Номер 4.32, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.32. Найдите значение выражения $\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+2\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)+4\cos x+2\cos \left(x+\frac{3\pi}{4}\right)$ при:

1) $x=\frac{\pi}{4}$;

2) $x=\frac{3\pi}{4}$.

Обозначим данное выражение как $E(x) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) + 4\cos x + 2\cos\left(x + \frac{3\pi}{4}\right)$. Для нахождения его значения при заданных $x$, подставим эти значения в выражение.

1) Найдем значение выражения при $x = \frac{\pi}{4}$:

$E\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) + 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) + 4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}\right)$

Упростим аргументы тригонометрических функций:

$E\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right) + 2\sin(0) + 4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\cos\left(\frac{4\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2\sin(0) + 4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\cos(\pi)$

Подставим известные значения тригонометрических функций: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, $\sin(0) = 0$, $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\pi) = -1$.

$E\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot (-1) = 1 + 0 + 2\sqrt{2} - 2 = 2\sqrt{2} - 1$.

Ответ: $2\sqrt{2} - 1$.

2) Найдем значение выражения при $x = \frac{3\pi}{4}$:

$E\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}\right) + 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}\right) + 4\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + 2\cos\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}\right)$

Упростим аргументы тригонометрических функций:

$E\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{4\pi}{4}\right) + 2\sin\left(-\frac{2\pi}{4}\right) + 4\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + 2\cos\left(\frac{6\pi}{4}\right) = \sin(\pi) + 2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 4\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + 2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$

Подставим известные значения тригонометрических функций: $\sin(\pi) = 0$, $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$.

$E\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 0 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2 \cdot 0 = -2 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $-2 - 2\sqrt{2}$.