Номер 4.26, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.26. Выберите какое-либо значение $m$ так, чтобы $-1 < m < 1$, и постройте угол $\varphi$, удовлетворяющий равенству:

1) $\sin\varphi = m$;

2) $\cos\varphi = m$.

Сколько таких углов $\alpha$ существует? Обоснуйте ответ.

Для решения задачи выберем конкретное значение $m$, удовлетворяющее условию $-1 < m < 1$. Пусть $m = 0.5$.

1) sinφ=m;

Нам нужно построить угол $φ$, для которого $\sin φ = 0.5$. Для построения воспользуемся единичной окружностью в декартовой системе координат.
Синус угла на единичной окружности – это ордината (координата $y$) точки, в которой конечная сторона угла пересекает окружность.
Построим единичную окружность с центром в начале координат (точка O) и радиусом, равным 1. Затем проведем горизонтальную прямую $y = m$, то есть $y = 0.5$.
Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках, $P_1$ и $P_2$, так как $-1 < 0.5 < 1$.
Каждая из этих точек соответствует углу, синус которого равен 0.5.
Угол $φ_1$ – это угол, образованный положительным направлением оси Ox и лучом $OP_1$. Он находится в первой четверти.
Угол $φ_2$ – это угол, образованный положительным направлением оси Ox и лучом $OP_2$. Он находится во второй четверти.
Графическое построение представлено на рисунке:

В вопросе спрашивается о количестве углов $α$, в то время как в условии дано равенство для угла $φ$. Предполагая, что это опечатка и речь идет об угле $φ$, обоснуем ответ.
Так как функция синуса является периодической с периодом $2π$ (или $360°$), то каждому из найденных на окружности решений ($φ_1$ и $φ_2$) соответствует бесконечное множество углов. Если $φ_0$ — одно из решений уравнения $\sin φ = m$, то все решения можно описать двумя сериями формул:
1. $φ = \arcsin(m) + 2πk$, где $k$ — любое целое число. Для $m=0.5$, это $φ = \frac{π}{6} + 2πk$.
2. $φ = π - \arcsin(m) + 2πk$, где $k$ — любое целое число. Для $m=0.5$, это $φ = π - \frac{π}{6} + 2πk = \frac{5π}{6} + 2πk$.
Эти две серии описывают все возможные углы. Таким образом, существует бесконечное множество углов $φ$, удовлетворяющих равенству $\sin φ = m$ для любого $m$ из интервала $(-1, 1)$.
Ответ: Существует бесконечное множество таких углов.

2) cosφ=m;

Аналогично, построим угол $φ$, для которого $\cos φ = 0.5$.
Косинус угла на единичной окружности – это абсцисса (координата $x$) точки, в которой конечная сторона угла пересекает окружность.
Снова построим единичную окружность. Теперь проведем вертикальную прямую $x = m$, то есть $x = 0.5$.
Эта прямая также пересечет единичную окружность в двух точках, $P_3$ и $P_4$, поскольку $-1 < 0.5 < 1$.
Угол $φ_3$ соответствует точке $P_3$ в первой четверти.
Угол $φ_4$ соответствует точке $P_4$ в четвертой четверти.
Графическое построение представлено на рисунке:

Функция косинуса также является периодической с периодом $2π$ (или $360°$). Следовательно, для уравнения $\cos φ = m$ при $-1 < m < 1$ также существует бесконечное множество решений.
Все решения можно описать общей формулой:
$φ = \pm \arccos(m) + 2πk$, где $k$ — любое целое число.
Для нашего примера с $m=0.5$:
$φ = \pm \arccos(0.5) + 2πk = \pm \frac{π}{3} + 2πk$.
Это означает две серии решений: $φ = \frac{π}{3} + 2πk$ и $φ = -\frac{π}{3} + 2πk$.
Таким образом, существует бесконечное множество углов $φ$, удовлетворяющих равенству $\cos φ = m$ для любого $m$ из интервала $(-1, 1)$.
Ответ: Существует бесконечное множество таких углов.