Номер 4.27, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.27. Упростите выражения:

1) $ \sin^4 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $;

2) $ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $;

3) $ \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} $;

4) $ \frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha - 1} $.

1) $sin⁴α+cos²α+sin²α cos²α$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и вынесем за скобки общий множитель $sin²α$: $sin⁴α+sin²α cos²α+cos²α = sin²α(sin²α+cos²α)+cos²α$.

Применим основное тригонометрическое тождество $sin²α+cos²α=1$. Выражение в скобках равно 1: $sin²α \cdot 1+cos²α = sin²α+cos²α$.

Снова используем основное тригонометрическое тождество: $sin²α+cos²α=1$.

Ответ: 1

2) $sin⁴α-cos⁴α-sin²α+cos²α$

Представим $sin⁴α-cos⁴α$ как разность квадратов $(sin²α)²-(cos²α)²$: $(sin²α-cos²α)(sin²α+cos²α)$.

Так как $sin²α+cos²α=1$, то $sin⁴α-cos⁴α$ упрощается до $sin²α-cos²α$.

Подставим полученное выражение в исходное: $(sin²α-cos²α)-sin²α+cos²α$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $sin²α-cos²α-sin²α+cos²α = (sin²α-sin²α)+(-cos²α+cos²α) = 0+0=0$.

Ответ: 0

3) $\frac{cos²α}{1-sin²α}$

Из основного тригонометрического тождества $sin²α+cos²α=1$ следует, что $cos²α = 1-sin²α$.

Заменим знаменатель дроби $1-sin²α$ на $cos²α$: $\frac{cos²α}{cos²α}$.

При условии, что $cosα \neq 0$, дробь равна 1.

Ответ: 1

4) $\frac{1-2sin²α}{2cos²α-1}$

Используем формулы косинуса двойного угла: $cos(2α) = 1-2sin²α$ и $cos(2α) = 2cos²α-1$.

Числитель и знаменатель дроби являются разными формами записи $cos(2α)$.

Таким образом, выражение можно переписать как: $\frac{cos(2α)}{cos(2α)}$.

При условии, что $cos(2α) \neq 0$, выражение равно 1.

Ответ: 1