Номер 5, страница 34 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин, Иванов

5. Мальчик налил в аквариум 10 л воды при температуре $10^\circ \text{C}$. Затем он долил воду при температуре $40^\circ \text{C}$ и в аквариуме установилась температура $20^\circ \text{C}$. Определите объём воды, долитой в аквариум.

Дано:

Объем холодной воды, $V_1 = 10 \text{ л}$

Температура холодной воды, $t_1 = 10 \text{ °C}$

Температура горячей воды, $t_2 = 40 \text{ °C}$

Конечная температура смеси, $t = 20 \text{ °C}$

Плотность воды, $\rho \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Удельная теплоемкость воды, $c \approx 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

$V_1 = 10 \text{ л} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.01 \text{ м}^3$

Найти:

Объем долитой (горячей) воды, $V_2$ - ?

Решение:

При смешивании горячей и холодной воды происходит теплообмен. Горячая вода отдает тепло, а холодная — поглощает. В состоянии теплового равновесия количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, полученному холодной водой ($Q_{пол}$). Потерями тепла в окружающую среду и на нагрев аквариума пренебрегаем.

Запишем уравнение теплового баланса:

$Q_{пол} = Q_{отд}$

Количество теплоты, полученное холодной водой, рассчитывается по формуле:

$Q_{пол} = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Количество теплоты, отданное горячей водой, рассчитывается по формуле:

$Q_{отд} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

где $c$ — удельная теплоемкость воды, $m_1$ и $m_2$ — массы холодной и горячей воды соответственно.

Приравняем правые части уравнений:

$c \cdot m_1 \cdot (t - t_1) = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

Удельную теплоемкость воды $c$ можно сократить:

$m_1 \cdot (t - t_1) = m_2 \cdot (t_2 - t)$

Массу воды можно выразить через ее объем $V$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho \cdot V$. Подставим это выражение в уравнение:

$\rho \cdot V_1 \cdot (t - t_1) = \rho \cdot V_2 \cdot (t_2 - t)$

Плотность воды $\rho$ также можно сократить (считая ее одинаковой для обеих порций воды):

$V_1 \cdot (t - t_1) = V_2 \cdot (t_2 - t)$

Из этого уравнения выразим искомый объем $V_2$:

$V_2 = V_1 \cdot \frac{t - t_1}{t_2 - t}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$V_2 = 10 \text{ л} \cdot \frac{20 \text{ °C} - 10 \text{ °C}}{40 \text{ °C} - 20 \text{ °C}} = 10 \text{ л} \cdot \frac{10}{20} = 10 \text{ л} \cdot 0.5 = 5 \text{ л}$

Ответ: объем воды, долитой в аквариум, равен 5 л.