tan\gamma$:

$\tan\gamma = \tan 60° = \sqrt{3}$

Теперь подставим все значения в формулу для $\Delta x$:

$\Delta x = H \left( \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}} \right) = H\sqrt{3} \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{37}} \right)$

Произведем вычисления:

$\Delta x = 60 \cdot \sqrt{3} \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{37}} \right) \approx 60 \cdot 1.732 \left( 1 - \frac{3}{6.083} \right) \approx 103.92 \left( 1 - 0.4932 \right) \approx 103.92 \cdot 0.5068 \approx 52.67$ см.

Округляя до двух значащих цифр, получаем 53 см.

Ответ: палка коснется дна реки на 53 см дальше от рыбы.