Страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.33. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$;

2) $\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha - 1} = 1.$

1) Для доказательства тождества $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$ преобразуем его левую часть. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $(1 + \cos\alpha)$, сопряженное знаменателю. Это допустимо, так как мы умножаем на дробь, равную единице: $\frac{1 + \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$.
$\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{\sin\alpha \cdot (1 + \cos\alpha)}{(1 - \cos\alpha) \cdot (1 + \cos\alpha)}$
В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$\frac{\sin\alpha (1 + \cos\alpha)}{1^2 - \cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha (1 + \cos\alpha)}{1 - \cos^2\alpha}$
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Заменим знаменатель на $\sin^2\alpha$:
$\frac{\sin\alpha (1 + \cos\alpha)}{\sin^2\alpha}$
Сократим дробь на $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$, что является областью допустимых значений исходного равенства):
$\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$
В результате преобразования левой части мы получили правую часть тождества. Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha - 1} = 1$ покажем, что числитель равен знаменателю. Для этого преобразуем обе части дроби, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Преобразуем числитель, заменив в нем $1$ на $(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$:
$1 - 2\sin^2\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin^2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Теперь преобразуем знаменатель, аналогично заменив $1$ на $(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$:
$2\cos^2\alpha - 1 = 2\cos^2\alpha - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Числитель и знаменатель равны одному и тому же выражению $(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)$, которое является также формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha)$.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} = 1$.
Это равенство верно при условии, что знаменатель не равен нулю. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4.34. Найдите значение выражения $ \frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi + 2\cos\varphi} $, если:

1) $ \mathrm{tg}\varphi=2; $

2) $ \mathrm{ctg}\varphi=0,5. $

1)

Дано выражение $\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi + 2\cos\varphi}$ и известно, что $\text{tg}\varphi=2$.

Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$. Чтобы использовать данное значение, преобразуем исходное выражение, разделив числитель и знаменатель дроби на $\cos\varphi$. Это действие корректно, так как если $\text{tg}\varphi$ определен и равен 2, то $\cos\varphi \neq 0$.

$\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi + 2\cos\varphi} = \frac{\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\cos\varphi}}{\frac{\sin\varphi + 2\cos\varphi}{\cos\varphi}} = \frac{\frac{4\cos\varphi}{\cos\varphi} - \frac{3\sin\varphi}{\cos\varphi}}{\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} + \frac{2\cos\varphi}{\cos\varphi}} = \frac{4 - 3\text{tg}\varphi}{ \text{tg}\varphi + 2}$.

Теперь подставим известное значение $\text{tg}\varphi=2$ в полученное выражение:

$\frac{4 - 3 \cdot 2}{2 + 2} = \frac{4 - 6}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$.

Ответ: -0,5.

2)

Дано выражение $\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi + 2\cos\varphi}$ и известно, что $\text{ctg}\varphi=0,5$.

Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg}\varphi = \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$. Чтобы использовать данное значение, преобразуем исходное выражение, разделив числитель и знаменатель дроби на $\sin\varphi$. Это действие корректно, так как если $\text{ctg}\varphi$ определен и равен 0,5, то $\sin\varphi \neq 0$.

$\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi + 2\cos\varphi} = \frac{\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi}}{\frac{\sin\varphi + 2\cos\varphi}{\sin\varphi}} = \frac{\frac{4\cos\varphi}{\sin\varphi} - \frac{3\sin\varphi}{\sin\varphi}}{\frac{\sin\varphi}{\sin\varphi} + \frac{2\cos\varphi}{\sin\varphi}} = \frac{4\text{ctg}\varphi - 3}{1 + 2\text{ctg}\varphi}$.

Теперь подставим известное значение $\text{ctg}\varphi=0,5$ в полученное выражение:

$\frac{4 \cdot 0,5 - 3}{1 + 2 \cdot 0,5} = \frac{2 - 3}{1 + 1} = \frac{-1}{2} = -0,5$.

Также можно заметить, что условие $\text{ctg}\varphi=0,5$ эквивалентно условию $\text{tg}\varphi = \frac{1}{\text{ctg}\varphi} = \frac{1}{0,5} = 2$, что совпадает с условием из пункта 1, поэтому и результат должен быть таким же.

Ответ: -0,5.

4.35. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin^2 \gamma}{\sin \gamma - \cos \gamma} + \frac{\sin \gamma + \cos \gamma}{1 - \tan^2 \gamma} = \sin \gamma + \cos \gamma;$

2) $\frac{1 - 4 \sin^2 \varphi \cos^2 \varphi}{(\sin \varphi + \cos \varphi)^2} = 1 - 2 \sin \varphi \cos \varphi;$

3) $\frac{\tan^2 \beta + \tan \beta + 1}{\cot^2 \beta + \cot \beta + 1} = \tan^2 \beta.$

1)Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Начнем с упрощения второго слагаемого, используя определение тангенса $ \operatorname{tg}\gamma = \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma} $:
$ \frac{\sin\gamma + \cos\gamma}{1 - \operatorname{tg}^2\gamma} = \frac{\sin\gamma + \cos\gamma}{1 - \frac{\sin^2\gamma}{\cos^2\gamma}} = \frac{\sin\gamma + \cos\gamma}{\frac{\cos^2\gamma - \sin^2\gamma}{\cos^2\gamma}} $
Применим в знаменателе формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \frac{(\sin\gamma + \cos\gamma)\cos^2\gamma}{\cos^2\gamma - \sin^2\gamma} = \frac{(\sin\gamma + \cos\gamma)\cos^2\gamma}{(\cos\gamma - \sin\gamma)(\cos\gamma + \sin\gamma)} = \frac{\cos^2\gamma}{\cos\gamma - \sin\gamma} $
Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства и приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{\sin^2\gamma}{\sin\gamma - \cos\gamma} + \frac{\cos^2\gamma}{\cos\gamma - \sin\gamma} = \frac{\sin^2\gamma}{\sin\gamma - \cos\gamma} - \frac{\cos^2\gamma}{\sin\gamma - \cos\gamma} = \frac{\sin^2\gamma - \cos^2\gamma}{\sin\gamma - \cos\gamma} $
Применим формулу разности квадратов к числителю:
$ \frac{(\sin\gamma - \cos\gamma)(\sin\gamma + \cos\gamma)}{\sin\gamma - \cos\gamma} = \sin\gamma + \cos\gamma $
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2)Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ 1 - 4\sin^2\varphi\cos^2\varphi = 1^2 - (2\sin\varphi\cos\varphi)^2 = (1 - 2\sin\varphi\cos\varphi)(1 + 2\sin\varphi\cos\varphi) $
Теперь преобразуем знаменатель, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:
$ (\sin\varphi + \cos\varphi)^2 = \sin^2\varphi + 2\sin\varphi\cos\varphi + \cos^2\varphi $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1 $, получаем:
$ (\sin^2\varphi + \cos^2\varphi) + 2\sin\varphi\cos\varphi = 1 + 2\sin\varphi\cos\varphi $
Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{(1 - 2\sin\varphi\cos\varphi)(1 + 2\sin\varphi\cos\varphi)}{1 + 2\sin\varphi\cos\varphi} $
Сократим дробь на общий множитель $ (1 + 2\sin\varphi\cos\varphi) $:
$ 1 - 2\sin\varphi\cos\varphi $
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3)Для доказательства преобразуем левую часть тождества. В знаменателе выразим котангенс через тангенс по формуле $ \operatorname{ctg}\beta = \frac{1}{\operatorname{tg}\beta} $:
$ \operatorname{ctg}^2\beta + \operatorname{ctg}\beta + 1 = \left(\frac{1}{\operatorname{tg}\beta}\right)^2 + \frac{1}{\operatorname{tg}\beta} + 1 = \frac{1}{\operatorname{tg}^2\beta} + \frac{1}{\operatorname{tg}\beta} + 1 $
Приведем это выражение к общему знаменателю $ \operatorname{tg}^2\beta $:
$ \frac{1}{\operatorname{tg}^2\beta} + \frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}^2\beta} + \frac{\operatorname{tg}^2\beta}{\operatorname{tg}^2\beta} = \frac{1 + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}^2\beta}{\operatorname{tg}^2\beta} $
Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:
$ \frac{\operatorname{tg}^2\beta + \operatorname{tg}\beta + 1}{\frac{1 + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}^2\beta}{\operatorname{tg}^2\beta}} $
Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):
$ (\operatorname{tg}^2\beta + \operatorname{tg}\beta + 1) \cdot \frac{\operatorname{tg}^2\beta}{1 + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}^2\beta} $
Сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе:
$ \operatorname{tg}^2\beta $
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4.36. Решите квадратные неравенства:

1) $x^2-4x+3<0;$

2) $2x^2-5x+3\ge0;$

3) $4x^2+x+1\le0;$

4) $3x^2-x-1>0.$

1) $x^2-4x+3<0$
Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-4x+3=0$.
Это приведенное квадратное уравнение, его корни можно найти по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 4$
$x_1 \cdot x_2 = 3$
Подбором находим корни: $x_1=1$ и $x_2=3$.
Также можно найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 = 2^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2}$
$x_1 = \frac{4-2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{4+2}{2} = 3$
Графиком функции $y=x^2-4x+3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ равен $1>0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=3$.
Неравенство $x^2-4x+3<0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс. Это происходит на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(1, 3)$.
Ответ: $x \in (1, 3)$.

2) $2x^2-5x+3 \ge 0$
Найдем корни квадратного уравнения $2x^2-5x+3=0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 = 1^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$
$x_1 = \frac{5-1}{4} = 1$
$x_2 = \frac{5+1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$
Графиком функции $y=2x^2-5x+3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. $a=2>0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=1.5$.
Неравенство $2x^2-5x+3 \ge 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится на оси абсцисс или выше нее. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни (т.к. неравенство нестрогое).

Решением является объединение двух промежутков: $(-\infty, 1] \cup [1.5, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, 1] \cup [1.5, \infty)$.

3) $4x^2+x+1 \le 0$
Рассмотрим соответствующее уравнение $4x^2+x+1=0$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$
Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Графиком функции $y=4x^2+x+1$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4>0$). Поскольку у параболы нет точек пересечения с осью Ox, она полностью расположена выше оси Ox.

Это означает, что выражение $4x^2+x+1$ всегда принимает положительные значения. Неравенство $4x^2+x+1 \le 0$ не выполняется ни при каких значениях $x$.
Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

4) $3x^2-x-1 > 0$
Найдем корни уравнения $3x^2-x-1=0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 1 + 12 = 13$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$
Графиком функции $y=3x^2-x-1$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3>0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x_1$ и $x_2$.
Неравенство $3x^2-x-1 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня. Так как неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Решением является объединение двух интервалов: $(-\infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \infty)$.

4.37. Покажите, что выражение:

1) $(5+3\sqrt{7})^2+(5-3\sqrt{7})^2$;

2) $\left(\sqrt{\sqrt{45+2\sqrt{5}}+\sqrt{45-2\sqrt{5}}}\right)^2 - 6\sqrt{5}$

является рациональным числом.

1) Чтобы показать, что выражение $(5+3\sqrt{7})^2 + (5-3\sqrt{7})^2$ является рациональным числом, нужно его упростить.
Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
Раскроем каждую скобку:
Первая скобка: $(5+3\sqrt{7})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{7} + (3\sqrt{7})^2 = 25 + 30\sqrt{7} + 9 \cdot 7 = 25 + 30\sqrt{7} + 63 = 88 + 30\sqrt{7}$.
Вторая скобка: $(5-3\sqrt{7})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{7} + (3\sqrt{7})^2 = 25 - 30\sqrt{7} + 9 \cdot 7 = 25 - 30\sqrt{7} + 63 = 88 - 30\sqrt{7}$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(88 + 30\sqrt{7}) + (88 - 30\sqrt{7}) = 88 + 30\sqrt{7} + 88 - 30\sqrt{7} = 176$.
В результате упрощения получилось число 176. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Число 176 можно представить как $\frac{176}{1}$, следовательно, оно является рациональным.
Ответ: 176.

2) Чтобы показать, что выражение $(\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}} + \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}})^2 - 6\sqrt{5}$ является рациональным числом, упростим его.
Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a = \sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}}$ и $b = \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}}$.
$(\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}} + \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}})^2 = (\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}})^2 + 2 \cdot \sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}} + (\sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}})^2$.
Упростим каждое слагаемое:
$(\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}})^2 = \sqrt{45}+2\sqrt{5}$.
$(\sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}})^2 = \sqrt{45}-2\sqrt{5}$.
Произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений. Для подкоренного выражения применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:
$2 \cdot \sqrt{(\sqrt{45}+2\sqrt{5})(\sqrt{45}-2\sqrt{5})} = 2\sqrt{(\sqrt{45})^2 - (2\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{45 - 4 \cdot 5} = 2\sqrt{45 - 20} = 2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$.
Теперь сложим все части:
$(\sqrt{45}+2\sqrt{5}) + 10 + (\sqrt{45}-2\sqrt{5}) = \sqrt{45}+2\sqrt{5} + 10 + \sqrt{45}-2\sqrt{5} = 2\sqrt{45} + 10$.
Упростим $\sqrt{45}$: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.
Значит, $2\sqrt{45} + 10 = 2 \cdot 3\sqrt{5} + 10 = 6\sqrt{5} + 10$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(6\sqrt{5} + 10) - 6\sqrt{5} = 10$.
В результате упрощения получилось число 10, которое является рациональным.
Ответ: 10.