Номер 4.16, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.16. Решите уравнения:

1) $x^2-7x+6=0;$

2) $4x^2+5x+1=0;$

3) $3x^2-8x+5=0;$

4) $2x^2+x+1=0.$

1) Для решения квадратного уравнения $x^2-7x+6=0$ используем формулу корней через дискриминант. Общий вид уравнения: $ax^2+bx+c=0$. В данном случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-7$, $c=6$.
Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2-4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Также можно было использовать теорему Виета. Для приведенного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней $x_1+x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $x_1+x_2=7$ и $x_1 \cdot x_2=6$. Корни $1$ и $6$ удовлетворяют этим условиям.
Ответ: $x_1=1, x_2=6$.

2) Решим квадратное уравнение $4x^2+5x+1=0$.
Коэффициенты: $a=4$, $b=5$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2-4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 3}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.
$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 3}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $x_1=-1, x_2=-\frac{1}{4}$.

3) Решим квадратное уравнение $3x^2-8x+5=0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2-4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
$x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $x_1=1, x_2=\frac{5}{3}$.

4) Решим квадратное уравнение $2x^2+x+1=0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=1$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2-4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.