Страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.13. На единичной окружности укажите точки, координаты которых удовлетворяют условиям:

1) $y = \frac{1}{2}, x > 0;$

2) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}, y > 0;$

3) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, x < 0;$

4) $x = -\frac{1}{2}, y < 0$

Напишите множество чисел, соответствующих этим точкам.

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точек на единичной окружности, удовлетворяющие заданным условиям, а затем определить множество чисел (углов в радианах), соответствующих этим точкам. Уравнение единичной окружности: $x^2 + y^2 = 1$. Координаты точки на ней связаны с углом $t$ соотношениями $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$.

1) $y = \frac{1}{2}, x > 0;$

Подставим $y = \frac{1}{2}$ в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$: $x^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$
$x^2 + \frac{1}{4} = 1$
$x^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$x = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Согласно условию $x > 0$, выбираем положительное значение $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Теперь найдем множество чисел $t$, для которых $\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(t) = \frac{1}{2}$. Эти значения соответствуют углу $t = \frac{\pi}{6}$. Так как точка находится в первой координатной четверти ($x > 0, y > 0$), это основной угол. Полное множество чисел, соответствующих этой точке, находится с учетом периодичности тригонометрических функций (период $2\pi$): $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Точка $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$; множество чисел $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}, y > 0;$

Подставим $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$: $(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + y^2 = 1$
$\frac{2}{4} + y^2 = 1$
$\frac{1}{2} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$y = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Согласно условию $y > 0$, выбираем положительное значение $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Теперь найдем множество чисел $t$, для которых $\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти значения соответствуют углу $t = \frac{\pi}{4}$. Точка находится в первой координатной четверти. Полное множество чисел: $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Точка $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$; множество чисел $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, x < 0;$

Подставим $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$: $x^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1$
$x^2 + \frac{2}{4} = 1$
$x^2 + \frac{1}{2} = 1$
$x^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Согласно условию $x < 0$, выбираем отрицательное значение $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, искомая точка имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Теперь найдем множество чисел $t$, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти значения соответствуют углу $t = \frac{5\pi}{4}$. Так как точка находится в третьей координатной четверти ($x < 0, y < 0$), это основной угол. Полное множество чисел: $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Точка $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$; множество чисел $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $x = -\frac{1}{2}, y < 0$

Подставим $x = -\frac{1}{2}$ в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$: $(-\frac{1}{2})^2 + y^2 = 1$
$\frac{1}{4} + y^2 = 1$
$y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$y = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Согласно условию $y < 0$, выбираем отрицательное значение $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, искомая точка имеет координаты $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Теперь найдем множество чисел $t$, для которых $\cos(t) = -\frac{1}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти значения соответствуют углу $t = \frac{4\pi}{3}$. Точка находится в третьей координатной четверти. Полное множество чисел: $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Точка $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$; множество чисел $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4.14. Напишите общий вид градусной и радианной меры угла, радиус-вектор которого находится:

1) в положительной части оси абсцисс;

2) в отрицательной части оси абсцисс;

3) в положительной части оси ординат;

4) в отрицательной части оси ординат;

5) на одной из координатных осей;

6) на биссектрисе в III координатной четверти;

7) на биссектрисе в I или III координатной четверти;

8) на биссектрисе в IV координатной четверти.

1) в положительной части оси абсцисс

Если радиус-вектор находится в положительной части оси абсцисс, он совпадает с начальной стороной угла. Это соответствует углу в $0^\circ$ или $0$ радиан. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов ($360^\circ$ или $2\pi$).

Ответ: в градусах $\alpha = 360^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) в отрицательной части оси абсцисс

Если радиус-вектор находится в отрицательной части оси абсцисс, он образует развернутый угол. Это соответствует углу в $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов.

Ответ: в градусах $\alpha = 180^\circ + 360^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) в положительной части оси ординат

Если радиус-вектор находится в положительной части оси ординат, он образует прямой угол. Это соответствует углу в $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов.

Ответ: в градусах $\alpha = 90^\circ + 360^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) в отрицательной части оси ординат

Если радиус-вектор находится в отрицательной части оси ординат, это соответствует углу в $270^\circ$ или $\frac{3\pi}{2}$ радиан. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов.

Ответ: в градусах $\alpha = 270^\circ + 360^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5) на одной из координатных осей

Это объединение предыдущих четырех случаев. Углы, соответствующие координатным осям, это $0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ$. Они следуют друг за другом с шагом в $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Поэтому общий вид можно записать как угол, кратный $90^\circ$.

Ответ: в градусах $\alpha = 90^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \frac{\pi}{2} \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6) на биссектрисе в III координатной четверти

III координатная четверть находится в диапазоне углов от $180^\circ$ до $270^\circ$. Биссектриса делит эту четверть пополам, то есть находится под углом $180^\circ + \frac{270^\circ - 180^\circ}{2} = 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ$. В радианах это $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов.

Ответ: в градусах $\alpha = 225^\circ + 360^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

7) на биссектрисе в I или III координатной четверти

Биссектриса I четверти соответствует углу $45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$ радиан). Биссектриса III четверти, как найдено выше, соответствует углу $225^\circ$ ($\frac{5\pi}{4}$ радиан). Разница между этими углами составляет $225^\circ - 45^\circ = 180^\circ$ ($\pi$ радиан). Таким образом, мы можем описать оба случая одной формулой, взяв за основу угол $45^\circ$ и добавляя к нему целое число полуоборотов ($180^\circ$ или $\pi$).

Ответ: в градусах $\alpha = 45^\circ + 180^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

8) на биссектрисе в IV координатной четверти

IV координатная четверть находится в диапазоне углов от $270^\circ$ до $360^\circ$. Биссектриса делит эту четверть пополам, то есть находится под углом $270^\circ + \frac{360^\circ - 270^\circ}{2} = 270^\circ + 45^\circ = 315^\circ$. Этот угол также можно представить как $-45^\circ$. В радианах это $\frac{7\pi}{4}$ или $-\frac{\pi}{4}$. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов.

Ответ: в градусах $\alpha = 315^\circ + 360^\circ \cdot n$ (или $\alpha = -45^\circ + 360^\circ \cdot n$), в радианах $\alpha = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$ (или $\alpha = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.

4.15. Найдите угловую скорость диска в рад/с, который совершает 300 оборотов в минуту.

Для нахождения угловой скорости диска в радианах в секунду (рад/с) необходимо использовать данные о количестве оборотов и времени.

По условию задачи дано:

Количество оборотов $N = 300$.

Время $t = 1 \text{ минута}$.

Угловую скорость $\omega$ можно найти по формуле $\omega = \frac{\Delta\phi}{t}$, где $\Delta\phi$ — это угол поворота, а $t$ — время.

1. Переведем время из минут в секунды, так как требуемая единица измерения угловой скорости — рад/с:

$t = 1 \text{ минута} = 60 \text{ секунд}$.

2. Найдем общий угол поворота $\Delta\phi$ в радианах. Один полный оборот соответствует углу $2\pi$ радиан. Следовательно, 300 оборотов соответствуют углу:

$\Delta\phi = N \times 2\pi = 300 \times 2\pi = 600\pi \text{ радиан}$.

3. Теперь рассчитаем угловую скорость, подставив полученные значения в формулу:

$\omega = \frac{\Delta\phi}{t} = \frac{600\pi \text{ рад}}{60 \text{ с}} = 10\pi \text{ рад/с}$.

Также можно было сначала найти частоту вращения $n$ в оборотах в секунду (Гц):

$n = \frac{300 \text{ оборотов}}{60 \text{ с}} = 5 \text{ об/с}$.

А затем использовать формулу, связывающую угловую скорость и частоту: $\omega = 2\pi n$.

$\omega = 2\pi \times 5 \text{ об/с} = 10\pi \text{ рад/с}$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $10\pi \text{ рад/с}$.

4.16. Решите уравнения:

1) $x^2-7x+6=0;$

2) $4x^2+5x+1=0;$

3) $3x^2-8x+5=0;$

4) $2x^2+x+1=0.$

1) Для решения квадратного уравнения $x^2-7x+6=0$ используем формулу корней через дискриминант. Общий вид уравнения: $ax^2+bx+c=0$. В данном случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-7$, $c=6$.
Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2-4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Также можно было использовать теорему Виета. Для приведенного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней $x_1+x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $x_1+x_2=7$ и $x_1 \cdot x_2=6$. Корни $1$ и $6$ удовлетворяют этим условиям.
Ответ: $x_1=1, x_2=6$.

2) Решим квадратное уравнение $4x^2+5x+1=0$.
Коэффициенты: $a=4$, $b=5$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2-4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 3}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.
$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 3}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $x_1=-1, x_2=-\frac{1}{4}$.

3) Решим квадратное уравнение $3x^2-8x+5=0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2-4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
$x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $x_1=1, x_2=\frac{5}{3}$.

4) Решим квадратное уравнение $2x^2+x+1=0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=1$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2-4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

4.17. Постройте графики функций:

1) $y=(x-2)^2+3;$

2) $y=x^2-4x.$

1) Графиком функции $y=(x-2)^2+3$ является парабола. Данная функция записана в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы.

В нашем случае $a=1$, $x_0=2$, $y_0=3$.

Следовательно, график функции можно получить из графика основной параболы $y=x^2$ путем следующих преобразований:

• Сдвиг на 2 единицы вправо по оси абсцисс (Ox).
• Сдвиг на 3 единицы вверх по оси ординат (Oy).

Основные характеристики графика:

• Вершина параболы находится в точке $(2; 3)$.
• Ось симметрии — вертикальная прямая $x=2$.
• Ветки параболы направлены вверх, так как коэффициент $a=1 > 0$.

Для построения найдем несколько контрольных точек:

• При $x=0$, $y=(0-2)^2+3 = 4+3 = 7$. Точка $(0; 7)$.
• При $x=1$, $y=(1-2)^2+3 = 1+3 = 4$. Точка $(1; 4)$.
• Вершина в точке $(2; 3)$.
• Используя симметрию относительно прямой $x=2$, получаем точки $(3; 4)$ и $(4; 7)$.

Ответ: График функции $y=(x-2)^2+3$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y=x^2$ на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(2; 3)$, ветви направлены вверх.

2) Графиком функции $y=x^2-4x$ является парабола. Это квадратичная функция вида $y=ax^2+bx+c$, где $a=1$, $b=-4$, $c=0$.

Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -b / (2a)$:

$x_0 = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.

Для нахождения ординаты вершины подставим $x_0=2$ в уравнение функции:

$y_0 = (2)^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2; -4)$. Ось симметрии — прямая $x=2$.

Другой способ найти вершину — выделить полный квадрат:

$y = x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$.

Из этого вида также следует, что вершина находится в точке $(2; -4)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

• С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.
• С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0$. Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=4$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

Контрольные точки для построения: $(0;0)$, $(4;0)$ (пересечения с Ox), $(2;-4)$ (вершина), а также симметричные точки $(1; -3)$ и $(3; -3)$.

Ответ: График функции $y=x^2-4x$ — это парабола с вершиной в точке $(2; -4)$, ветви которой направлены вверх. График пересекает оси координат в точках $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

4.18. Разложите многочлены на множители:

1) $5x^3-3x^2-2x$;

2) $3x^2+2x-2.$

1) Для разложения многочлена $5x^3-3x^2-2x$ на множители, первым шагом вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$5x^3-3x^2-2x = x(5x^2-3x-2)$
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $5x^2-3x-2$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2-3x-2=0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.
Теперь применим формулу разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$:
$5x^2-3x-2 = 5(x-1)(x-(-\frac{2}{5})) = 5(x-1)(x+\frac{2}{5})$.
Умножим второй множитель на 5, чтобы избавиться от дроби:
$5(x-1)(x+\frac{2}{5}) = (x-1)(5x+2)$.
Подставим полученное выражение в исходное разложение:
$x(5x^2-3x-2) = x(x-1)(5x+2)$.
Ответ: $x(x-1)(5x+2)$.

2) Для разложения на множители многочлена $3x^2+2x-2$, который является квадратным трехчленом, найдем корни уравнения $3x^2+2x-2=0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 4 + 24 = 28$.
Так как дискриминант положителен, но не является полным квадратом, корни уравнения будут иррациональными.
$\sqrt{D} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 2\sqrt{7}}{2 \cdot 3} = \frac{2(-1 + \sqrt{7})}{6} = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 2\sqrt{7}}{2 \cdot 3} = \frac{2(-1 - \sqrt{7})}{6} = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$.
Воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$:
$3x^2+2x-2 = 3(x - \frac{-1+\sqrt{7}}{3})(x - \frac{-1-\sqrt{7}}{3})$.
Ответ: $3(x - \frac{-1+\sqrt{7}}{3})(x - \frac{-1-\sqrt{7}}{3})$.

4.19. При каких значениях $x$ функция $y = \frac{x^2 + 1}{2x + 1}$ принимает значение, равное 1?

Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = \frac{x^2 + 1}{2x + 1}$ принимает значение, равное 1, необходимо приравнять данную функцию к 1 и решить полученное уравнение:

$\frac{x^2 + 1}{2x + 1} = 1$

Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$2x + 1 \neq 0$

$2x \neq -1$

$x \neq -0.5$

Теперь решим уравнение. Для этого умножим обе его части на знаменатель $2x + 1$, учитывая ОДЗ:

$x^2 + 1 = 1 \cdot (2x + 1)$

$x^2 + 1 = 2x + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 2x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

или

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Оба найденных значения, $x = 0$ и $x = 2$, удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq -0.5$). Следовательно, они являются решениями задачи.

Ответ: при $x=0$ и $x=2$.