Страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте определения тригонометрических функций для любого угла.

2. Покажите, что определения тригонометрических функций не зависят от радиуса тригонометрического круга.

3. Напишите основное тригонометрическое тождество и докажите его.

1. Сформулируйте определения тригонометрических функций для любого угла.

Тригонометрические функции для произвольного угла определяются с помощью тригонометрического круга (окружности) в декартовой системе координат.

Рассмотрим окружность произвольного радиуса $R$ с центром в начале координат $O(0, 0)$. Положительным направлением оси $Ox$ будем считать начальную сторону угла. Угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки (положительные углы) или по часовой стрелке (отрицательные углы).

Подвижный радиус-вектор $OP$, образующий угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$, пересекает окружность в точке $P$ с координатами $(x, y)$.

Тогда тригонометрические функции угла $\alpha$ определяются следующими отношениями:
- Синусом угла $\alpha$ называется отношение ординаты $y$ точки $P$ к радиусу $R$:
$\sin\alpha = \frac{y}{R}$
- Косинусом угла $\alpha$ называется отношение абсциссы $x$ точки $P$ к радиусу $R$:
$\cos\alpha = \frac{x}{R}$
- Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение ординаты $y$ к абсциссе $x$ точки $P$ (при условии, что $x \neq 0$):
$\tan\alpha = \frac{y}{x}$
- Котангенсом угла $\alpha$ называется отношение абсциссы $x$ к ординате $y$ точки $P$ (при условии, что $y \neq 0$):
$\cot\alpha = \frac{x}{y}$

Часто используется единичная окружность, для которой $R = 1$. В этом случае определения упрощаются: $\sin\alpha = y$ и $\cos\alpha = x$.

Ответ: Синус угла $\alpha$ — это отношение ординаты $y$ к радиусу $R$ ($\sin\alpha = y/R$). Косинус — отношение абсциссы $x$ к радиусу $R$ ($\cos\alpha = x/R$). Тангенс — отношение ординаты $y$ к абсциссе $x$ ($\tan\alpha = y/x$). Котангенс — отношение абсциссы $x$ к ординате $y$ ($\cot\alpha = x/y$), где $(x, y)$ — координаты точки пересечения конечной стороны угла с окружностью радиуса $R$.

2. Покажите, что определения тригонометрических функций не зависят от радиуса тригонометрического круга.

Чтобы доказать, что значения тригонометрических функций не зависят от выбора радиуса $R$, рассмотрим две концентрические окружности с центром в начале координат $O(0, 0)$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ ($R_1 \neq R_2$).

Проведем из начала координат луч, образующий с положительным направлением оси $Ox$ угол $\alpha$. Этот луч пересечет окружности в точках $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$ соответственно.

Опустим из точек $P_1$ и $P_2$ перпендикуляры на ось $Ox$ и получим точки $M_1(x_1, 0)$ и $M_2(x_2, 0)$. Образовались два прямоугольных треугольника: $\triangle OM_1P_1$ и $\triangle OM_2P_2$.

Эти треугольники подобны по двум углам: у них общий острый угол $\alpha$ при вершине $O$, и оба имеют по прямому углу (при вершинах $M_1$ и $M_2$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{|M_1P_1|}{|M_2P_2|} = \frac{|OM_1|}{|OM_2|} = \frac{|OP_1|}{|OP_2|}$

Выразим длины этих отрезков через координаты точек и радиусы:
$|M_1P_1| = |y_1|$, $|M_2P_2| = |y_2|$
$|OM_1| = |x_1|$, $|OM_2| = |x_2|$
$|OP_1| = R_1$, $|OP_2| = R_2$

Таким образом, получаем соотношение: $\frac{|y_1|}{|y_2|} = \frac{|x_1|}{|x_2|} = \frac{R_1}{R_2}$.

Поскольку точки $P_1$ и $P_2$ лежат на одном луче, исходящем из начала координат, их координаты имеют одинаковые знаки ($x_1$ и $x_2$ имеют один знак, $y_1$ и $y_2$ — тоже). Поэтому знаки модуля можно опустить:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2} = \frac{R_1}{R_2}$

Из этих пропорций выведем равенства для тригонометрических функций:
1. Для синуса: из $\frac{y_1}{y_2} = \frac{R_1}{R_2}$ следует, что $\frac{y_1}{R_1} = \frac{y_2}{R_2}$. То есть, $\sin\alpha$ не зависит от радиуса.
2. Для косинуса: из $\frac{x_1}{x_2} = \frac{R_1}{R_2}$ следует, что $\frac{x_1}{R_1} = \frac{x_2}{R_2}$. То есть, $\cos\alpha$ не зависит от радиуса.
3. Для тангенса: из $\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2}$ следует, что $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$. То есть, $\tan\alpha$ не зависит от радиуса. Аналогично и для котангенса.

Ответ: Определения тригонометрических функций основаны на отношениях координат и радиуса, которые сохраняются для любого радиуса благодаря подобию треугольников, образуемых для одного и того же угла на концентрических окружностях.

3. Напишите основное тригонометрическое тождество и докажите его.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла и имеет вид:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Доказательство:

Воспользуемся определениями синуса и косинуса, данными в пункте 1. Рассмотрим точку $P(x, y)$ на окружности радиуса $R$ с центром в начале координат. Координаты этой точки, радиус и начало координат образуют прямоугольный треугольник (если точка не лежит на осях) с катетами $|x|$ и $|y|$ и гипотенузой $R$.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$x^2 + y^2 = R^2$

Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$. Оно справедливо для любой точки $(x, y)$ на этой окружности.

Согласно определениям тригонометрических функций:
$\sin\alpha = \frac{y}{R}$
$\cos\alpha = \frac{x}{R}$

Выразим из этих формул $x$ и $y$:
$y = R \cdot \sin\alpha$
$x = R \cdot \cos\alpha$

Подставим эти выражения в уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$:
$(R \cdot \cos\alpha)^2 + (R \cdot \sin\alpha)^2 = R^2$

Раскроем скобки:
$R^2 \cdot \cos^2\alpha + R^2 \cdot \sin^2\alpha = R^2$

Вынесем общий множитель $R^2$ за скобки в левой части уравнения:
$R^2 (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = R^2$

Поскольку радиус окружности $R$ не равен нулю ($R > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $R^2$:
$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Оно доказывается путем подстановки определений $\sin\alpha = y/R$ и $\cos\alpha = x/R$ в уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$.

Практическая работа

Найдите значения тригонометрических функций при углах, равных: 1) $30^\circ$; 2) $45^\circ$; 3) $60^\circ$.

Для нахождения значений тригонометрических функций для угла в $30°$ рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ прямой ($∠C = 90°$), а угол $A$ равен $30°$ ($∠A = 30°$). Тогда третий угол $∠B = 180° - 90° - 30° = 60°$.

В геометрии есть свойство, что катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Пусть длина катета $BC$, который лежит напротив угла $A$, равна $a$. Тогда длина гипотенузы $AB$ будет равна $2a$.

С помощью теоремы Пифагора ($AC^2 + BC^2 = AB^2$) найдем длину второго катета $AC$, который является прилежащим к углу $A$:

$AC^2 = AB^2 - BC^2 = (2a)^2 - a^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2$

$AC = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Теперь, зная длины всех сторон треугольника ($BC = a$, $AC = a\sqrt{3}$ и $AB = 2a$), мы можем вычислить значения основных тригонометрических функций для угла $30°$.

Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(30°) = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(30°) = \frac{AC}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(30°) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему:
$\cot(30°) = \frac{AC}{BC} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot(30°) = \sqrt{3}$.

Для нахождения значений тригонометрических функций для угла в $45°$ рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($∠C = 90°$) и острым углом $∠A = 45°$. Поскольку сумма углов треугольника составляет $180°$, второй острый угол $∠B$ также будет равен $45°$ ($180° - 90° - 45° = 45°$).

Так как углы при основании $AB$ равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным, а его катеты $AC$ и $BC$ равны. Обозначим их длину как $a$.

По теореме Пифагора ($AB^2 = AC^2 + BC^2$) найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$AB = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь мы можем вычислить значения тригонометрических функций для угла $45°$:

Синус:
$\sin(45°) = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Косинус:
$\cos(45°) = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Тангенс:
$\tan(45°) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a} = 1$

Котангенс:
$\cot(45°) = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{a} = 1$

Ответ: $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(45°) = 1$, $\cot(45°) = 1$.

Для нахождения значений тригонометрических функций для угла в $60°$ вернемся к прямоугольному треугольнику $ABC$ из первого пункта, где $∠C = 90°$, $∠A = 30°$ и $∠B = 60°$.

Мы уже установили соотношения длин его сторон: $BC = a$, $AC = a\sqrt{3}$ и $AB = 2a$.

Теперь рассмотрим угол $B = 60°$. Для этого угла катет $AC$ является противолежащим, а катет $BC$ — прилежащим.

Вычислим значения тригонометрических функций для угла $60°$:

Синус (отношение противолежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$):
$\sin(60°) = \frac{AC}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Косинус (отношение прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$):
$\cos(60°) = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

Тангенс (отношение противолежащего катета $AC$ к прилежащему $BC$):
$\tan(60°) = \frac{AC}{BC} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$

Котангенс (отношение прилежащего катета $BC$ к противолежащему $AC$):
$\cot(60°) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, $\tan(60°) = \sqrt{3}$, $\cot(60°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.