Номер 4.12, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.12. Как расположены на числовой оси и единичной окружности точки, соответствующие числам:

1) $x$ и $-x$;
2) $x$ и $x+\pi$;
3) $x$ и $x+2n\pi$;
4) $x-\pi$ и $x+\pi$?

1) x и -x

На числовой оси:

Точки, соответствующие числам $x$ и $-x$, расположены симметрично относительно начала координат (точки 0). Они находятся на одинаковом расстоянии $|x|$ от нуля, но в противоположных направлениях.

На единичной окружности:

Точки, соответствующие числам (углам в радианах) $x$ и $-x$, расположены симметрично относительно оси абсцисс (горизонтальной оси Ox). Если точка, соответствующая углу $x$, имеет координаты $(\cos x, \sin x)$, то точка, соответствующая углу $-x$, имеет координаты $(\cos(-x), \sin(-x)) = (\cos x, -\sin x)$.

Ответ: На числовой оси точки симметричны относительно нуля. На единичной окружности точки симметричны относительно оси абсцисс.

2) x и x+π

На числовой оси:

Точка, соответствующая числу $x+\pi$, получается смещением точки $x$ на $\pi$ единиц вправо. Расстояние между этими точками равно $\pi$.

На единичной окружности:

Точки, соответствующие числам $x$ и $x+\pi$, расположены диаметрально противоположно. Это означает, что они симметричны относительно центра окружности (начала координат). Прибавление $\pi$ к углу соответствует повороту на 180°.

Ответ: На числовой оси точка $x+\pi$ сдвинута вправо от точки $x$ на расстояние $\pi$. На единичной окружности точки диаметрально противоположны.

3) x и x+2nπ

На числовой оси:

Для любого ненулевого целого $n$ ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), точки, соответствующие числам $x$ и $x+2n\pi$, являются различными. Точка $x+2n\pi$ получается смещением точки $x$ на $2n\pi$. Если $n > 0$, смещение происходит вправо, если $n < 0$ - влево. Расстояние между точками равно $|2n\pi|$. Если $n=0$, точки совпадают.

На единичной окружности:

Прибавление $2\pi$ к углу соответствует полному обороту вокруг окружности. Поэтому прибавление $2n\pi$ (где $n$ - целое число) соответствует $n$ полным оборотам. В результате мы возвращаемся в ту же самую точку. Таким образом, точки, соответствующие числам $x$ и $x+2n\pi$, на единичной окружности совпадают.

Ответ: На числовой оси это разные точки (кроме случая $n=0$), отстоящие друг от друга на расстояние $|2n\pi|$. На единичной окружности эти точки совпадают.

4) x-π и x+π

На числовой оси:

Точки, соответствующие числам $x-\pi$ и $x+\pi$, расположены симметрично относительно точки $x$. Точка $x-\pi$ находится на расстоянии $\pi$ слева от $x$, а точка $x+\pi$ - на расстоянии $\pi$ справа от $x$. Расстояние между точками $x-\pi$ и $x+\pi$ равно $2\pi$.

На единичной окружности:

Разность между числами $x+\pi$ и $x-\pi$ составляет $(x+\pi) - (x-\pi) = 2\pi$. Как и в предыдущем пункте, разница в $2\pi$ означает полный оборот по окружности. Следовательно, точки, соответствующие числам $x-\pi$ и $x+\pi$, на единичной окружности совпадают. Обе эти точки диаметрально противоположны точке, соответствующей числу $x$.

Ответ: На числовой оси точки симметричны относительно точки $x$ и находятся на расстоянии $2\pi$ друг от друга. На единичной окружности эти точки совпадают.