Номер 4.10, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.10. Выразите в радианах углы правильного n-угольника:

1) $n=3$;

2) $n=4$;

3) $n=5$;

4) $n=6$;

5) $n=9$;

6) $n=18$.

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника в радианах используется формула, которая выводится из формулы суммы углов многоугольника. Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна $(n-2)\pi$ радиан. Поскольку в правильном n-угольнике все $n$ углов равны, для нахождения величины одного угла нужно разделить сумму на их количество.

Таким образом, формула для величины одного внутреннего угла правильного n-угольника в радианах:

$\alpha_n = \frac{(n-2)\pi}{n}$

Применим эту формулу для каждого из заданных значений $n$.

1) n=3;
Для правильного треугольника угол равен:
$\alpha_3 = \frac{(3-2)\pi}{3} = \frac{1 \cdot \pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ радиан.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

2) n=4;
Для правильного четырехугольника (квадрата) угол равен:
$\alpha_4 = \frac{(4-2)\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ радиан.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) n=5;
Для правильного пятиугольника угол равен:
$\alpha_5 = \frac{(5-2)\pi}{5} = \frac{3\pi}{5}$ радиан.
Ответ: $\frac{3\pi}{5}$.

4) n=6;
Для правильного шестиугольника угол равен:
$\alpha_6 = \frac{(6-2)\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ радиан.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

5) n=9;
Для правильного девятиугольника угол равен:
$\alpha_9 = \frac{(9-2)\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}$ радиан.
Ответ: $\frac{7\pi}{9}$.

6) n=18;
Для правильного восемнадцатиугольника угол равен:
$\alpha_{18} = \frac{(18-2)\pi}{18} = \frac{16\pi}{18} = \frac{8\pi}{9}$ радиан.
Ответ: $\frac{8\pi}{9}$.