Номер 4.17, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.17. Постройте графики функций:

1) $y=(x-2)^2+3;$

2) $y=x^2-4x.$

1) Графиком функции $y=(x-2)^2+3$ является парабола. Данная функция записана в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы.

В нашем случае $a=1$, $x_0=2$, $y_0=3$.

Следовательно, график функции можно получить из графика основной параболы $y=x^2$ путем следующих преобразований:

• Сдвиг на 2 единицы вправо по оси абсцисс (Ox).
• Сдвиг на 3 единицы вверх по оси ординат (Oy).

Основные характеристики графика:

• Вершина параболы находится в точке $(2; 3)$.
• Ось симметрии — вертикальная прямая $x=2$.
• Ветки параболы направлены вверх, так как коэффициент $a=1 > 0$.

Для построения найдем несколько контрольных точек:

• При $x=0$, $y=(0-2)^2+3 = 4+3 = 7$. Точка $(0; 7)$.
• При $x=1$, $y=(1-2)^2+3 = 1+3 = 4$. Точка $(1; 4)$.
• Вершина в точке $(2; 3)$.
• Используя симметрию относительно прямой $x=2$, получаем точки $(3; 4)$ и $(4; 7)$.

Ответ: График функции $y=(x-2)^2+3$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y=x^2$ на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(2; 3)$, ветви направлены вверх.

2) Графиком функции $y=x^2-4x$ является парабола. Это квадратичная функция вида $y=ax^2+bx+c$, где $a=1$, $b=-4$, $c=0$.

Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -b / (2a)$:

$x_0 = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.

Для нахождения ординаты вершины подставим $x_0=2$ в уравнение функции:

$y_0 = (2)^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2; -4)$. Ось симметрии — прямая $x=2$.

Другой способ найти вершину — выделить полный квадрат:

$y = x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$.

Из этого вида также следует, что вершина находится в точке $(2; -4)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

• С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.
• С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0$. Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=4$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

Контрольные точки для построения: $(0;0)$, $(4;0)$ (пересечения с Ox), $(2;-4)$ (вершина), а также симметричные точки $(1; -3)$ и $(3; -3)$.

Ответ: График функции $y=x^2-4x$ — это парабола с вершиной в точке $(2; -4)$, ветви которой направлены вверх. График пересекает оси координат в точках $(0; 0)$ и $(4; 0)$.