Номер 4.23, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.23. Существует ли угол $ \alpha $, при котором $ \cos \alpha $ равен:

1) $ \sqrt{2} $;

2) $ \frac{1}{\sqrt{2}} $;

3) $ \frac{1+\sqrt{3}}{2} $;

4) $ \frac{1-\sqrt{3}}{2} $?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо вспомнить основное свойство тригонометрической функции косинус. Область значений функции $y = \cos \alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого существующего угла $\alpha$, значение его косинуса должно удовлетворять неравенству:
$-1 \le \cos \alpha \le 1$.
Проверим каждое из предложенных значений на соответствие этому условию.

1) $\sqrt{2}$
Оценим значение $\sqrt{2}$. Поскольку $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, то $1 < \sqrt{2} < 2$. Более точное значение: $\sqrt{2} \approx 1.414$.
Сравниваем это значение с областью значений косинуса: $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$.
Значение $\sqrt{2}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Ответ: нет, не существует.

2) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Чтобы удобнее было оценить это значение, избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Приближенное значение: $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.414}{2} = 0.707$.
Сравниваем это значение с областью значений косинуса: $-1 \le \frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$.
Значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Например, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: да, существует.

3) $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
Оценим значение $\sqrt{3}$. Поскольку $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. Более точное значение: $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Теперь оценим все выражение: $\frac{1+\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1+1.732}{2} = \frac{2.732}{2} = 1.366$.
Сравниваем это значение с областью значений косинуса: $\frac{1+\sqrt{3}}{2} \approx 1.366 > 1$.
Значение $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Ответ: нет, не существует.

4) $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
Используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Оценим выражение: $\frac{1-\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1-1.732}{2} = \frac{-0.732}{2} = -0.366$.
Сравниваем это значение с областью значений косинуса: $-1 \le -0.366 \le 1$.
Значение $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Ответ: да, существует.