Номер 6, страница 205 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин, Иванов

6. Чтобы увидеть своё изображение во весь рост в плоском вертикальном зеркале, высота зеркала должна быть не меньше половины высоты роста человека. Докажите это с помощью построений.

6. Решение

Для доказательства этого утверждения воспользуемся законами геометрической оптики и методом построений.

Пусть рост человека равен $H$. Обозначим крайние точки человека: $A$ – макушка и $B$ – ступни. Глаза наблюдателя находятся в точке $E$. Рост человека, таким образом, равен длине отрезка $AB = H$. Чтобы человек мог видеть свое изображение во весь рост, лучи света от макушки ($A$) и от ступней ($B$) должны отразиться от зеркала и попасть в его глаза ($E$).

На рисунке показана схема хода лучей. $AB$ – человек, $MN$ – плоское вертикальное зеркало, $A'B'$ – мнимое изображение человека в зеркале. Согласно законам построения изображения в плоском зеркале, изображение $A'B'$ находится на том же расстоянии за зеркалом, на котором находится человек перед ним, и равно ему по величине ($A'B' = AB = H$).

1. Верхний край зеркала. Чтобы увидеть макушку $A$, луч света, вышедший из точки $A$, должен отразиться от верхней точки зеркала $M$ и попасть в глаз $E$. Согласно закону отражения, наблюдателю будет казаться, что этот луч исходит из точки мнимого изображения $A'$. Следовательно, точки $A'$, $M$ и $E$ лежат на одной прямой.

2. Нижний край зеркала. Аналогично, чтобы увидеть ступни $B$, луч света из точки $B$ должен отразиться от нижней точки зеркала $N$ и попасть в глаз $E$. Этот луч будет восприниматься как исходящий из точки мнимого изображения $B'$. Следовательно, точки $B'$, $N$ и $E$ также лежат на одной прямой.

Минимальная необходимая высота зеркала равна длине отрезка $MN$.

Проведем из точки $E$ (глаза) перпендикуляр $EC$ к прямой $A'B'$. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle A'CE$ и $\triangle MDE$. Эти треугольники подобны по двум углам (общий острый угол при вершине $E$ и прямые углы $\angle A'CE$ и $\angle MDE$).

Из подобия треугольников следует отношение их катетов:

$\frac{MD}{A'C} = \frac{ED}{EC}$

Расстояние от глаз до зеркала $ED$ в два раза меньше расстояния от глаз до изображения $EC$ (поскольку расстояние от человека до зеркала равно расстоянию от зеркала до изображения). Таким образом, $EC = 2 \cdot ED$.

$\frac{MD}{A'C} = \frac{ED}{2 \cdot ED} = \frac{1}{2}$

Отсюда $MD = \frac{A'C}{2}$. $A'C$ — это расстояние от макушки до уровня глаз.

Теперь рассмотрим пару подобных треугольников $\triangle B'CE$ и $\triangle NDE$. Они также подобны по той же причине.

$\frac{ND}{B'C} = \frac{ED}{EC} = \frac{1}{2}$

Отсюда $ND = \frac{B'C}{2}$. $B'C$ — это расстояние от уровня глаз до ступней.

Минимальная высота зеркала $h$ равна сумме длин отрезков $MD$ и $ND$:

$h = MN = MD + ND = \frac{A'C}{2} + \frac{B'C}{2} = \frac{A'C + B'C}{2}$

Сумма $A'C + B'C$ равна полной высоте изображения $A'B'$, которая равна росту человека $H$.

$A'C + B'C = A'B' = H$

Следовательно, минимальная высота зеркала:

$h = \frac{H}{2}$

Таким образом, с помощью построений мы доказали, что для того, чтобы увидеть свое изображение во весь рост, высота зеркала должна быть не меньше половины роста человека. Важно отметить, что этот результат не зависит от расстояния между человеком и зеркалом.

Ответ: Утверждение доказано. Минимальная высота зеркала, необходимая для наблюдения своего полного отражения, равна половине роста человека ($h = H/2$).