Номер 331, страница 50 - гдз по физике 8 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Тепловые явления. Работа газа и пара при расширении. Тепловые двигатели - номер 331, страница 50.

Условие.

* 331. При замене паровозов $(\eta = 7\%)$ современными тепловозами $(\eta = 28\%)$ экономится 75% условного топлива. Докажите это.

Решение.

Дано:

КПД паровоза: $ \eta_1 = 7\% $

КПД тепловоза: $ \eta_2 = 28\% $

Перевод в СИ:

$ \eta_1 = 0.07 $

$ \eta_2 = 0.28 $

Найти:

Доказать, что экономия топлива составляет 75%.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется как отношение полезной работы $ A $ к количеству теплоты $ Q $, полученному от сгорания топлива:

$ \eta = \frac{A}{Q} $

Отсюда количество теплоты (и, следовательно, количество топлива), необходимое для совершения полезной работы $ A $, можно выразить как:

$ Q = \frac{A}{\eta} $

Предположим, что и паровоз, и тепловоз совершают одинаковую полезную работу $ A $. Тогда количество топлива, потребляемое паровозом ($ m_1 $), пропорционально количеству теплоты $ Q_1 $, а количество топлива, потребляемое тепловозом ($ m_2 $), пропорционально $ Q_2 $.

Для паровоза:

$ Q_1 = \frac{A}{\eta_1} $

Для тепловоза:

$ Q_2 = \frac{A}{\eta_2} $

Экономия топлива в процентах вычисляется как отношение разницы в потреблении топлива к первоначальному потреблению (потреблению паровоза), умноженное на 100%.

Экономия $ = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} \cdot 100\% = (1 - \frac{Q_2}{Q_1}) \cdot 100\% $

Найдем отношение $ \frac{Q_2}{Q_1} $:

$ \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{A / \eta_2}{A / \eta_1} = \frac{A}{\eta_2} \cdot \frac{\eta_1}{A} = \frac{\eta_1}{\eta_2} $

Подставим это отношение в формулу для экономии:

Экономия $ = (1 - \frac{\eta_1}{\eta_2}) \cdot 100\% $

Теперь подставим числовые значения КПД:

Экономия $ = (1 - \frac{7\%}{28\%}) \cdot 100\% = (1 - \frac{0.07}{0.28}) \cdot 100\% $

Экономия $ = (1 - \frac{1}{4}) \cdot 100\% = (1 - 0.25) \cdot 100\% = 0.75 \cdot 100\% = 75\% $

Таким образом, мы доказали, что при замене паровозов современными тепловозами экономится 75% условного топлива.

Ответ:

Расчет на основе формулы КПД подтверждает, что экономия топлива при замене паровозов с КПД 7% на тепловозы с КПД 28% составляет 75%. Утверждение доказано.