Номер 4.30, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.30. Упростите выражения:

1) $(1+\text{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha$;

2) $\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$

3) $\frac{\cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha - \text{tg}^2\alpha}$.

1) $(1 + \text{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha$

Для упрощения данного выражения можно использовать два способа.

Способ 1:

Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Подставим это в исходное выражение:

$(1 + \text{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = 1$.

Данное преобразование верно при условии, что $\cos\alpha \neq 0$, так как иначе $\text{tg}\alpha$ не был бы определен.

Способ 2:

Выразим тангенс через синус и косинус, используя определение $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$(1 + \text{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha = (1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha})\cos^2\alpha$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$(\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha})\cos^2\alpha = (\frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha})\cos^2\alpha$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = 1$.

Ответ: $1$.

2) $\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $\text{ctg}x = \frac{1}{\text{tg}x}$. Заменим котангенсы в знаменателе дроби:

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta} = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta}}$.

Теперь приведем сумму в знаменателе к общему знаменателю:

$\frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta} = \frac{\text{tg}\beta + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}}$.

Чтобы избавиться от "многоэтажности" дроби, разделим числитель на знаменатель, то есть умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$(\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \cdot \frac{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$.

Сократим общий множитель $(\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta)$ (при условии, что он не равен нулю):

$\text{tg}\alpha \text{tg}\beta$.

Ответ: $\text{tg}\alpha \text{tg}\beta$.

3) $\frac{\cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha - \text{tg}^2\alpha}$

Для упрощения данного выражения выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Подставим эти определения в исходное выражение:

$\frac{\cos^2\alpha - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\sin^2\alpha - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}$.

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{\cos^2\alpha(1 - \frac{1}{\sin^2\alpha})}{\sin^2\alpha(1 - \frac{1}{\cos^2\alpha})}$.

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$\frac{\cos^2\alpha(\frac{\sin^2\alpha - 1}{\sin^2\alpha})}{\sin^2\alpha(\frac{\cos^2\alpha - 1}{\cos^2\alpha})}$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следуют равенства: $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$ и $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$.

Подставим эти равенства в наше выражение:

$\frac{\cos^2\alpha(\frac{-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha})}{\sin^2\alpha(\frac{-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha})} = \frac{-\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}{-\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}}$.

Отрицательные знаки в числителе и знаменателе сокращаются. Теперь упростим полученную сложную дробь, умножив числитель на перевернутый знаменатель:

$\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{\cos^4\alpha \cdot \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha \cdot \sin^4\alpha} = \frac{\cos^6\alpha}{\sin^6\alpha}$.

Используя определение котангенса $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, получаем окончательный результат:

$(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^6 = \text{ctg}^6\alpha$.

Ответ: $\text{ctg}^6\alpha$.