Номер 4.18, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.18. Разложите многочлены на множители:

1) $5x^3-3x^2-2x$;

2) $3x^2+2x-2.$

1) Для разложения многочлена $5x^3-3x^2-2x$ на множители, первым шагом вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$5x^3-3x^2-2x = x(5x^2-3x-2)$
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $5x^2-3x-2$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2-3x-2=0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.
Теперь применим формулу разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$:
$5x^2-3x-2 = 5(x-1)(x-(-\frac{2}{5})) = 5(x-1)(x+\frac{2}{5})$.
Умножим второй множитель на 5, чтобы избавиться от дроби:
$5(x-1)(x+\frac{2}{5}) = (x-1)(5x+2)$.
Подставим полученное выражение в исходное разложение:
$x(5x^2-3x-2) = x(x-1)(5x+2)$.
Ответ: $x(x-1)(5x+2)$.

2) Для разложения на множители многочлена $3x^2+2x-2$, который является квадратным трехчленом, найдем корни уравнения $3x^2+2x-2=0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 4 + 24 = 28$.
Так как дискриминант положителен, но не является полным квадратом, корни уравнения будут иррациональными.
$\sqrt{D} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 2\sqrt{7}}{2 \cdot 3} = \frac{2(-1 + \sqrt{7})}{6} = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 2\sqrt{7}}{2 \cdot 3} = \frac{2(-1 - \sqrt{7})}{6} = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$.
Воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$:
$3x^2+2x-2 = 3(x - \frac{-1+\sqrt{7}}{3})(x - \frac{-1-\sqrt{7}}{3})$.
Ответ: $3(x - \frac{-1+\sqrt{7}}{3})(x - \frac{-1-\sqrt{7}}{3})$.