Номер 4.33, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.33. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$;

2) $\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha - 1} = 1.$

1) Для доказательства тождества $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$ преобразуем его левую часть. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $(1 + \cos\alpha)$, сопряженное знаменателю. Это допустимо, так как мы умножаем на дробь, равную единице: $\frac{1 + \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$.
$\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{\sin\alpha \cdot (1 + \cos\alpha)}{(1 - \cos\alpha) \cdot (1 + \cos\alpha)}$
В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$\frac{\sin\alpha (1 + \cos\alpha)}{1^2 - \cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha (1 + \cos\alpha)}{1 - \cos^2\alpha}$
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Заменим знаменатель на $\sin^2\alpha$:
$\frac{\sin\alpha (1 + \cos\alpha)}{\sin^2\alpha}$
Сократим дробь на $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$, что является областью допустимых значений исходного равенства):
$\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$
В результате преобразования левой части мы получили правую часть тождества. Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha - 1} = 1$ покажем, что числитель равен знаменателю. Для этого преобразуем обе части дроби, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Преобразуем числитель, заменив в нем $1$ на $(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$:
$1 - 2\sin^2\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin^2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Теперь преобразуем знаменатель, аналогично заменив $1$ на $(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$:
$2\cos^2\alpha - 1 = 2\cos^2\alpha - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Числитель и знаменатель равны одному и тому же выражению $(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)$, которое является также формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha)$.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} = 1$.
Это равенство верно при условии, что знаменатель не равен нулю. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.