Номер 4.11, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.11. Укажите наименьшую неотрицательную радианную меру угла, соответствующую точкам пересечения единичной окружности с осями координат. Напишите общий вид радианной меры углов, соответствующих этим точкам.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом, равным 1. Её уравнение в декартовых координатах: $x^2 + y^2 = 1$. Точки пересечения этой окружности с осями координат — это точки, где одна из координат равна нулю.

1. Пересечение с осью Ox (ось абсцисс): при $y = 0$ из уравнения окружности следует $x^2 + 0^2 = 1$, что дает $x = \pm 1$. Получаем две точки пересечения: $A(1, 0)$ и $C(-1, 0)$.

2. Пересечение с осью Oy (ось ординат): при $x = 0$ из уравнения окружности следует $0^2 + y^2 = 1$, что дает $y = \pm 1$. Получаем еще две точки пересечения: $B(0, 1)$ и $D(0, -1)$.

Таким образом, мы имеем четыре точки пересечения единичной окружности с осями координат, которые показаны на рисунке.

Наименьшие неотрицательные радианные меры

Радианная мера угла отсчитывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Для каждой из четырех точек найдем соответствующий наименьший неотрицательный угол:
• Для точки $A(1, 0)$ наименьший неотрицательный угол равен $0$ радиан.
• Для точки $B(0, 1)$ наименьший неотрицательный угол равен $\frac{\pi}{2}$ радиан.
• Для точки $C(-1, 0)$ наименьший неотрицательный угол равен $\pi$ радиан.
• Для точки $D(0, -1)$ наименьший неотрицательный угол равен $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

Заданный вопрос "Укажите наименьшую неотрицательную радианную меру угла" можно интерпретировать двояко: либо как поиск наименьшего значения из этого набора (это будет $0$), либо как перечисление всех четырех наименьших неотрицательных мер для каждой из точек. Поскольку вторая часть вопроса касается всех "этих точек", логично в первой части перечислить все четыре соответствующие меры.

Ответ: Наименьшие неотрицательные радианные меры, соответствующие точкам пересечения, равны $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$.

Общий вид радианной меры углов

Все четыре точки расположены на окружности с равным шагом в $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90°). Начальная точка (соответствующая углу 0) — это $A(1,0)$. Все остальные точки можно получить, прибавляя или вычитая из этого угла целое число раз по $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, множество всех углов, соответствующих данным четырем точкам, можно описать одной общей формулой.

Если взять за основу угол $0$ (точка А), то углы для точек B, C, D получаются последовательным прибавлением $\frac{\pi}{2}$. Это формирует арифметическую прогрессию $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \dots$. Общий член этой последовательности, учитывая все возможные обороты (как в положительную, так и в отрицательную сторону), можно записать как $\alpha = k \cdot \frac{\pi}{2}$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Например: при $k=0$ получаем $\alpha = 0$ (точка A); при $k=1$ получаем $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (точка B); при $k=2$ получаем $\alpha = \pi$ (точка C); при $k=3$ получаем $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ (точка D); при $k=4$ получаем $\alpha = 2\pi$ (снова точка A); при $k=-1$ получаем $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ (снова точка D). Формула корректно описывает все углы.

Ответ: $\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.