Номер 4.9, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.9. В прямоугольном треугольнике: а) катеты равны между собой; б) один из катетов равен половине гипотенузы. Найдите градусные и радианные меры углов этого треугольника.

а) катеты равны между собой

По условию, мы рассматриваем прямоугольный треугольник. Это означает, что один из его углов по определению равен $90^\circ$.

Также дано, что катеты этого треугольника равны между собой. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам (в данном случае — острые углы при гипотенузе), также равны. Обозначим каждый из этих равных углов как $\alpha$.

Сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Поскольку один угол равен $90^\circ$, сумма двух других, острых углов, должна быть равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как оба острых угла равны $\alpha$, мы можем составить уравнение: $\alpha + \alpha = 90^\circ$, что эквивалентно $2\alpha = 90^\circ$.

Решая это уравнение, получаем $\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Следовательно, углы треугольника в градусной мере равны: $45^\circ$, $45^\circ$ и $90^\circ$.

Теперь переведем градусные меры в радианные, используя соотношение $180^\circ = \pi$ радиан.
$45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ радиан.
$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Таким образом, углы в радианной мере равны: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ или $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$ радиан.

б) один из катетов равен половине гипотенузы

Мы снова рассматриваем прямоугольный треугольник, где один угол равен $90^\circ$. Пусть катет $a$ и гипотенуза $c$ связаны соотношением $a = \frac{c}{2}$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Пусть угол $\alpha$ — это угол, который лежит напротив катета $a$. Тогда по определению: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$.

Подставим в эту формулу данное нам условие $a = \frac{c}{2}$:
$\sin(\alpha) = \frac{\frac{1}{2}c}{c} = \frac{1}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, равен $30^\circ$. Следовательно, $\alpha = 30^\circ$. (Это также известное свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы).

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол, который мы обозначим $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, углы треугольника в градусной мере равны: $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.

Переведем эти значения в радианы:
$30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ радиан.
$60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан.
$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Следовательно, углы в радианной мере равны: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ или $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ радиан.