Номер 4.25, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.25. Используя тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, упростите выражения:

1) $ \sin^2\alpha - 1 $;

2) $ \sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^4\alpha $;

3) $ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 $;

4) $ \cos^2\alpha - \cos^4\alpha + \sin^4\alpha $.

1) Чтобы упростить выражение $sin^2\alpha - 1$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Из этого тождества можно выразить $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$. Умножим обе части на -1:

$-cos^2\alpha = -(1 - sin^2\alpha) = sin^2\alpha - 1$.

Таким образом, исходное выражение равно $-cos^2\alpha$.

Ответ: $-cos^2\alpha$.

2) Рассмотрим выражение $sin^4\alpha+2sin^2\alpha cos^2\alpha+cos^4\alpha$.

Данное выражение является полным квадратом суммы, так как оно соответствует формуле сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a = sin^2\alpha$ и $b = cos^2\alpha$.

Свернем выражение по этой формуле:

$sin^4\alpha+2sin^2\alpha cos^2\alpha+cos^4\alpha = (sin^2\alpha)^2 + 2(sin^2\alpha)(cos^2\alpha) + (cos^2\alpha)^2 = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2$.

Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$(1)^2 = 1$.

Ответ: $1$.

3) Упростим выражение $(sin\alpha + cos\alpha)^2 + (sin\alpha - cos\alpha)^2$.

Для этого раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(sin\alpha + cos\alpha)^2 = sin^2\alpha + 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha$.

$(sin\alpha - cos\alpha)^2 = sin^2\alpha - 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha$.

Сложим полученные выражения:

$(sin^2\alpha + 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha) + (sin^2\alpha - 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha)$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $2sin\alpha cos\alpha$ и $-2sin\alpha cos\alpha$ взаимно уничтожаются:

$sin^2\alpha + cos^2\alpha + sin^2\alpha + cos^2\alpha = 2sin^2\alpha + 2cos^2\alpha$.

Вынесем 2 за скобки:

$2(sin^2\alpha + cos^2\alpha)$.

Используя тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем:

$2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $2$.

4) Упростим выражение $cos^2\alpha - cos^4\alpha + sin^4\alpha$.

В первых двух слагаемых вынесем общий множитель $cos^2\alpha$ за скобки:

$cos^2\alpha(1 - cos^2\alpha) + sin^4\alpha$.

Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ следует, что $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$. Заменим выражение в скобках на $sin^2\alpha$:

$cos^2\alpha \cdot sin^2\alpha + sin^4\alpha$.

Теперь вынесем общий множитель $sin^2\alpha$ за скобки:

$sin^2\alpha(cos^2\alpha + sin^2\alpha)$.

Выражение в скобках, $cos^2\alpha + sin^2\alpha$, равно 1. Следовательно:

$sin^2\alpha \cdot 1 = sin^2\alpha$.

Ответ: $sin^2\alpha$.