Номер 4.13, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.13. На единичной окружности укажите точки, координаты которых удовлетворяют условиям:

1) $y = \frac{1}{2}, x > 0;$

2) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}, y > 0;$

3) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, x < 0;$

4) $x = -\frac{1}{2}, y < 0$

Напишите множество чисел, соответствующих этим точкам.

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точек на единичной окружности, удовлетворяющие заданным условиям, а затем определить множество чисел (углов в радианах), соответствующих этим точкам. Уравнение единичной окружности: $x^2 + y^2 = 1$. Координаты точки на ней связаны с углом $t$ соотношениями $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$.

1) $y = \frac{1}{2}, x > 0;$

Подставим $y = \frac{1}{2}$ в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$: $x^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$
$x^2 + \frac{1}{4} = 1$
$x^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$x = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Согласно условию $x > 0$, выбираем положительное значение $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Теперь найдем множество чисел $t$, для которых $\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(t) = \frac{1}{2}$. Эти значения соответствуют углу $t = \frac{\pi}{6}$. Так как точка находится в первой координатной четверти ($x > 0, y > 0$), это основной угол. Полное множество чисел, соответствующих этой точке, находится с учетом периодичности тригонометрических функций (период $2\pi$): $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Точка $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$; множество чисел $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}, y > 0;$

Подставим $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$: $(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + y^2 = 1$
$\frac{2}{4} + y^2 = 1$
$\frac{1}{2} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$y = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Согласно условию $y > 0$, выбираем положительное значение $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Теперь найдем множество чисел $t$, для которых $\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти значения соответствуют углу $t = \frac{\pi}{4}$. Точка находится в первой координатной четверти. Полное множество чисел: $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Точка $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$; множество чисел $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, x < 0;$

Подставим $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$: $x^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1$
$x^2 + \frac{2}{4} = 1$
$x^2 + \frac{1}{2} = 1$
$x^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Согласно условию $x < 0$, выбираем отрицательное значение $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, искомая точка имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Теперь найдем множество чисел $t$, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти значения соответствуют углу $t = \frac{5\pi}{4}$. Так как точка находится в третьей координатной четверти ($x < 0, y < 0$), это основной угол. Полное множество чисел: $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Точка $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$; множество чисел $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $x = -\frac{1}{2}, y < 0$

Подставим $x = -\frac{1}{2}$ в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$: $(-\frac{1}{2})^2 + y^2 = 1$
$\frac{1}{4} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$y = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Согласно условию $y < 0$, выбираем отрицательное значение $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, искомая точка имеет координаты $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Теперь найдем множество чисел $t$, для которых $\cos(t) = -\frac{1}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти значения соответствуют углу $t = \frac{4\pi}{3}$. Точка находится в третьей координатной четверти. Полное множество чисел: $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Точка $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$; множество чисел $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.